1. Untersuchen Sie folgende Vektoren ⃗a, ⃗b und ⃗c
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Technische Universität Chemnitz Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.1 David Meier Aufgabenkomplex 2: Vektoren und Matrizen Bitte die Arbeiten deutlich mit „Höhere Mathematik I.1, Aufgabenkomplex 2” kennzeichnen. (Abgabe in Briefkasten bei Zimmer Rh. Str. 41/615) 1. Untersuchen Sie folgende Vektoren ⃗a, ⃗b und ⃗c auf lineare Unabhängigkeit. Bestimmen Sie gegebenenfalls alle Zahlen u ∈ R, für die dies der Fall ist. Drücken Sie im Fall der linearen Abhängigkeit den Vektor ⃗c als Linearkombination der Vektoren ⃗a und ⃗b aus. a) 4 −2 −2 ⃗a = 5 , ⃗b = −2 und ⃗c = 1 −2 1 1 b) −1 −2 1 ⃗a = 4 , ⃗b = 4 und ⃗c = 4 2 1 4 c) 1 1 8 ⃗ 3 2 ⃗a = , b = und c⃗u = u 2 1 1 d) 1 1 0 ⃗ ⃗a = 2 , bu = 0 und c⃗u = u 1 u 1 e) 1 2 1 a⃗u = 2u , b⃗u = 2u und c⃗u = 1 0 1 0, 5u 2. Zeigen Sie, dass der Punkt B(3, 0, 4) ein Punkt der Kugel mit Mittelpunkt M(1, −2, 3) und Radius r=3 LE ist. Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene T durch B, welche senkrecht zu MB steht, an. 3. Überprüfen Sie, welche der nachstehenden Matrizen miteinander multipliziert oder addiert werden können und bilden Sie alle möglichen Summen und Produkte: −1 1 −1 1 1 0 0 0 ( ) ( ) 3 0 −3 4 0 2 6 1 −1 1 −1 0 1 0 0 A = −6 −1 , B = ,C = , D = , E = 0 0 1 0 1 0 −2 5 3 −1 1 1 −1 5 2 1 −1 −1 1 0 0 0 1 3 ( ) 5 4 3 −5 2 f = und G = 0 −1 3 2 6 −1 Hinweis: Wir erhalten 13 verschiedene Matrizen! Beachten Sie: Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ die Matrixaddition hingegen schon! Ausgabe: 28.4.2011 Letzter Abgabetermin: 12.5.2011 Seite 1 von 2 Technische Universität Chemnitz Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.1 David Meier 4. A sei eine beliebige Matrix mit mindestens 3 Zeilen. Mit welcher Matrix B muss man die Matrix A von links multiplizieren (d.h. BA berechnen), damit: a) die 1. mit der letzten Zeile vertauscht wird. b) das Dreifache der 3. Zeile zum Zweifachen der ersten Zeile addiert wird. c) das Fünffache der zweiten Zeile mit dem Dreifachen der ersten Zeile vertauscht wird. d) eine einzeilige Matrix entsteht, deren Komponenten die Summen der Spalten der Matrix von b) sind. 5. Bestimmen Sie die Parameter x, y und z so, dass die drei Vektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen! x −3 4 ⃗a = −25 , ⃗b = y und ⃗c = 1 −3 −4 z 6. Bestimmen Sie einen Vektor d⃗ senkrecht zu ⃗a und ⃗b mit dem Betrag von ⃗c! 4 9 1 ⃗a = −2 , ⃗b = −4 und ⃗c = −11 3 −5 −23, 5 Ausgabe: 28.4.2011 Letzter Abgabetermin: 12.5.2011 Seite 2 von 2
