PROJEKTION VON VEKTOREN, NORMALVEKTOREN Zunächst 2

PROJEKTION VON VEKTOREN, NORMALVEKTOREN
Zunächst 2 Sätze zu Normalvektoren von Geraden und Ebenen.


a
Satz 1: Sei ax + by + cz = d die Gleichung einer Ebene e in R3 . Dann ist  b 
c
ein Normalvektor auf die Ebene.
 
a
Beweis: Wir müssen zeigen, dass der Vektor  b  auf alle Vektoren in der
c
Ebene e senkrecht steht. Sei A und B ein beliebiger
Punkt
 ist

in der Ebene
 e. Dann
xa
xb
~ ein beliebiger Vektor in der Ebene e. Sei A =  ya  und B =  yb . DaAB
zb
za


 
xb − xa
a
~
~



yb − ya . Wir bilden nun das Skalarprodukt < AB, b  >
raus folgt AB =
zb − za
c
und erhalten a(xa − xb ) + b(ya − yb ) + c(za − zb ) = axa + by
+
cz
−
(ax
+
byb +
a
a
b

a
~ senkrecht auf  b .
czb ) = d − d = 0. Damit steht der Vektor AB
c
Völlig analog zeigt man den folgenden Satz:
a
2
ein
Satz 2: Sei ax + by = d die Gleichung einer Geraden g in R . Dann ist
b
Normalvektor auf die Gerade.
Gleichungsdarstellungen von Ebenen und Geraden bieten also den Vorteil, dass
man sofort Normalvektoren ablesen kann.
Satz 3: Seien ~a und ~b zwei Vektoren (nicht Null) in R2 oder R3 . Dann gilt: Der
Projektionsvektor ~a~b des Vektors ~a auf den Vektor ~b ist gegeben durch den Vektor
~
~a~ = <~a,b>~b.
b
||~b||2
Beweis: Wir betrachten die von ~a und ~b aufgespannte Ebene. ~a und ~b schließen
einen Winkel φ ein. Da wir auf den Vektor ~b projizieren muss der entstehende
Projektionsvektor die Richtung von ~b oder die entgegengesetzte Richtung zu ~b
haben, dies im Fall, dass φ > 90◦ . Es gilt also ~a~b = x · ~1 ·~b, wobei x geeignet zu
bestimmen ist. Es gilt aber nun
<~a,~b>
||~b||2
x
||~a||
= cos φ =
||b||
<~a,~b>
, also
||~a||·||~b||
x=
<~a,~b>
.
||~b||
Einsetzen
·~b.
Bemerkung: Falls ~a und ~b einen Winkel φ einschließen der kleiner oder gleich
x
= cos φ (x ist dann positiv).
90◦ ist sieht man etwa aus einer Skizze sofort, dass ||~a||
1 ~
◦
· b, wobei λ = cos(180 − φ) =
Ist φ größer als 90 , so muss gelten ~a~ = −λ ·
für x ergibt: ~a~b =
b
1
||~b||
||~a||
2
PROJEKTION VON VEKTOREN, NORMALVEKTOREN
−cos φ. Also folgt ebenso ~a~b = −(−||~a||cos φ) ·
<~a,~b>
||~b||2
1
||~b||
·~b = ||~a||cos φ ·
1
||~b||
·~b =
·~b.
Mit Hilfe von Projektionsvektoren kann man sehr einfach den kürzesten Abstand,
also den Normalabstand, zwischen eines Punktes und einer Ebene im R3 bzw.
zwischen eines Punktes und einer Geraden im R2 berechnen.


p1
Satz 4: Der Normalabstand s eines Punktes P =  p2  zu einer Ebene e : ax +
p3
√ 2 b+p3 c−d| .
by + cz = d im R3 ist gegeben durch s = |p1 a+p
a2 +b2 +c2


xa
Beweis: Sei A =  ya  ein (beliebiger !) Punkt der Ebene. Wir denken uns
za
 
a
den Normalvektor ~n =  b  der Ebene in diesen Punkt gesetzt und bilden den
c


p1 − xa
~ zum Punkt P. AP
~ =  p2 − ya . Nun projizieren wir den
Verbindungsvektor AP
p3 − za
~ auf den Normalvektor der Ebene. Die Länge s dieses Projektionsvektors
Vektor AP
~ n>
AP,~
·~n||.
ist dann der Normalabstand des Punktes zur Ebene. Somit gilt s = || <||~
n||2
~ n >= (p1 − xa )a + (p2 − ya )b + (p3 − za )c = p1 a + p2 b + p3 c − d. s =
< AP,~
|p1 a+p2 b+p3 c−d|
||~n||2
· ||~n|| =
|p1 a+p2 b+p3 c−d|
||~n||
=
|p1 a+p
√ 2 b+p3 c−d| .
a2 +b2 +c2
Völlig analog zeigt man:
Satz 5: Der Normalabstand s eines Punktes P =
ax + by = d im R2 ist gegeben durch s =
|p1√
a+p2 b−d|
.
a2 +b2
p1
p2
zu einer Geraden g :