Höhere Mathematik 1 für Maschinenwesen und Chemie
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Zentrum Mathematik
Technische Universität München
Prof. Dr. Gero Friesecke
Dr. Johannes Giannoulis
Dr. Thomas Stolte
WS 2007/08
Blatt 4
14.11.07
Höhere Mathematik 1
für Maschinenwesen und Chemie-Ingenieurwesen
Zentralübung
Z 4.1 Winkel und Längen
−1
3
Gegeben sind die Vektoren p = 0 und q = 2 .
4
−2
a) Berechnen Sie den Winkel zwischen p und q.
b) Geben Sie einen Vektor n mit |n| = 1 an, der auf p und q senkrecht steht.
c) Bestimmen Sie λ ∈ R, so dass die Linearkombination s = p + q + λn die Länge |s| =
√
13 hat.
Z 4.2 Geraden
1
1
a) Sei x(t) = a + tu mit a = 2 , u = 0 und t ∈ R. Bestimmen Sie den Abstand dieser
3
1
Geraden zum Punkt 0.
−1
1
1
1
b) Seien x(t) = a + tu, y(s) = b + sv mit a = 0 , u = 1, b = 1, v = 0
3
0
1
1
und t, s ∈ R. Bestimmen Sie den Abstand zwischen diesen Geraden.
c) Begründen Sie geometrisch: Zu gegebenen Vektoren x̃, u ∈ R3 beschreibt
G = {x ∈ R3 | (x−x̃) × u = 0} die Gerade durch x̃ in Richtung u.
Z 4.3 Volumen von Pyramide und Tetraeder
Sei P die Pyramide mit Spitze w, deren Grundfläche durch das von u und v aufgespannte
1
Parallelogramm gegeben ist. Zeigen Sie: Das Volumen von P ist |(u × v) · w|.
3
Wie ändert sich das Volumen, wenn P durch das Tetraeder mit derselben Spitze und dem durch
u und v aufgespannten Dreieck als Grundfläche ersetzt wird?
Hausaufgaben
H 4.1 Parallelogramme und Parallelotope
a) Man bestimme die Fläche F des durch die Vektoren
1
3
u := 3
und v := 2
6
2
im R3 aufgespannten Parallelogramms.
b) Man bestimme die Fläche D des Dreiecks im R3 mit den Eckpunkten
4
1
2
0 , 3 und 2 .
1
5
−1
c) Man bestimme das Volumen V des durch die Vektoren
−2
3
1
8
und w =
u= 3 , v= 2
2
7
6
im R3 aufgespannten Parallelotops.
H 4.2 Tragbock
Die drei
einesTragbocks
führen
Stäbe
von
der Spitze S in Richtung der drei
Einheitsvektoren
0
−3
−1
0
a = 0 , b = √12 −1, c = √111 1 . Auf S wirkt die Kraft F = 60N 1 . Bestimmen
−1
−1
0
−1
Sie die Druckkräfte Fa , Fb , Fc in den jeweiligen Stäben des Tragbocks. Diese sind bestimmt
durch die Kräftegleichgewichtsbedingung
F + Fa + Fb + Fc = 0
und die Parallelitätsbedingungen
Fa = αa, Fb = βb, Fc = γc,
α, β, γ > 0.
H 4.3 Ebene
Gegeben sind die Punkte
1
A = 0 ,
−2
1
B = 1 ,
−3
0
C = 1 ,
−4
0
1
D = 2 .
2
−5
a) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der durch A, B, C verlaufenden Ebene. Welchen
Abstand hat D von dieser Ebene?
b) Geben Sie eine Parameterdarstellung jener Geraden durch D an, welche auf der in a) ermittelten Ebene senkrecht steht. In welchem Punkt P durchstößt diese Gerade die Ebene?
