D:\841030735.doc 17.05.17 22:12 13MAG2, P3 Klausur, Lösungen Aufgabe 1: Durch E1: a) 0 1 4 x 0 r 1 s 0 2 4 2 ist eine Ebene, durch g: 2 1 x 2 k · 1 6 4 eine Gerade und mit A(5/1/12) ein Punkt gegeben. Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden h, die den Punkt A enthält und parallel zu g verläuft. 5 1 h: x 1 m· 1 ; A wählt man als Aufpunkt, die Richtungsvektoren müssen kollinear sein. 12 4 b) Zeigen Sie: alle Punkte Pt(8–2t/4–2t/8t), t , liegen auf der Geraden h. Für x wird der Ortsvektor zum Punkt Pt eingesetzt und die entstandene Vektorgleichung in Komponentengleichungen zerlegt. Lösung entweder mit TI-Matrix oder von Hand. 2t + m = 3 m = 3 – 2t; einsetzen in die anderen Gleichungen liefert jeweils die wahre Aussage 3 = 3 2t + m = 3 zu jedem t existiert also auch ein m, d.h. alle Punkte Pt liegen auf h. 2t + m = 3 c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E2, welche die Geraden g und h enthält. 2 1 3 E2: x 2 k· 1 l· 3 ; Man nimmt die Gerade g und fügt als zweiten Richtungsvektor den 6 4 6 Differenzvektor der Aufpunkte von g und h hinzu. d) Zeigen Sie, dass der Punkt D(0/–4/0) in E2 liegt und bestimmen Sie die Gleichung einer zu E2 senkrechten Geraden durch D. e) Welche Lage haben die Ebenen E1 und E2 zueinander? Ermitteln Sie gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden. 1 3 2 1 Nach Einsetzen des Ortsvektors von D für x erhält man folgende Matrix: 1 3 2 mit k = und l 3 4 6 6 7 = liegt D in E2. Der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Ebene. Dazu muss 9 folgendes Gleichungssystem gelöst werden (beim zweiten Richtungsvektor wurde 3 herausgezogen) : n1 + n2 –4n3 = 0 n1 + n2 +2n3 = 0 Subtraktionsverfahren liefert n3 = 0 und damit n1 = –n2 0 1 p: x 4 w· 1 0 0 E1 = E2 1 4 1 3 2 1 0 1 3 2 4 2 4 6 8 7 1 0 1 0 3 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 9 s=1 4 1 s: x 0 r· 1 4 4 Aufgabe 2: Gegeben sind die Punkte A(0/0), B(15/0), C(17/16) und E(3/4). Punkt E teilt die Strecke AD im Verhältnis 1:3. a) Tragen Sie die Punkte in ein Koordinatensystem ein (1 cm = 2 Einheiten). Bestimmen Sie den Punkt D und vervollständigen Sie die Skizze zu einer Figur. (Zur Kontrolle: D(12/16)) 3 12 AD = 4· AE ; vektoriell: AD = 4· AE = 4· ; da A der Koordinatenursprung 4 16 ist, ist dies der Ortsvektor zum Punkt D(12/16). AE : ED = 1:3 © by pegeos Seite 1 von 2 D:\841030735.doc b) 17.05.17 22:12 Zeigen Sie, dass die Geraden gAB und gDC parallel zueinander sind. 15 5 Der Richtungsvektor von gAB lautet b a , der von gDC c d ; sie sind also kollinear, die 0 0 Geraden parallel. c) Prüfen Sie, ob die Vektoren AB =b und AD =d linear abhängig sind. 12 AD ; da AB als zweit Komponente eine Null hat, können die beiden Vektoren nicht linear abhängig 16 sein. d) Die Strecke EC schneidet die Diagonale BD des Vierecks ABCD im Punkt S. In welchem Verhältnis teilt der Punkt S die Diagonale BD bzw. die Strecke EC ? Zur Berechnung wählt man die beiden linear unabhängigen Vektoren b und d aus 2c). Aus 2b) ist bekannt, 1 1 dass DC AB = b . Man betrachte z.B. das Dreieck SCD. Hier gilt: SC CD DS 0 3 3 3 1 m·EC DC n·DB 0 ; EC d + b ; DB b d 4 3 3 1 1 4 3 1 1 3 m= und n = . b m n d m n 0 m·d + m·b b n·b n·d 0 3 4 3 3 13 13 3 4 TV(ESC) = 9:4, TV(DSB) = 3:10 Aufgabe 3: Stehen zwei Vektoren a und b aufeinander senkrecht, so gilt: a ·b = 0 . Zeigen Sie unter Verwendung des Kosinussatzes, dass für einen beliebigen Winkel , 0° < < 180°, zwischen zwei Vektoren a und b gilt: cos = C b a a ·b a·b Kosinussatz für beliebige Dreiecke: c² = a² + b² – 2·a·b·cos A c Die Streckenlängen werden durch die Beträge der entsprechenden Vektoren ersetzt, für c setzt man den Differenzvektor b – a . Vom senkrechten Fall ist 2 2 bekannt , dass b a a b 2(a1b1 a 2 b 2 a 3b3 ) 2·a·b . Eingesetzt in den Kosinussatz: 2 2·a·b 2· a · b ·cos | : ( 2· a · b ) cos a·b a·b d b © by pegeos Seite 2 von 2 B