Differentiation und Integration von Vektoren

2. Hausübung :
zur Ableitung und Integration von Vektoren

Aufgabe 2.1: Bilde die erste und zweite Ableitung des Vektors b(s) nach dem Parameter s,




wenn b(s)  2 s e x  e y sin(2 s)  e z (cos( 2 s )  e  2 s ) ist.



Aufgabe 2.2: r ( t)  p 0 t e x  p 0 ( t  T0 sin(0 t)) e z ist die in der x, z - Ebene liegende
Bahnkurve einer Punktmasse, mit T0  2 / 0 .
a) Schreib die Parameterdarstellung x(t), z(t) der Bahnkurve auf.
b) Bestimme die Bahnkurve in der Darstellung z = z(x).
c) Skizziere den Graphen z(x) für x   0, 60 cm , 20 cm  2  p0 / 0 .
d) Berechne die Geschwindigkeit und skizziere die Graphen von x / p 0 und z / p0 über
t / T0 im Intervall t / T0   0 , 3  .
e) Berechne die Beschleunigung und skizziere die Graphen 
x / (p0 0 ) und z / (p0 0 ) über
t / T0 im Intervall t / T0   0 , 3  .


Aufgabe 2.3: r ( t)  e y (2 t 2 )(m / s 4 ) ist die Beschleunigung einer Punktmasse als Funktion der Zeit t.



a) Berechne ihre Geschwindigkeit als Funktion von t, wenn r (2 s)  2 (m / s) e x  3 (m / s) e z
gegeben ist.


b) Was erhält man für die Bahnkurve für r (2s)  2 me y ?
c) Gib die Parameterdarstellung der Bahnkurve an.
m, s stehen hier für die Maßeinheiten Meter bzw. Sekunde.
Lösungen zur 2. Hausübung




  sin( 2 s )
Aufgabe 2.1: a) db(s) / ds  2 e x  2 e y cos(2 s)  e z 
 2 e 2 s 
2s




 
b) d2b(s) / ds 2  4 e y sin(2 s)  e z  4 e 2 s 

Aufgabe 2.2: a) x( t)  p0 t ,
y( t)  0 ,
2 s cos( 2 s )  sin( 2 s ) 

2s 2s

z( t)  p0 ( t  T0 sin(0 t))
b) z( x)  x  2  (p0 / 0 )sin((0 / p0 ) x )  x  20 cm sin(( / 10)( x / cm))
c) s. Skizze der Funktion
z
20 cm


x 
 sin  2 
 , mit x /20 cm und z /20 cm
20 cm
20 cm 

x
als neuer Variabler
Eingabe in Mathematika: Plot[x-Sin[2*Pi*x],{x,0,3}], Drücken von Shift- und Exe-Taste
3
2
1
0.5
1
1.5
2
2.5
3





d) r  p0 e x  p0 e z (1  2 cos(0 t))  p 0 e x  p 0 e z (1  2  cos(2  ( t / T0 ))
x
p0
 1,
z
p0
 1  cos[2  ( t / T0 )]
Die Skizzen zeigen x / p0 über t / T0 beziehungsweise z / p0 über t / T0
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
2
2.5
3
6
4
2
-2
0.5
1
1.5
3
-4

r  e
z p0 0 2  sin(2 ( t / T0 )) ,
die Skizze zeigt den Graphen
z
p 0 0
über t / T0
6
4
2
-2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-4
-6

Aufgabe 2.3: a) r ( t) 

r ( t) dt 




t3
4
2
4
e y (2m / s ) t dt  e y (2 m / s )
 C1
3
Die (vektorielle) Integrations-Konstante folgt nach Einsetzen der für die Geschwindigkeit
gegebenen Bedingung in diese Gleichung.




Man erhält C 1  (2 e x  3 e z  (16 / 3) e y )(m / s) und damit








r ( t)  2 e x  e y (2 / 3)( t / s) 3  (16 / 3)  3 e z (m / s)

b) r ( t) 

 r ( t) dt




 s
 (m / s)(2 e x  3 e z ) t  (m / s)e y  ( t / s) 4  (16 / 3) t   C 2
6





Man erhält C 2  2 m ( 2 e x  5 e y  3 e z ) und damit




r ( t)  e x  4  2( t / s) m  e y 10  (16 / 3)( t / s)  (1 / 6)( t / s) 4  m  e z 6  3 ( t / s) m
c) x( t)  2 m ( 2  ( t / s)) ,
z( t)  3 m (2  ( t / s))
y( t)  m (10  (16 / 3)( t / s)  (1 / 6)( t / s) 4 ) ,