Formelsammlung Vektoralgebra Skalarprodukt Vektorprodukt

Formelsammlung Vektoralgebra
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
 a x   bx 
     
a  b   a y    b y   a x bx  a y b y  a z bz
 a  b 
 z  z
   
a  b  a  b  cos   a  b  cos 
 a x   bx   a y bz  a z b y 

       
c  a  b   a y    b y    a z bx  a x bz 
a  b  a b  a b 
y x 
 z  z  x y
Betrag des Spatproduktes ist entspricht dem
Volumen des Spates.
Richtungswinkel (x)
cos  
Betrag des Vektorprodukts entspricht dem Flächeninhalt des
Parallelogramms.
  
c  a  b  sin 
   
c a  c b  0
Richtungswinkel (y)
ax
a
cos  
Windschiefheit zweier Geraden
ay
a
a

    
b c  a  (b  c )
ax
bx
ay
by
az
bz
cx
cy
cz
Richtungswinkel (z)
cos  
az
a
a1a2 (r2  r1 )
Winkel zwischen zwei Vektoren
 
 a b 

  ar cos

a

b


Zusammenhang der Richtungswinkel
Orthogonalität
Kollinearität
 
a b  0
Komplanarität
Normierung
Projektion
 
a b  0
Betrag
cos 2   cos 2   cos 2   1
a

 
b c 0

1
ea  a
a

  a  b  
ba   2 a
 a 
Punkt-Richtungs-Form einer Gerade




r ( P)  r ( )  r1  a

r (P ) ist Ortsvektor des laufenden Punktes

ist Ortsvektor des Ausgangspunktes
r1
Zwei-Punkte-Form einer Gerade



 
r ( P)  r ( )  r1   (r2  r1) )

r (P ) ist Ortsvektor des laufenden Punktes

ist Ortsvektor des Ausgangspunktes
r1
Ebene senkrecht zu einem Vektor
Punkt-Richtungs-Form einer Ebene





r ( P)  r ( ;  )  r1  a  b
 ;  sind eindeutige Parameter
Drei-Punkte-Form einer Ebene



 
 
r ( P)  r (;  )  r1   (r2  r1 )   (r3  r1 )
 ;  sind eindeutige Parameter
Normalvektor einer Ebene
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Abstand zweier Paralleler Geraden
Abstand zweier Windschiefer Geraden
d
d
d

a a
ax  a y  az  ...
2
2
2
  
a  (rQ  r1 )
a

 
a1  (r2  r1 )
a1
  
n  (r  r1 )
n x ( x  x1 )  n y ( y  y1 )  n z ( z  z1 )  0

r ist Ortsvektor des laufenden Punktes
  
n  a  b

a  b sind Richtungsvektoren der Ebene
a1a2 (r2  r1 )
 
a1  a2
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Abstand einer Geraden von einer Ebene
Abstand zweier paralleler Ebenen
d
n

rQ Ortsvektor des Punktes

r1 Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene
d
n

r0 Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene

r1 Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden
d
Schnittpunkt zweier Geraden
Schnittpunkt einer Geraden mit der Ebene
  
   n  (r0  r1 )  
rS  r1  
  a
 na 

r0 ist Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene

r1 ist Ortsvektor eines Punktes auf der Gerade
Schnittgerade zweier Ebenen
Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene
Schnittwinkel zweier Ebenen
  
n  (rQ  r1 )

 

r1  2 a1  r2  2 a2
Gleichungssystem lösen
Schnittwinkel zweier Geraden
 
 a1  a 2
  ar cos
 a1  a 2




 
n1  (r1  r0 )
 
 na 

  ar sin 

n

a



 
n1  (r2  r1 )
n1



r ( )  r0  a
  
a  n1  n2

Ortsvektor r0 des (noch unbekannten) P0 der
Schnittgeraden erhältlich aus Gleichungssys.:
  
n2  (r0  r2 )  0
(eine Koordinate frei wählbar. z. B. x 0  0
  
n1  (r0  r1 )  0
und
 
 n1  n2
  ar cos
 n1  n2



© Nico S. Beck | www.NSBnet.de | 07. Januar 2002