Mathematik 1, Teil B

FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven · Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
Prof. Dr. J. Wiebe
www.et-inf.fho-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B
Inhalt:
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
Grundbegriffe der Mengenlehre
Matrizen, Determinanten
Vektoren, Rechenregeln
Komplexe Zahlen
Lineare Gleichungssysteme
Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik
Vektoren, Anwendungen in der Geometrie
Prof. Dr. J. Wiebe · FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven · Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.2
_____________________________________________________________________________________
1. Grundbegriffe der Mengenlehre
2. Matrizen und Determinanten
2.1 Definitionen
2.1.1 Begriff der Matrix
Matrix A vom Typ (m,n) oder kurz A(m,n) nennt man ein System von m mal n Elementen, z.B. Zahlen
(auch komplexe Zahlen), Funktionen, Differentialquotienten, Vektoren, die in m Zeilen und n Spalten
angeordnet sind:
A = (aij) =
 a11 a12 a13

 a 21 a 22 a 23
 a 31 a32 a 33

.
.
 .
a
 m1 a m2 a m3
... a1n  ← 1. Zeile

... a2n 
... a3n 

.
. 
... a mn 
↑
1. Spalte
Mit dem „Typ einer Matrix“ werden die Matrizen nach ihrer Zeilenzahl m und ihrer Spaltenzahl n klassifiziert. Eine erste Einteilung ergibt sich für
m ≠ n : rechteckige Matrix
m = n : quadratische Matrix
2.1.2 Transponierte oder gestürzte Matrix AT
Aus der Matrix vom Typ (m,n) entsteht durch Vertauschen der Zeilen und Spalten die transponierte
Matrix A T vom Typ (n,m). Für sie gilt:
(aji)T = (aij)
Beispiel:
1 2


A= 4 5


7 8


1 4 7

 2 5 8
AT = 
2.1.3 Nullmatrix 0
enthält als Elemente nur die Zahl 0
erstellt mit Papyrus X!
 0 0 ... 0 


0 0 ... 0 

0=
. . . .


 0 0 ... 0 
2-2
Prof. Dr. J. Wiebe · FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven · Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.2
_____________________________________________________________________________________
2.2 Quadratische Matrizen ( m = n )
A = A (n,n)
 a11 a 12 ... a1n 
a
a 22 ... a 2n 
21

=
 .
.
.
. 
 a

 n1 a n 2 ... a nn 
Hauptdiagonale:
von links oben nach rechts unten, d.h. die Elemente a11, a 22, ... , a nn
Diagonalmatrix:
Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind gleich null
a ij = 0 für i ≠ j
Spur einer Matrix:
= Summe der Hauptdiagonalelemente
Sp(A) = a 11 + a 22 + ... + ann
Symmetrische Matrix:
Es gilt: A = A T, a ij = a ji, d.h. jeweils zwei zur Hauptdiagonalen spiegelbildliche Elemente sind gleich.
Beispiel:
1 5 0


5
2
7


 0 7 3


Antisymmetrische oder schiefsymmetrische Matrix
wenn gilt: A = - AT
Für die Elemente gilt:
a ij = - aji für i ≠ j, a ij = 0 für i = j (die Hauptdiagonalelemente sind null)
Jede quadratische Matrix kann in eine Summe aus einer symmetrischen und einer antisymmetrischen
Matrix zerlegt werden:
A = As + Aas mit As = ½ ( A + AT ), Aas = ½ ( A - AT )
Normale Matrix, wenn gilt: AT A = A AT
Einheitsmatrix:
 1 0 ... 0 


0
1
...
0

 = (a ) mit a = 0 füri ≠ j
E=
ij
ij

. . . .
1 für i = j


0
0
...
1


erstellt mit Papyrus X!
2-3
Prof. Dr. J. Wiebe · FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven · Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.2
_____________________________________________________________________________________
Dreiecksmatrix:
1.)
Rechte oder obere Dreiecksmatrix R ( engl. U von upper )
Alle Elemente unterhalb/links der Hauptdiagonalen sind null
R = ( rij ) mit rij = 0 für alle j < i
2.)
Linke oder untere Dreiecksmatrix L ( engl. auch L von lower )
Alle Elemente oberhalb/rechts der Hauptdiagonalen sind null
L = ( lij ) mit lij = 0 für alle j > i
2.3 Vektoren
Matrizen vom Typ (m,1) heißen einspaltige Matrizen oder Spaltenvektoren der Dimension m.
Matrizen vom Typ (1,n) heißen einzeilige Matrizen oder Zeilenvektoren der Dimension n.
Mit Hilfe der Transponierung kann ein Spaltenvektor in einen Zeilenvektor umgewandelt werden.
Allgemein:
Spaltenvektor:
 a1 
 
r  a2 
a=
 M 
 a 
 m
Zeilenvektor:
r
a T = (a 1, a 2 , K, a m )
2.4 Rechenoperationen mit Matrizen
2.4.1 Gleichheit zweier Matrizen A = (aij) und B = (bij)
A = B, wenn A und B vom gleichen Typ sind und wenn aij = bij für alle i,j
2.4.2 Addition und Subtraktion von Matrizen
ist möglich, wenn sie vom gleichen Typ sind.
Rechnung erfolgt elementweise:
A ± B = (aij) ± (bij) = ( a ij ± bij )
Beispiel:
 1 3 7   3 −5 0   4 −2 7 

+
 =

 2 −1 4   2 1 4   4 0 8 
Kommutativgesetz:
Assoziativgesetz:
A+B=B+A
(A+B)+C =A+(B+C)
erstellt mit Papyrus X!
2-4
Prof. Dr. J. Wiebe · FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven · Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.2
_____________________________________________________________________________________
2.4.3 Multiplikation mit einer reellen oder komplexen Zahl z
Jedes Element der Matrix wird mit der Zahl z multiplziert
z·A = z·( a ij ) = ( z·aij )
Beispiel:
 1 3 7   3 9 21
=

0
−
1
4

  0 −3 12 
3· 
Umkehrung: Ein Faktor, der in allen Elementen der Matrix enthalten ist, kann ausgeklammert werden.
Division durch eine reelle oder komplexe Zahl z = Multiplikation mit dem Kehrwert 1/z
2.4.4 Multiplikation zweier Matrizen ( Skalares Matrixprodukt )
Das Produkt A·B zweier Matrizen A und B läßt sich nur bilden, wenn die Spaltenzahl des linken Faktors
gleich der Zeilenzahl des rechten Faktors ist.
Ist A vom Typ ( m,l ), muß B vom Typ ( l,n ) sein und das Produkt C = A·B wird vom Typ ( m,n ).
Mit A = ( aij ), B = ( bjk ) und C = ( c ik ) gilt:
Ein Element c ik ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B.


a
b
∑ ij jk  = ( cik ) = C; i = 1, 2, ... , m; k = 1, 2, ... , n
 j=1

l
A·B = 
Beispiel:
 3 2


B = −5 1


 0 3


 1 3 7


A = 2 −1 4


 −1 0 1 


FALKsches Schema
zur Durchführung der
Multiplikation:
3
2
−5 1
0 3
A
B
−12 26
1
3
7
2
−1 4
11
15
−1
0
−3
1
1
C
c22 = 2·2 - 1·1 + 4·3
erstellt mit Papyrus X!
2-5
Prof. Dr. J. Wiebe · FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven · Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.2
_____________________________________________________________________________________
Anmerkungen:
*
Falls die beiden Produkte A·B und B·A gebildet werden können, ist im allgemeinen
A·B ≠ B·A
Das Kommutativgesetz gilt nicht.
*
Multiplizieren mit der Einheitsmatrix E:
A·E = E·A = A
Anwendung der Matrix-Multiplikation auf lineare Gleichungsssysteme:
Gegeben: System mit n Unbekannten x1, x2, ... , xn
a 11x1 + a 12x2 + ... + a 1n xn = c1
a 21x1 + a22x2 + ... + a2n xn = c 2
M
M
M
M
a n1x1 + an2x2 + ... + ann xn = c n
 a11 a 12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2n 
Setzt man als sog. Koeffizientenmatrix A =
 .
.
.
. 


 a n1 a n 2 ... a nn 
 x1 
x 
 2
und die Spaltenvektoren X =
 M 
 
 xn 
 c1 
c 
 2
und C =
 M 
 
 cn 
so läßt sich das Gleichungssystem auch in der Form A·X = C darstellen.
Durch Verwendung der inversen Matrix A-1 zu A kann man die Werte der Unbekannten für verschiedene
Konstantensätze c1, c 2, ... , cn direkt durch Matrixmultiplikation finden.
erstellt mit Papyrus X!
2-6
Prof. Dr. J. Wiebe · FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven · Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.2
_____________________________________________________________________________________
2.5 Determinanten
2.5.1 Defintionen
Eine Determinante D ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix A zugeordnet ist.
Definition mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes:
D = det(A) = det( aij )
=
a11 a12
a 21 a 22
M
M
a i1 a i2
M
M
a n1 a n2
K a 1j
K a2j
M
K a ij
M
K a nj
K a 1n
K a 2n
M
K a in
M
K a nn
n
=
∑ aij Aij ,
j=1
i fest ← Entwicklung nach Zeile i
n
=
∑ aij Aij ,
i =1
j fest ← Entwicklung nach Spalte j
Hierbei ist Aij die mit dem Vorzeichenfaktor (-1)(i+j) multiplizierte Unterdeterminante des Elements aij,
genannt „Adjunkte“ oder „Algebraisches Komplement“.
Unterdeterminante:
Eine Unterdeterminante (n-1)-ter Ordnung des Elements a ij einer Determinante n-ter Ordnung heißt diejenige Determinante, die sich durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte aus A ergibt.
Beispiel:
a11 a12
A = a 21 a 22
a 31 a 32
a13
a 23
a 33
A12 =
a 21 a 23
a 31 a 33
Berechnung von Determinanten 2. Ordnung
D=
a11 a12
a 21 a 22
= a 11·a22 - a 12·a21
Mit dieser Grundformel und dem Entwickeln nach Zeilen oder Spalten können grundsätzlich alle
Determinanten berechnet werden. Allerdings gibt es andere schnellere Möglichkeiten.
erstellt mit Papyrus X!
2-7
Prof. Dr. J. Wiebe · FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven · Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.2
_____________________________________________________________________________________
Berechnung von Determinanten 3. Ordnung
1.)
Durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte
Beispiel: Entwicklung nach der 1. Zeile
a11 a12
D = a 21 a 22
a 31 a 32
= a 11
a13
a 23
a 33
a 22 a 23
a 21 a 23
a 21 a 22
- a 12
+ a 13
a 32 a 33
a 31 a 33
a 31 a 32
Die drei Unterdeterminanten 2. Ordnung müssen noch jeweils ausgerechnet und mit ihren Vorfaktoren
multipliziert werden. Nach Ordnen und Zusammenfassen erhält man bei allgemeiner Rechnung ein
Ergebnis, das sich schneller auch ergibt durch:
2.)
Die Regel von SARRUS
a11 a12
D = a 21 a 22
a 31 a 32
a13
a 23
a 33
a11
a12
a 21 a 22
a 31
a 32
(+)
(-)
D = a11a 22a33 + a12a 23a31 + a 13a21a 32 - a13a 22a31 - a 11a23a 32 - a12a 21a 33
Die Regel von Sarrus ist nur auf Determinanten von 3. Ordnung anwendbar !!!
Determinanten 4. Ordnung und höher
Durch Entwickeln nach Zeilen oder Spalten wird die Ordnung der Unterdeterminanten solange vermindert, bis Unterdeterminanten 3. oder 2. Ordnung entstanden sind.
Einfacher ist meist das systematische Umformen mittels der Rechenregeln für Determinanten, z.B.
nach dem Gaußschen Algorithmus, mit dem Ziel, möglichst wenige oder gar keine Unterdeterminanten tatsächlich noch ausrechnen zu müssen.
erstellt mit Papyrus X!
2-8
Prof. Dr. J. Wiebe · FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven · Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.2
_____________________________________________________________________________________
2.5.2 Rechenregeln für Determinanten
1.)
Der Wert einer Determinante ist unabhängig von der Wahl einer Entwicklungszeile oder -spalte.
2.)
Der Wert ist null, wenn
a)
eine Zeile oder Spalte aus Nullen besteht
b)
zwei Zeilen oder zwei Spalten gleich sind, evtl. bis auf einen Faktor
c)
eine Zeile (bzw. Spalte) eine Linearkombination anderer Zeilen (bzw. Spalten) ist.
3.)
Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn
a)
die Zeilen mit den Spalten vertauscht werden: det(A) = det(A T)
b)
zu irgendeiner Zeile (bzw. Spalte) eine andere Zeile (bzw. Spalte) oder eine Vielfaches
einer anderen Zeile (bzw. Spalte) addiert oder subtrahiert wird.
c)
zu irgendeiner Zeile (bzw. Spalte) eine Linearkombination anderer Zeilen (bzw. Spalten)
addiert oder subtrahiert wird.
4.)
Vertauschen zweier Zeilen (bzw. Spalten) ändert das Vorzeichen der Determinante.
5.)
Eine Determinante wird mit einer Zahl multipliziert, indem die Elemente einer einzigen Zeile
(bzw. Spalte) mit dieser Zahl multipliziert werden.
6.)
Multiplikation zweier Determinanten
Gegeben: Matrizen A und B
det(A)·det(B) = det(A·B)
Beispiele zu den Rechenregeln:
Gegeben:
1 2 3


Matrix A = 4 5 6


7 8 9


Determinante durch Entwickeln nach der 1. Zeile ergibt
D = 1·(45 - 48) - 2·(36 - 42) + 3·(32 - 35) = -3 - 2·(-6) + 3·(-3) = 0
Determinante nach der Sarrus-Regel ergibt:
D = +45 +84 +96 -105 -48 -72 = 225 - 225 = 0
(1) Wird Zeile 2 von Zeile 3 subtrahiert,
(2) Wird jetzt Zeile 3 zu Zeile 1 addiert, wird
4 5 6
D= 4 5 6
3 3 3
1 2 3
erhält man D = 4
5 6
3 3 3
Nach Regel 2b) ist D = 0, weil zwei Zeilen
gleich sind.
erstellt mit Papyrus X!
2-9
Prof. Dr. J. Wiebe · FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven · Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.2
_____________________________________________________________________________________
2.5.3 Berechnung der Determinante mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus
Prinzip:
Durch Kombinieren von Zeilen nach den Rechenregeln wird systematisch eine obere/rechte Dreiecksmatrix erzeugt:
a11 a12
0 a '22
0
0
M
M
0
0
a13
a '23
'
a 33
M
0
K
K
K
a1n
a '2n
a ''3n
M
( n −1)
K a nn
Anmerkung: Die Elemente der 2. bis n-ten Zeile
haben nicht mehr die originalen Werte, sie sind
durch einen oder mehrere Kombinationsschritte
verändert.
Die Dreiecksmatrix wird durch mehrfaches Entwickeln nach einer Zeile (von unten nach oben) bestimmt.
Ihr Wert ergibt sich schließlich immer (wegen der Nullen im unteren/linken Dreieck) aus
n
D=
∏ aii
i =1
= a 11·a22·a 33· ... ·a nn
Beispiele:
1.)
0 −2 −4
D= 3
8 4
−1 2 6
Gegeben: Determinante 3. Ordnung
Umwandlung nach dem Gaußschen Algorithmus:
(1)
(2)
Ist das Element a11 gleich null, so wird
die erste Zeile mit einer anderen vertauscht:
Anmerkung: Vorzeichen wechsel von D
durch den Zeilentausch
D=
2
3
0
8 4
−2 −4
6
Durch Kombinieren der ersten Zeile mit den anderen können in der 1. Spalte in der zweiten und
allen weiteren Zeilen Nullen erzeugt werden. Hier muß nur noch das Element a 21 = 3 zu null werden. Dies geht durch die Rechnung: 2. Zeile + 3*1.Zeile.
−1 2
6
D = 0 14 22
0 −2 −4
Damit folgt:
(3)
−1
Damit auch die 2. Spalte der Dreiecksmatrix
entspricht, muß das Element a 32 = -2 zu null
werden. Dies geschieht mit der Rechnung:
7*3. Zeile + 2. Zeile.
Anmerkung: Durch die Multiplikation der
3. Zeile mit 7 erhöht sich D um den Faktor 7. *)
erstellt mit Papyrus X!
2-10
−1 2 6
D = 0 14 22
0 0 −6
Prof. Dr. J. Wiebe · FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven · Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.2
_____________________________________________________________________________________
(4)
Berechnen von D:
D = -1·[ -1·14·(-6)] / 7 = - 12
*)
Wird die Zeile, zu der ein Vielfaches einer anderen addiert wird, vor der Addition selbst nicht verändert, so bleibt auch die Determinante unverändert. Wird die Zeile, zu der ein Vielfaches einer
anderen addiert wird, vor der Addition selbst mit einem Faktor multipliziert, so verändert sich auch
die Determinante um diesen Faktor.
2.)
Gegeben: Determinante 4. Ordnung
1
3
D=
-1
7
0
8
2
1
-2
4
6
-8
5
1
-3
0
(1) Erzeugen von Nullen in der 1. Spalte = 1. Schritt
1
0
0
0
0 -2
5
8 10 -14
2 4
2
1 6 -35
←
←
←
←
1. Zeile bleibt unverändert
2.Z. - 3*1.Z.
3.Z. + 1.Z.
4.Z. - 7*1.Z.
(2) Erzeugen von Nullen in der 2. Spalte = 2. Schritt
1
0
0
0
0 -2
5
8 10 -14
0 6 22
0 4 -36
←
←
←
←
1. Zeile bleibt unverändert
2. Zeile bleibt unverändert
4*3.Z. - 2.Z
4.Z - ½*3.Z.
D um Faktor 4 erhöht
(3) Erzeugen von Nullen in der 3. Spalte = 3. Schritt
1
0
0
0
0 -2
5
8 10 -14
0 6 22
0 0 -152
←
←
←
←
1. Zeile bleibt unverändert
2. Zeile bleibt unverändert
3. Zeile bleibt unverändert
3*4.Z. - 2*3.Z.
D um Faktor 3 erhöht
(4) Produkt der Hauptdiagonalelemente ( mit Berücksichtigung von Zusatzfaktoren )
D = (1·8·6·(-152)) / ( 4·3 ) = - 608
Anmerkung: Man darf nicht in einem der ( Gauß-) Schritte zwei bestimmte Zeilen zweimal miteinander
kombinieren. Dadurch werden zwei Zeilen, die sich höchstens um einen Faktor unterschei
den, erzeugt. Also wäre die Determinante dann immer null.
erstellt mit Papyrus X!
2-11