45. ¨Osterreichische Mathematik-Olympiade

45. Österreichische Mathematik-Olympiade
Bundeswettbewerb für Fortgeschrittene
1. Teil
4. Mai 2014
1. Man bestimme alle Paare (x, y) reeller Zahlen, die das folgende Gleichungssystem
erfüllen:
x2 + x = y 3 − y
y 2 + y = x3 − x
2. Eine Menge achsenparalleler, gleich großer Quadrate, deren Eckpunkte ganzzahlige
Koordinaten haben, heiße freundlich, wenn die Ränder von je zwei dieser Quadrate
genau zwei Punkte gemeinsam haben.
Wir betrachten freundliche Mengen, in denen jedes Quadrat die Seitenlänge n hat.
Man bestimme die maximale Anzahl a(n) von Quadraten in einer solchen freundlichen
Menge.
3. Die Folge han i sei definiert durch den Startwert a0 und die Rekursion an+1 = an + 2 · 3n
für alle n ≥ 0.
Man bestimme die Menge aller rationalen Werte von a0 , sodass für alle ganzen Zahlen
j und k mit 0 < j < k der Quotient
ajk
akj
eine ganze Zahl ist.
4. Gegeben sei ein rechtwinkeliges Dreieck M N P mit rechtem Winkel in P . Sei kM der
Kreis mit Mittelpunkt M und Radius M P , und sei kN der Kreis mit Mittelpunkt N
und Radius N P .
Seien A und B die Schnittpunkte von kM mit der Geraden M N , und seien C und D
die Schnittpunkte von kN mit der Geraden M N , wobei C zwischen A und B liegt.
Man zeige: Die Gerade P C ist die Winkelsymmetrale des Winkels AP B.
Arbeitszeit: 4 21 Stunden.
Bei jeder Aufgabe können 8 Punkte erreicht werden.