Dreieckspyramide

Aufg.-Nr.: 24
Bereich: vektorielle Geometrie
Kursart: LK
WTR
Dreieckspyramide
Gegeben sind die Punkte
A( - 6 ; 8 ; 7 ) , B( - 3 ; - 4 ; 4 ) , C( 1 ; - 8 ; 6 ) und D( 9 ; - 4 ; - 2 ) .
a)
Ermitteln Sie die Koordinatenform der Ebene E, die durch die drei Punkte A, B
und C gegeben ist. ( mögliches Ergebnis: 2x + y – 2z = - 18 )
b)
Geben Sie die Schnittpunkte Sx, Sy und Sz der Ebene E mit den
Koordinatenachsen an und zeichnen Sie das Dreieck SxSySz in ein
Koordinatensystem ein.
1
( 1 LE ≅ 0,5 cm, Verkürzungsfaktor in x-Richtung ⋅ 2 )
2
Zeigen Sie, dass der Punkt D außerhalb der Ebene E liegt und berechnen Sie
den Abstand des Punktes D von der Ebene E.
c)
d)
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D‘, den man durch Spiegelung des
Punktes D an der Ebene E erhält.
e)
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC sowie das Volumen der
Dreieckspyramide, die das Dreieck ABC gemeinsam mit dem Punkt D bildet.
−6
1 + 2k
f)
Durch hk : x =
8 + t ⋅ 2 − 2k
( t, k ∈ R ) ist eine Geradenschar mit dem
7
2+k
gemeinsamen Punkt A gegeben. Zeigen Sie, dass alle Geraden der Schar in der
Ebene E liegen.
g)
Entscheiden Sie, ob die Gerade AC eine Gerade der obigen Geradenschar hk ist.
h)
Berechnen Sie den Schnittwinkel, den die Gerade AC mit der Geraden h5
einschließt.
Zusammengestellt von den Fachdezernenten Mathematik der 5 Bezirksregierungen in NRW
1/1
Lösung
a)
 − 3   − 6  
 1   − 6   − 6 
 − 6
 3 
 7 
 




    
     
E: x =  8  + r ⋅  − 4  −  8   + s ⋅  − 8  −  8  =  8  + r ⋅  − 12  + s ⋅  − 16 
 7 
 −3
 −1 
 4   7  
 6   7   7 
 








 3   7   − 36 
 2 
 
 

r 
r  
Normalenvektor n =  − 12  ×  − 16  =  − 18  oder auch n =  1 
 − 3   − 1   36 
−2

 
 

 
Normalenform in Koordinatenform umwandeln

 − 6

 
n ∗  x −  8   = 0 ⇔ 2x + y − 2z + 18 = 0 ⇔ 2x + y − 2z = −18

 7 
 

b)
Schnittpunkte mit de Koordinatenachsen,
Sx (-9|0|0) für y = z = 0 ; analog: Sy (0|-18|0) und Sz(0|0|9)
c)
Setze D in die Koordinatenform der Ebene ein: 2 ⋅ 9 + (−4) − 2 ⋅ ( −2) = 18 ≠ −18 , also ist D kein
Punkt der Ebene. Mit der Hesseschen Normalform ergibt sich für den Abstand d des Punktes D
von der Ebene:
d=
d)
2 ⋅ 9 + (−4) − 2 ⋅ ( −2) + 18
2 + 1 + (−2)
2
2
2
=
36
= 12
3
 9 
 2 
 
 
Die Gerade g mit g: x =  − 4  + t ⋅  1  verläuft senkrecht zu E durch den Punkt D. Für den
 − 2
 − 2
 
 
Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene gilt:
2 ⋅ (9 + 2 t ) + (−4 + t ) − 2 ⋅ ( −2 − 2 t ) = −18 ⇔ 18 + 9t = −18 ⇔ t = −4 ,
den Spiegelpunkt von D zur Ebene E erhält man für t = -8, also DSpiegel(-7|-12|14)
e)
 − 36 
 1
1
1
Flächeninhalt des Dreiecks mittels A = AB × AC =  − 18  = ⋅ 54 = 27 (FE)
2
2
 2
 36 
 − 36   15 
 
 1
1
1 
Volumen der Pyramide V = ⋅ AB × AC ∗ AD = ⋅  − 18  ∗  − 12  = − 648 = 108 (VE)
6
6 
 
 6
 36   − 9 
(
© 2007 Sebastian Hoheisel
)
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f)
Einsetzen der Geraden in die Ebene E ergibt:
2 ⋅ ( −6 + t ⋅ (1 + 2k )) + (8 + t ⋅ ( 2 − 2k )) − 2 ⋅ ( 7 + t ⋅ ( 2 + k )) = −18
⇔ −12 + 2t + 4kt + 8 + 2t − 2kt − 14 − 4t − 2 kt = −18
⇔ −18 = −18
Die Geradenschar h k liegt also in der Ebene E.
g)
Der Richtungsvektor der Geraden AC und der Richtungsvektor der Schar sind linear abhängig für
5
k = − , außerdem liegt der Punkt A auf jeder Geraden der Schar, d.h. die Gerade AC gehört zu
3
der Schar.
Beweis der linearen Abhängigkeit:
 7   1 + 2k 

 

t ⋅  − 16  =  2 − 2 k  führt auf die drei Gleichungen:
 −1   2 + k 

 

I . 7t = (1 + 2k )
II . -16t = ( 2- 2k)
III. − 1t = (2 + k )
Einsetzen von III. in I. und II. führt zu:
5
5
und II* 32 + 16k = 2 − 2 k ⇔ k = −
3
3
1
Aus III. folgt dann noch t = −
3
I* − 14 − 7 k = 1 + 2k ⇔ k = −
h)
−6
 11 
 
r  
h 5 : x =  8  + t ⋅  − 8
 7 
 7 
 
 
cos( α) =
 11   7 
  

 − 8  ∗  − 16 
 7   −1 
  

234 ⋅ 306
© 2007 Sebastian Hoheisel
=
198
≈ 0,74 ⇒ α ≈ 42,3°
234 ⋅ 306
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