Lösungen zu Kap. 07

Hinweise zu Lösungen 07
7.1 Matrix
1. Alle Stellen einer Matrix müssen besetzt sein. Dabei ist es möglich, dass einige Elemente 0
sind – aber auch 0 ist eine Zahl und nicht nichts.
1 1 0


2.  1 0 1 
 0 1 0


3. A = (aij)1  i  3, 1  j  3 mit aij = 2i+j–2.
4. A = (aij)1  i  3, 1  j  3 mit aij = 10–i –j+2.
7.2 Addition von Matrizen
1. (g, h, i) = (9, –12, 1).
2. Ja.
7.3 Quadratische Matrix
1. r r r f r
2. n(n+1)/2.
3. 2
4. Ja
7.4 Transponierte Matrix
1. Das sind genau die symmetrischen Matrizen.
2. Ja. Diese „schiefsymmetrischen“ Matrizen bilden sogar einen Vektorraum. (Das heißt unter
anderem, dass es viele solche Matrizen gibt.)
7.5 Matrizenmultiplikation
1. Wenn man die erste Zeile des Produkts ausrechnet, erhält man wegen der beiden Nullen –
1a, –1b und –1c. Da die erste Zeile des Ergebnisses – 3, 0, –1 ist, folgt a = 3, b = 0, c = 1.
Damit ergibt sich der Rest einfach.
3. Rechnen Sie beide Seiten aus!
4. Wählen Sie „zufällig“ zwei 22-Matriz3en (das heißt keine speziellen Matrizen, wie die
Nullmatrix oder die Einheitsmatrix o.ä.). Dann wird das Produkt mit ziemlicher Sicherheit
nicht kommutativ sein.
7.6 Der Rang einer Matrix
1. Eine Möglichkeit ist die folgende: Starten Sie von der Nullmatrix und tragen Sie dann
sukzessive in die Spalten einige Zahlen ≠ 0 ein.
3. Wenn der Rang 1 sein soll, muss es zunächst eine Spalte geben, die nicht nur aus Nullen
besteht. Wenn irgendeine andere Spalte nicht ein Vielfaches dieser Spalte wäre, dann wären
diese beiden Spalten linear unabhängig; also wäre der rang mindestens 2: ein Widerspruch.
4. Wir führen den Beweis für 33-Matrizen durch. Sei die erste Spalte von Null verschieden.
Sie möge aus den Elementen a1, a2, a3 bestehen. Nach der vorigen Aufgabe sind die zweite
und die dritte Spalte Vielfache der ersten. Also sind die Elemente der zweiten
beziehungsweise dritten Spalte die Elemente ka1, ka2, ka3 beziehungsweise ha1, ha2, ha3.
 a 1 ka 1 ha 1 


Das heißt, die Matrix sieht wie folgt aus:  a 2 ka 2 ha 2  .
 a ka ha 
3
3
 3
Nun betrachten wir die Zeilen. Da mindestens ein Element ≠ 0 ist, ist der Zeilenrang
mindestens 1. Andererseits geht die zweite Zeile aus der ersten durch Multiplikation mit a2/a1
hervor und die dritte durch Multiplikation mit a3/a1. Also sind die Zeilen linear abhängig.
Somit ist der Zeilenrang gleich 1.
7.7 Die Determinantenformel
1. Diese Methode funktioniert für jede „untere Dreiecksmatrix“, das sind Matrizen, die
oberhalb der Diagonale nur Nullen haben. In jedem Fall ist deren Determinante das Produkt
der Elemente auf der Diagonalen.
5. Quadratische Matrizen, die in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Element ≠ 0 haben,
nennt man „verallgemeinerte“ Permutationsmatrizen. (Eine „Permutationsmatrix“ ist eine
quadratische Matrix, die in jeder Zeile und jeder Spalte genau eine Eins und sonst nur Nullen
haben.) Die Determinante einer verallgemeinerten Permutationsmatrix ist jeweils plus oder
minus dem Produkt der von Null verschiedenen Elemente, wobei plus oder minus davon
abhängt, ob die durch die Matrix beschriebene Permutation gerade oder ungerade ist.
6. f f f r
7.8 Die Regel von Sarrus
2. Die Determinante ist a3 + 2b3 – 3ab2.
3. Den Ausdruck aus Aufgabe 2 kann man wie folgt umformen:
… = a3 – b3 + 3b3 – 3ab2 = (a – b)(a2 + ab + b2) + 3b2(a – b) = (a – b)(a2 + ab + b2 + a – b).
Die Determinante ist also genau dann gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
4. Die Nullen müssen in einer Zeile oder in einer Spalte stehen.
5. Zum Beispiel könnte das linke obere 22-Quadrat mit Nullen belegt sein.
6. Hinweis: Die Summanden mit positivem Vorzeichen kommen von den geraden
Permutationen, die mit negativem Vorzeichen von den ungeraden Permutationen.
7.9 Minor
9 8
 = 92 – 38 = –6.
1. A23 = det 
3 2
2. Die Minoren des Typs Aii der Einheitsmatrix haben den Wert 1, alle anderen den Wert 0.
3. a) Die Anzahl der 33-Permutationsmatrizen ist 3! .
b) Die Minoren einer Permutationsmatrix haben die Werte 1, –1 oder 0.
7.10 Entwicklung nach einer Zeile
1. det(A) = a11A11 –a12A12 + … + (–1)n+1a1nA1n.
2. det(A) = –a21A21 + a22A22 – … + (–1)na2nA2n.
3. … = 9(51 – 24) – 8(61 – 34) + 7(62 – 35) = …
4. det(A) = a11A11 – a21A21 + … + (–1)n+1an1An1 (Entwicklung nach der 1. Spalte).