Geometrie - Raphael Michel

Geometrie
Zusammenfassung Abitur
Raphael Michel
21. März 2013
1 Grundlagen
1.1 Objekte
1.1.1 Punkte


p1
 
p~ = p2 
p3
P(p1 |p2 |p3 ),
(1)
1.1.2 Geraden
g : ~x = p~ + r · ~u,
r ∈ R, ~u 6= ~o
(2)
Der Vektor p~ heißt Stützvektor und ist der Ortsvektor eines Punktes P auf der Geraden g. Der Vektor
~u heißt Richtungsvektor.
1.1.3 Ebenen
Parametergleichung
E : ~x = p~ + r · ~u + s · ~v ,
r, s ∈ R, ~u 6= ~o, ~v 6= ~o, ~u ∦ ~v
(3)
Der Vektor p~ ist der Ortsvektor eines Punktes in der Ebene, ~o und ~v sind Spannvektoren.
Normalengleichung
E : (~x − p~) · ~n = 0
(4)
Der Vektor p~ ist der Ortsvektor eines Punktes in der Ebene, ~n ist ein Normalenvektor der Ebene, der
sekrecht auf der Ebene steht und damit zu beiden Spannvektoren orthogonal ist.
Koordinatengleichung
E : n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = d,
d = ~n · p~
(5)
1.2 Betrag eines Vektors


a1
 
~a = a2 
a3
|~a| =
q
a21 + a22 + a23
Ein Vektor mit Betrag 1 heißt Einheitsvektor, der Vektor ~o der Länge 0 heißt Nullvektor.
1
(6)
1.3 Skalarprodukt

  
b1
a1
   
~a · ~b = a2  · b2  = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
b3
a3
(7)
Stehen ~a und ~b senkrecht aufeinander, ist ~a · ~b = 0.
2 Gegenseitige Lage von Objekten
2.1 Ebene und Gerade
Für die Gerade g : ~x = p~ + t~u und die Ebene E : ax1 + bx2 + cx3 = d hat die Gleichung
a(p1 + tu1 ) + b(p2 + tu2 ) + c(p3 + tu3 ) = d
(8)
eine Lösung , wenn sich g und E schneiden
keine Lösung , wenn g und E zueinander parallel sind
unendlich viele Lösungen , wenn g in der Ebene E liegt
2.2 Zwei Ebenen
Zwei verschiedene Ebenen sind entweder zueinander parallel oder haben eine gemeinsame Schnittgerade. Bei Parametergleichungen setzt man die Gleichungen hierfür gleich, bei zwei Koordinatengleichungen fasst man sie als LGS auf. Hat man eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung,
kann man erstere in letztere einsetzen.
3 Abstände von Objekten
3.1 Punkt von Ebene
Man sucht eine Gerade, die orthogonal auf der Ebene steht (Richtungsvektor entspricht Normalenvektor) und durch den Punkt P geht und schneidet diese dann mit der Ebene. Zwischen diesem
Lotfußpunkt und dem Punkt kann man dann einfach den Abstand berechnen.
Simpler ist jedoch die Hessesche Normalform (Bezeichner aus Gl. 5 und 4):
d = |(~r − p~) · ~n0 |
(9)
n1 p1 + n2 p2 + n3 p3 − d q
d = n2 + n2 + n 2
1
2
(10)
3
4 Punkt von Gerade
Man berechnet den Abstand zwischen dem Punkt P und dem Punkt Gt auf der Geraden
g, der
dem
−−
→
Punkt P am nächsten ist. Hierzu kann man entweder das Minimum der Funktion d(t) = Gt R suchen
−−→
oder die Gleichung Gt R · ~u = 0 lösen und damit dann t und schließlich d berechnen.
5 Windschiefe Geraden
Die kleinste Entfernung zwischen den Geraden g und h mit den Richtungsvektoren ~u und ~v ist zwischen
den Punkten G und H für die gilt:
−→
−→
GH · ~u = 0 und GH · ~v = 0
(11)
2
6 Winkel zwischen Vektoren
Für den Winkel α zwischen den Vektoren ~a und ~b gilt:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos α,
cos α =
~a · ~b
|~a| · |~b|
0◦ ≤ α ≤ 180◦
(12)
6.1 Schnittwinkel
Zwei Geraden
cos α =
~u · ~v
|~u| · |~v |
0◦ ≤ α ≤ 90◦
(13)
Zwei Ebenen
cos α =
~n1 · ~n2
|~n1 | · |~n2 |
0◦ ≤ α ≤ 90◦
(14)
Gerade und Ebene
sin α =
~u · ~n
|~u| · |~n|
0◦ ≤ α ≤ 90◦
(15)
7 Spiegelung und Symmetrie
7.1 Punktspiegelung
Durch eine Spiegelung des Punktes P am Punkt Z entsteht ein Punkt P’, der mit P und Z auf einer
Geraden liegt und für den gilt:
−−→0 −→ −→
OP = OZ + PZ
(16)
7.2 Spiegelung an Gerade oder Ebene
Für eine Spiegelung an einer Geraden g bzw. an einer Ebene E entsteht ein Punkt P’, der mit P und
dem Lotfußpunkt des Lotes von P auf g bzw. E liegen auf einer Geraden, für den gilt:
−−→0 −→ −→
OP = OF + PF
(17)
8 Vektorprodukt
Nicht direkt Abirelevant, u.U. nützlich aber steht in der Formelsammlung.
Das Vektorprodukt ~a × ~b steht senkrecht zu den Vektoren ~a und ~b.


a2 b3 − a3 b2


~a × ~b = a3 b1 − a1 b3 
a1 b2 − a2 b1
Der Betrag |~a × ~b| ist gleich dem Flächeninhalt des durch ~a und ~b definierten Parallelogramms.
3
(18)