Lineare Algebra für
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Prof. Dr. Hans-Georg Rück Lineare Algebra für Dr. E. Nana Chiadjeu Übungsblatt 04 Elektrotechniker/Informatiker Mechatroniker/Wirtschaftsingenieure 12.11.2012 Aufgabe 1 (a) Man vereinfache folgenden Ausdruck: → − → − → − → − − − − − − − − (→ a + b ) × (→ c − b)+→ c × (→ a − b ) − (→ c −→ a)×(b +→ a) 1 −2 − − (a) Man bestimme alle Vektoren, die auf → u = 2 und → v = 5 senkrecht stehen und die Länge 3 4 √ 7 haben. Aufgabe 2 Gegeben seien die Punkte P = (−2, 3, −4), Q = (3, −1, −4) und R = (−2, 5, −4) im Raum R3 . (i) Man bestimme den Punkt S so, dass P QRS ein Parallelogramm ist. (ii) Wie groß ist der Flächeninhalt dieses Parallelogramms ? −→ −→ (iii) Man bestimme anhand des Vektorprodukt den von P Q und P R eingeschlossenen Winkel. β −1 −1 → − − − Aufgabe 3 Gegeben seien die drei Vektoren → a = 2 , b = 1 und → c = 0 . 3 3 β (a) Man berechne das Spatprodukt der drei Vektoren. → − − − (b) Wie muss man β wählen, damit das Volumen des von den Vektoren → a , b und → c aufgespannten Spats 0 ist? Welche geometrische Bedeutung kann man davon ableiten? Aufgabe 4 Gegeben seien die Geraden 1 1 → − g1 = p = 0 + s −1 , −3 2 und g2 = s∈R −3 3 → − p = 3 +t 1 t ∈R −6 −2 − (a) Man bestimme zwei Punkte A und B auf g1 sowie einen Richtungsvektor → u von g1 (b) Welche Lage haben die beiden Geraden zueinander? Aufgabe 5 (10 Punkte) (a) Die drei Punkte A = (1, 1, 2), B = (−1, 1, −2), C = (2, α, 24) spannen im R3 ein Dreieck auf (α man dieses ∈ R).2 Verschiebt 1−α − , so überstreicht es 0 Dreieck durch den Vektor → v = α−1 ein Prisma im Raum. C v A B (i) Wie groß ist das Volumen V dieses Prismas? −→ −→ (ii) Bestimmen Sie α so, dass V = 0 wird. Was bedeutet dies geometrisch für die Vektoren AB, AC − und → v? (b) Gegeben seien die Geraden g1 = −1 3 → − p = 2 + t 1 , 3 −3 t∈R und g2 = −2 1 → − p = 3 + s b , 1 −1 s, b ∈ R . Welche Lage haben die beiden Geraden zueinander? Abgabetermin: Bis Montag 19.11.2012 um 10:00 Uhr in der Abgabefächer vor dem Raum 2303, WA. WICHTIG: Aufgabe 5 muss sorgfältig bearbeitet und abgegeben werden. Geben Sie auf jedem Blatt Ihren Namen, Vornamen, Matrikelnummer, Studiengang sowie Ihre Gruppennummer an. Weitere Informationen auf http://www.mathematik.uni-kassel.de/mathfb16/WS12˙13/LA/
