Mathematik I für BT<MT WS 2016/17 5. ¨Ubungsserie

Mathematik I für BT\MT
WS 2016/17
Autor: [email protected]
5. Übungsserie: Geraden- und Ebenengleichung
Anmerkung: Zur Bestimmung des Winkels in Aufgabe 9.e) verwende man einen Taschenrechner. Ansonsten
sind die Aufgaben ohne Taschenrechner lösbar. Brüche und Wurzeln müssen nicht ausgerechnet werden.
Aufgabe 1:
Geben Sie sowohlin Parameteralsauch
in parameterfreier Form die Gleichung der Geraden g an, die durch
1
5
1
die Punkte P1 =
und P2 =
geht! Bestimmen Sie den kürzesten Abstand des Punktes Q =
−2
1
0
von der Geraden g. Überprüfen Sie dazu vorher, ob der Punkt Q auf der Geraden g liegt.
Aufgabe 2:
In der Ebene sei eine Gerade g mit g =
x
∈ R2 : y = 3x + 4 gegeben. Geben Sie eine Parameterdary
stellung dieser Geraden an!
Vorgehensweise: Bestimmen Sie hierzu zunächst den Normalenvektor der Geraden g. Anschließend bestimme man einen zum Normalenvektor orthogonalen Vektor, der dann als Richtungsvektor für die gesuchte
Parameterdarstellung der Geraden fungiert.
Aufgabe 3:


 
2
4
Überprüfen Sie, ob der Punkt Q =  3  auf der Geraden g liegt, die durch die Punkte P1 = −1 und
−2
4
 
5
P2 = −3 geht.
7
Aufgabe 4:
 
 
1
−1
Im Raum R3 seien die zwei Punkte P1 =  2  und P2 = 3 sowie eine Gerade g mit der Parameterdar−1
2
stellung
 

 
3
 −3

g =  3  + λ −1 : λ ∈ R


1
2
gegeben. P3 sei ein Punkt auf der Geraden g, für den das Dreieck mit den Eckpunkten P1 , P2 , P3 minimalen
Flächeninhalt hat.
Wie lauten die Koordinaten des Punktes P3 ∈ g und wie groß ist der Inhalt des flächenkleinsten Dreiecks?
Aufgabe 5:
 
 
 
0
1
−2
Die Punkte P1 = 0 , P2 = −1 und P3 =  1  spannen eine Ebene E im R3 auf.
1
0
1
Geben Sie E in der analytischen Form Ax + By + Cz + D = 0 an und bestimmen Sie den kürzesten Abstand
 
4
des Punktes Q = 5 von dieser Ebene.
3
1
Aufgabe 6:


 
5
0
Welche Koordinaten hat der Punkt, der sich durch Spiegelung des Punktes P =  7  an Z = −2
−3
4
ergibt?
Aufgabe 7:


1
Geben Sie eine parameterfreie Gleichung der Ebene im R3 an, bezüglich der die Punkte P =  1  und
−4
 
−1
Q =  1  spiegelbildlich liegen.
0
Aufgabe 8:
 

 
2
 −4

In welchem Punkt schneidet die Gerade g = −2 + λ 1 : λ ∈ R die Ebene


1
1
 

 x

E = y  ∈ R3 : x + 3y − z = 1 ?


z
Aufgabe 9:
 
 
 
 
−8
3
2
1
Gegeben seien die Punkte A = 2 , B = 3 , C =  1  und D =  3  .
−4
−2
0
1
a) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
b) Ermitteln Sie die Gleichung der Ebene E durch die Punkte A, B und C in parameterfreier Form!
c) Bestimmen Sie die Geradengleichung des Lotes von D auf die Ebene E.
d) Ermitteln Sie den Fußpunkt dieses Lotes und den Abstand zwischen dem Punkt D und der Ebene E.
e) In welchem Winkel schneidet die Gerade g, die durch die Punkte D und A geht, die Ebene E?
Hinweis: Der gesuchte Winkel ist hierbei der Komplementärwinkel zum Winkel, den der Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E einschließt.
2
5. Übungsserie: Geraden- und Ebenengleichung – Lösungen
1
4
Aufgabe 1: Parameterform:
+λ
: λ∈R
−2
3
x
parameterfreie Form:
∈ R2 : 3x − 4y = 11
y
kürzester Abstand: d =
8
5
Aufgabe 2: eine mögliche Parameterform, je nach Wahl des Ausgangspunktes:
Aufgabe 3:
 

 
1
 4

Q ∈ g = −1 + λ −2 : λ ∈ R


4
3
Aufgabe 4:
 
0
P3 = 2 ,
3
Aufgabe 5:
 

 x

E = y  ∈ R3 : x + 2y − z = −1 ,


z
F4 =
1
2
√
−1
1
+λ
: λ∈R
1
3
42
Aufgabe 6:

−5
−11
11
Aufgabe 7:
 

 x

E = y  ∈ R3 : x − 2z = 4


z
Aufgabe 8:
 
2
1
4

Aufgabe 9:
√
a) F4ABC = 12 26

 
 x

b) E = y  ∈ R3 : 4x − y + 3z = 5


z
 

 
4
 −8

c)  3  + λ −1 : λ ∈ R


−4
3
 
0
√
d) 1 , kürzester Abstand: 2 26
2
e) 80, 36◦
3
√
kürzester Abstand: d = 2 6