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17.05.17 22:12
13MAG2, P3 Klausur, Lösungen
Aufgabe 1:
Durch E1:
a)
0 1 4
     
x  0 r 1 s 0
     
 2   4   2 
ist eine Ebene, durch g:
2 1
   
x  2  k · 1
   
 6   4 
eine Gerade und mit A(5/1/12) ein Punkt gegeben.
Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden h, die den Punkt A enthält und parallel zu g verläuft.
5
1
 
 
h: x   1   m· 1  ; A wählt man als Aufpunkt, die Richtungsvektoren müssen kollinear sein.
12 
 4 
 
 
b)
Zeigen Sie: alle Punkte Pt(8–2t/4–2t/8t), t  , liegen auf der Geraden h.
Für x wird der Ortsvektor zum Punkt Pt eingesetzt und die entstandene Vektorgleichung in
Komponentengleichungen zerlegt. Lösung entweder mit TI-Matrix oder von Hand.
2t + m = 3
m = 3 – 2t; einsetzen in die anderen Gleichungen liefert jeweils die wahre Aussage 3 = 3
2t + m = 3
zu jedem t existiert also auch ein m, d.h. alle Punkte Pt liegen auf h.
2t + m = 3
c)
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E2, welche die Geraden g und h enthält.
 2
 1  3
 
   
E2: x   2   k· 1   l· 3  ; Man nimmt die Gerade g und fügt als zweiten Richtungsvektor den
 6
 4   6 
 
   
Differenzvektor der Aufpunkte von g und h hinzu.
d)
Zeigen Sie, dass der Punkt D(0/–4/0) in E2 liegt und bestimmen Sie die Gleichung einer zu E2 senkrechten Geraden durch D.
e)
Welche Lage haben die Ebenen E1 und E2 zueinander? Ermitteln Sie gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden.
 1 3 2 
1


Nach Einsetzen des Ortsvektors von D für x erhält man folgende Matrix:  1 3 2 
mit k = und l
3
 4 6 6 


7
=  liegt D in E2. Der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Ebene. Dazu muss
9
folgendes Gleichungssystem gelöst werden (beim zweiten Richtungsvektor wurde 3 herausgezogen) :
n1 + n2 –4n3 = 0
n1 + n2 +2n3 = 0 Subtraktionsverfahren liefert n3 = 0 und damit n1 = –n2
0
1
 
 
p: x   4   w· 1
0
0
 
 
E1 = E2
 1 4 1 3 2 


 1 0 1 3 2 
 4 2 4 6 8 


7

 1 0 1 0  3 


0 1 0 0 1 

1
 0 0 0 1  
9

s=1
 4
1
 
 
s: x   0   r· 1 
 4 
 4 
 
 
Aufgabe 2:
Gegeben sind die Punkte A(0/0), B(15/0), C(17/16) und E(3/4). Punkt E teilt die Strecke AD im Verhältnis 1:3.
a)
Tragen Sie die Punkte in ein Koordinatensystem ein (1 cm = 2 Einheiten). Bestimmen Sie den Punkt D und vervollständigen Sie die Skizze zu einer
Figur. (Zur Kontrolle: D(12/16))
 3   12 
AD = 4· AE ; vektoriell: AD = 4· AE = 4·      ; da A der Koordinatenursprung
 4   16 
ist, ist dies der Ortsvektor zum Punkt D(12/16).
AE : ED = 1:3
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b)
17.05.17 22:12
Zeigen Sie, dass die Geraden gAB und gDC parallel zueinander sind.
 15 
5
Der Richtungsvektor von gAB lautet b  a    , der von gDC c  d    ; sie sind also kollinear, die
0
0
Geraden parallel.
c)
Prüfen Sie, ob die Vektoren AB
=b
und AD
=d
linear abhängig sind.
 12 
AD    ; da AB als zweit Komponente eine Null hat, können die beiden Vektoren nicht linear abhängig
 16 
sein.
d)
Die Strecke EC schneidet die Diagonale BD des Vierecks ABCD im Punkt S. In welchem Verhältnis teilt der Punkt S die Diagonale BD bzw. die
Strecke EC ?
Zur Berechnung wählt man die beiden linear unabhängigen Vektoren b und d aus 2c). Aus 2b) ist bekannt,
1
1
dass DC  AB = b . Man betrachte z.B. das Dreieck SCD. Hier gilt: SC  CD  DS  0
3
3
3
1
m·EC  DC  n·DB  0 ;
EC  d + b ; DB  b  d
4
3
3
1
1
4
3
1
1

3

m=
und n =
.
b m   n   d m  n   0
m·d + m·b  b  n·b  n·d  0
3
4
3
3
13
13
3

4

TV(ESC) = 9:4, TV(DSB) = 3:10
Aufgabe 3:
Stehen zwei Vektoren a und b aufeinander senkrecht, so gilt: a ·b = 0 . Zeigen Sie unter
Verwendung des Kosinussatzes, dass für einen beliebigen Winkel  , 0° <  < 180°,
zwischen zwei Vektoren a und b gilt:
cos  =
C

b
a
a ·b
a·b
Kosinussatz für beliebige Dreiecke: c² = a² + b² – 2·a·b·cos 
A
c
Die Streckenlängen werden durch die Beträge der
entsprechenden Vektoren ersetzt, für c setzt man den Differenzvektor b – a . Vom senkrechten Fall ist
2
2
bekannt , dass b  a  a  b  2(a1b1  a 2 b 2  a 3b3 )  2·a·b . Eingesetzt in den Kosinussatz:
2
2·a·b  2· a · b ·cos  | : ( 2· a · b )
cos  
a·b
a·b
d
b
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B
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