Lösungen – Potenzen mit natürlichem Exponenten 9/4 a) a∙a∙a∙a∙a∙a

Lösungen – Potenzen mit natürlichem Exponenten
9/4
a) a∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a=a8 b) a∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a=a8 c)
aaaaaaaa
 a4
aaaa
d) (a∙a∙a)2=a∙a∙a∙a∙a∙a=a6 e) (a∙a∙a∙a)3=a∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a=a12
f) Produkt zweier Potenzen mit gleicher Basis: Man behält die Basis bei und nimmt
als Exponent die Summe der beiden Exponenten.
Quotient zweier Potenzen mit gleicher Basis: Man behält die Basis bei und nimmt
als Exponent die Differenz der beiden Exponenten.
Potenz von Potenzen: Man behält die Basis bei und nimmt als Exponent das
Produkt der beiden Exponenten.
g) 5a4∙5a4∙5a4=5∙5∙5∙a4 ∙a4 ∙a4=125a12 h) a4∙b3∙a4∙b3=a4 ∙a4 ∙b3 ∙b3=a8 ∙b6
2 2
22
4
a 4 a 4 a 4 a 4  a 4  a 4 a 12
i) 2  2  2 2  4 j) 2  2  2  2 2 2  6
a a
a a
a
b b b
b b b
b
k) Potenz von Produkten: Produkt der Potenzen der einzelnen Faktoren.
Potenz von Quotienten: Potenz des Dividenden durch Potenz des Divisors.
11/6
am
 a m  n Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten
n
a
subtrahiert.
Regel: a n  b n  (a  b) n Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man
die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
an
Regel: n  ( a : b) n Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die
b
Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
Regel: (a m ) n  a mn Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert
und die Basis beibehält.
Regel:
11/7
11/ 9
11/10
11/11
a) 216
c) y6
a) 3r2
b) -256
d) 40c4
2
d) xy 3
3
c)-5
d) 625
e) -216
e) 8z8 g) -10x12
 xy
e)
4
f) -216
g) -1728
h) x7
Potenz von Produkten:
a  bn  (ab)(ab)...(ab)  aa...abb...b  a n  b n
1
n  Faktoren( a )
n  Faktoren:( a b )
n  Faktoren( b )
(1) Assoziativgesetz und Kommutativgesetz
n
a
Potenz von Quotienten:   
b
n  Faktoren( a )
a

b
a
n  Faktoren( )
b
a
a 2 a  a  ...  a a n
 ...  

b
b b  b  ...  b b n
n  Faktoren( b )
(2) Rechenregel für die Multiplikation von Brüchen
m  Faktoren( a )
( m  n )  Faktoren( a )
a m a  a  ...  a ( 3) a  a  ...  a
Quotient von Potenzen: n 

 a mn
a  a  ...  a
1
a
n  Faktoren( a )
(3) Rechenregel für die Division von Brüchen
mn
Potenz von Potenzen: ( a m ) n  ( a  a  ...  a ) n  ( a  a  ...  a )  ...  ( a  a  ...  a )  a
m  Faktoren( a )
11/12
( nm )  Faktoren( a )
Die Seitenlänge des großen Würfels beträgt 3x, das Volumen ist VW=(3x)3. Die
Seitenlänge eines kleinen Würfels beträgt x, das Volumen ist VK=x3. Das Volumen des
großen Würfels besteht aus 27 kleinen Würfeln; als gilt VW=(3x)3=33∙x3.
Lösungen – Potenzen mit natürlichem Exponenten
11/13
11/14
11/16
11/17
a) 32x5 b) 125y3 c)
2 2
16
2 e) x2 f) x y
d)
9z
49
81 y 4
a) 64s6 b) x6y4 c) d12f3 d) r6s9t12 e) –x10z15
a) x=6 b) x=1 c) x=6 d) x=3 e) x=5 f) x=1 g) x=3 h) x=2
a)
an
1
-1
-2
-3
(-1)
(-2)
(-3)
2
1
4
9
3
-1
-8
-27
4
1
16
81
b) Ist die Basis einer Potenz negativ, so ist das Ergebnis positiv, wenn der Exponent gerade
ist und negativ, wenn der Exponent ungerade ist.
c) Der erste Term ist stets positiv, da a2 stets positiv ist, auch wenn a negativ ist; die
Potenz einer positiven Zahl ist stets positiv.
(a2)n ist für jedes a positiv; ist a positiv so ist der gesamte zweite Term positiv, da
das Produkt zweier positiver Zahlen immer positiv ist; ist a negativ, so erhält man das
Produkt einer positiven mit einer negativen Zahl, und das ist negativ.
12/18
a) x5∙x3=x5+3=x8 aber (x5)3=x5∙3=x15
12/19
V = s3
12/21
(am)n=am∙n=an∙m=(an)m
12/22
a) a4
O=6s2
V:O=
s
6
c) x6
b) x∙y
b) (ax)2=a2x2≠ax2 falls a ≠ 1
d) 1
e)
1
t u4
12/23
a) - falsch, denn die erste binomische Formel lautet : (a+b)2 =a2 +2ab +b2
- falsch, denn a2 + a2 = 2a2 nicht a4
- richtig, a2 + 3a2 = 4a2
- falsch, denn a2 + 2a2 = 3a2 nicht 2a4
b) Zusammenfassen gleichartiger Glieder: pan + qan = (p+q)an bzw. pan - qan = (p-q)an
Außerdem sind die binomischen Formeln richtige Regeln für das Addieren und das
Subtrahieren von Potenzen.
13/26
Gesetz
Beispiel mit Zahlen
Produkt von
Potenzen
Quotient von
Potenzen
a m  a n  a mn
32  34  36
am
 a m n
an
45
 43
42
Potenz von
Produkten
Potenz von
Quotienten
(a  b) n  a n  b n
(3  5) 2  32  52
Potenz von Potenzen
a 
13/27
n
4
34
 3
   4
2
2
an
a
   n
b
b
m n
(22)5=45=1024
3 
2 3
 a mn
 36
2 2  2 32  4,295  109
5
Beispiel mit
Variablen
x2  x4  x6
p5
 p2
p3
(c  d ) 2  c 2  d 2
4
m4
m
   4
n
n
x 
2 3
 x6
Lösungen – Potenzen mit ganzzahligem Exponenten
14/1
1 2
1
1
1
1
;2  0,25  ;2 3  0,125  ;2 4  0,0625  ;2 5  0,03725 
2
4
8
16
32
1
Definition : a n  n
a
1
1
1
51  0,2  ;32  0,111...  ;10 3  0,001 
5
9
1000
b) Das Ergebnis ist stets 1. Definition: a0=1
c) Auf dem Taschenrechner erscheint „Error“. Offenbar ist 00 nicht definiert.
2 1  0,5 
14/2
a) Zähler und Nenner sind in jedem Fall gleich; die Brüche sind deshalb jeweils gleich 1.
am
am
Nach den Rechenregeln für Potenzen gilt: a mn  n ; für m=n gilt: a 0  a mm  m  1
a
a
4
m
2
16 1
a
b) 7 
 ; nach den Rechenregeln für Potenzen gilt: n  a m n ;
2
28 8
a
4
1 1
2
danach gilt: 7  2 47  2 3 ; also 2 3   3 ;analog zeigen auch andere Beispiele, dass die
8 2
2
1
Definition a n  n sinnvoll ist. Andere Ergebnisse: 3-4; 5-1; 4-k; a-n
a
1 1
,1)
c) 1(1, ,
4 125
1
15/5 a) 1 b) 1 c) 0,000001 d) 1 e) 16 f) 8 g)1 h) 1000 i) 1
j)
8
100
16
2
3
1
a
1
b
15/6
a ) 4 b) c ) r 6 d ) 2 6 e )
x
b
9x y
12a 3
15/7 a )  65 b) x 4 y 6 c)1d ) 12 e)  6 p 2
a
f
16/8
16/9
a)
1
a10
3b 3
b
)
1
c
)
d
)
b3
2b8
a3
a)16 b) -16 c)16
d)
1
1
1
e)
f)
16 16
16
2
2
2
16/10 a) Beispiel:  2   32  9 ;  2   4
2
4  3
9
 3
1
n
n
an  a 
a n a n b n
a
 n ; dies ist der Kehrbruch zu n   
b)    n 
1
b
b
a
b
b
n
b
6
1
a )a x b) y a c)2 3 x 2 d )a b1e) x 8 f ) 2 g )3h ) 2 x 1 i )t 12 s j )b 2 y
16/11
b
a
16/12
2
1 8a 9
b6
y5
5
a )  b ) 8 c ) 6 d ) 9 e ) 3
3
b
8a
x
2
Lösungen – Potenzen mit ganzzahligem Exponenten
16/13
1 1
yx

x y
yx
x y
1
x y
xy
a)





x y
x y
x  y ( x  y ) xy
( x  y ) xy
xy
1
b) y a b  y ( b  a )  b  a
y
1
1
16/14
1 1
 und dieser Bruch ist nicht definiert.
03 0
00 ist nicht definiert, weil 0 0  0 33  03  0 3 und dies ist nicht definiert (s.o.)
0-3 ist nicht definiert, weil 0 3 
16/15
a) Bei den beiden Brüchen stimmen weder die Basis noch der Exponent überein.
b)Man kann mithilfe des „Permanenzprinzips“ begründen:
1
1
1 1
1
1
2
s2 

s1 

s0  1

s 1  1 

s  2  2 c) 3a   32  a 2  2  2  2 2 
:s
.s
:s
:s
s
s
3 a
3 a
(3a ) 2
44
16/16 Beispiele: 4+4+4-4 = 8
4∙4 - 4- 4 =8
4 4 44 8
2
4 4
4 4
44
4
4 4
1
4
6
1
 4  4  10
44
4
4
4 4
17/21
a) Ausgabe: 3.6 x1013
b) Ausgabe: 2 x1014
c) Ausgabe: 8.1 x10-13
18/23
18/24
a) 3,84 ∙105
18/25
Das Ergebnis ist 3,6∙1013 = 36 000 000 000 000
Das Ergebnis ist 2 ∙1014 =200 000 000 000 000
Das Ergebnis ist 8,1∙1013 =0, 000 000 000 000 81
b) 7∙ 10-3
c) 4,0075 ∙104
d) 3,2 ∙10-1
a) 58 000 000
b) 0, 000 000 000 000 000 000 160 2
c) 290 000 000 000 000 000 000 000 d) 140 500 000
a) 14,2 ∙104 =142 000
d) 2,5004∙103=2500,4
b) 1,206∙10-1=0,1406
e) ≈ 2,1176∙105
c) 4,2∙101=42
f) ≈3,0667∙105
18/26
3,171 1010 Jahre = 31 710 000 000 Jahre 31Milliarden710Millionen Jahre (1018s
=1 Trillion Sekunden)
19/27
lanet
Merkur
Venus
Erde
Mars
Jupiter
Saturn
Uranus
Neptun
Pluto
Durchmesser (km)
5∙103
1,2∙104
1,28∙104
6,8∙103
1,43∙105
1,21∙105
5,2∙104
4,95∙104
3∙103
19/28
Größte Entfernung (km)
220 000 000
260 900 00
400 000 000
967 000 000
1 658 000 000
3 160 000 000
4 689 000 000
7 525 000 000
a) 733s≈ 12min b) 3223s ≈54min (53min43s) c) 5527s ≈92min = 1h32min7s
d) 25 083s ≈418min =6h58min
19/29 Schwarzschildradius für die Sonne: R ≈2978m≈3km
Lösungen – Potenzfunktionen
12/24
a) Zunächst stellt man fest, dass man die Graphen der Funktionen in zwei Gruppen
einteilen kann: Funktionen mit geradem Exponenten und Funktionen mit ungeradem
Exponenten:
Eigenschaft
n>0,
n>0
n gerade
n ungerade
Wertemenge
W={ y | y ≥ 0 }
W=IR
Symmetrie
Achsensymmetrisch zur yPunktsymmetrisch zum
Achse
Ursprung
Steigungsverhalten
Für x<0 fällt der Graph und für Der Graph steigt an für
x>0 steigt der Graph an
alle x-Werte
Alle Graphen verlaufen
… (-1|1), (0|0) und (1|1)
… (-1|-1), (0|0) und
durch die Punkte …
(1|1)
Definitionsmenge
D=IR
D=IR
b)
Aufgabe: Potenzfunktionen in der Form f(x)=a(x-d)n+e
a) a: Streckfaktor
a>0: Parabel nach oben geöffnet
a<0: Parabel nach unten geöffnet
|a|<1: Parabel weiter geöffnet
|a|>1: Parabel enger geöffnet
d: Verschiebung in Richtung der x-Achse (d.h. nach rechts oder nach links)
e: Verschiebung in Richtung der y-Achse (d.h. nach oben oder nach unten)
b)
i)
ii)
Dg=IR
Wg={y|y≥-2}
Achsensymmetrisch zu y-Achse
Dg= IR
Wg={y|y≥0}
Achsensymmetrisch zur Geraden x=-1
Lösungen – Potenzfunktionen
c)
iii)
iv)
Dg= IR
Wg={y|y≥1}
Achsensymmetrisch zu x=2
Dg= IR
Wg={y|y≤0}
Achsensymmetrisch zu x=1
i)
ii)
Dg= IR
Wg= IR
Punktsymmetrisch zu P(-1|1)
Dg= IR
Wg= IR
Punktsymmetrisch zu P(2|-1)
16/17
1
x
b) Auch hier passt die Einteilung der Graphen der Funktionen in zwei Gruppen: Funktionen
mit geradem Exponenten und Funktionen mit ungeradem Exponenten:
Eigenschaft
n<0,
N<0
n gerade
n ungerade
Wertemenge
W={ y | y > 0 }
W={ y | y ≠ 0 }
Symmetrie
Achsensymmetrisch zur yPunktsymmetrisch zum
Achse
Ursprung
Steigungsverhalten
Für x<0 steigt der Graph und
Der Graph fällt für x<0
für x>0 fällt der Graph
und für x>0
Alle Graphen verlaufen
… (-1|1) und (1|1)
… (-1|-1) und (1|1)
a) f ( x) 
durch die Punkte …
Definitionsmenge
D={ x | x ≠ 0 }
D={ x | x ≠ 0 }
Lösungen – Potenzfunktionen
c) Alle folgenden Aussagen beziehen sich nur auf Potenzfunktionen der Form f(x)=xn; nϵZ
Alle Potenzfunktionen …
- … mit geradem Exponenten sind achsensymmetrisch zur y-Achse
- … mit ungeradem Exponenten sind punktsymmetrisch zu (0|0)
- … mit n>0 sind für alle reellen Zahlen definiert und mit n<0 alle reellen Zahlen ohne
die Null.
- … verlaufen durch den Punkt (1|1)
- … mit n>0 verlaufen durch den Punkt (0|0), und mit n<0 haben sie keinen
gemeinsamen Punkt mit der x-Achse (vgl. Wertemenge!)
- … mit geradem Exponenten verlaufen durch den Punkt (-1|1), mit ungeradem
Exponenten durch (-1|-1)
- …
d)
Aufgabe: Potenzfunktionen mit negativen Exponenten
i)
ii)
Dg= {x | x≠2}
Wg={y| y>0}
Achsensymmetrisch zu x=2
Dg= {x | x≠0}
Wg={y| y<-1}
Achsensymmetrisch zur y-Achse
iii)
iv)
Dg= {x | x≠0}
Wg={y| y≠1}
Punktsymmetrisch zu P(0|1)
Dg= {x | x≠-1}
Wg={y| y≠0}
Punktsymmetrisch zu P(-1|0)
17/18
a)
(1) f(x) = x2n Der Graph gehört zu einer Potenzfunktion mit positivem geradem
Exponenten.
(2) i(x) = x-(2n+1) Der Graph gehört zu einer Potenzfunktion mit negativem, ungeradem
Exponenten.
(3) g(x) = x2n+1 Der Graph gehört zu einer Potenzfunktion mit positivem, ungeradem
Exponenten
(4) h(x)= x-2n Der Graph gehört zu einer Potenzfunktion mit negativem, geradem
Exponenten.
b) Für jede reelle Zahl x gilt 1x=1
Aufgabe: Wahr oder falsch? Begründe!
a) Wahr, weil bei einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten die Variable x im Nenner
steht und somit ein Wert für x gefunden werden kann, so dass der Nenner Null ist. Die
Division durch Null ist aber verboten!
 Die Funktion ist für einen x-Wert nicht definiert (sog. Definitionslücke) und kann
somit nicht in einem Stück gezeichnet werden.
1
n
f  x   a x  d   e  a 
 e für n ϵ IN
 x  d n
 Für x=d wird der Nenner Null
 Df= {x | x≠d}
b) Falsch! Z.B. besitzt die Funktion f(x)=x-3 einen ungeraden Exponenten, aber es gibt
keinen x-Wert, für den die Funktion den y-Wert 0 annimmt. Der Graph nähert sich für
sehr große oder sehr kleine x-Werte der y-Achse nur an, berührt sie aber nie!
1
Bsp.: f 1000000 
 10 18 (… fast Null, aber eben nur fast …)
3
1000000
Aufgabe: Abschlusstraining!
Lösungen können auf den elektronischen Übungsblättern angezeigt werden.
Lösungen – Wurzeln und Potenzen mit reellen Exponenten
20/1 a) (1) x=2 (2) keine Lösung (3) x1=10; x2=-10
(4) x=-5
b)
c>0
c=0
c<0
n gerade
zwei Lösungen
eine Lösung
keine Lösung
n ungerade
eine Lösung
eine Lösung
eine Lösung
c) In den Graphiken sind Graphen von Potenzfunktionen mit unterschiedlichen Exponenten n
sowie zur x-Achse parallele Geraden abgebildet. Die Stellen, an denen der Graph der
Potenzfunktion y = xn mit der Geraden y=c einen Schnittpunkt hat,sind die Lösungen der
Gleichungen xn=c. Man sieht: es gibt Fälle mit zwei Schnittpinkten, mit einem Schnittpunkt
(oder mit einem Berührpunkt) oder mit keinem Schnittpunkt.
22/5 a) 1,741 b) 1,2599 c) 1,7783 d) 0,7937 e) 1,2589 f) 2,4298
22/6 a) 2,3084 b) 1,0574 c) 0,7368 d) 2,0124 e) 0,6178 f) 0,7211
22/7 b) L  
22/8 a) L={3}
22/9a)
n
7



e) L   
100   1,93 c) L   4 625   5;5
b) L={-1,93;1,93} c) L={} d) L={1,58}
 a  b  ( a  b)
b    a    b   a  b; rechteSeite : 
a n b  n ab 

n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
linkeSeite : n a  n
a b
b) n-te Wurzel aus a oder b ist für a<0 bzw. b<0 nicht definiert.
c)
n
n
a
n
b
n
n
n
n a 
 a
n a 
a
  n    n  ; linkeSeite :  n  
b
 b
 b
 b
 a
 b
n
n
n
n

n
 a b
n
 a
a
a
 ; rechteSeite :  n  
b
b
 b
22/10
a) Distributivgesetz #
b) (1)  75 7 (2) keine Vereinfachung (3)
22/11 b) b) 
23/12 a) 2
3
20  2 45  3 4  5  2  9  5  6 5  6 5  12 5
8  2 2c )23 5d )keineVere inf achunge)4 5 (84 2  5) f )  6 3g )  83 4
1
b) 6 c) 1
d) 2
e) 3
3
23/14
a) Die Argumentation wird mit der Annahme begonnen, aus einem negativen
Radikanden könne man die Wurzel ziehen.
b) Hieraus folgt 6 2 6  2  2  2 falsch! Die Annahme hat zu einem falschen Ergebnis
geführt; die Annahme muss also falsch sein.
23/15
Zur Vereinfachung kann man den Wurzelexponenten und den Exponenten der
4
1
Potenz um den gleichen Faktor „kürzen“. a) a3 b) x12 c) y d) s-2= 2 e) / f) 4b-1 =
b
s
23/16
23/17
a ) a  3 a ; b) a  4 a 3 ; c ) c 3  3 c ; d ) a 2  3 a 2 ; e ) a  b 2  4 a ; f ) f  g  3 f  g 2
1
3
1
n
20  2,714; Definition : a  n a
X
1
x2
1
2
≈2,8284
3
4
1
4
8
9
16
25
27
≈5,1962
1
1
1
b) (1) x  ; b  a ; ( 2) x  (3) x 
2
3
n
1
2
1
x2
1
≈1,5874
2
≈2,0801
≈2,5198
≈2,9240
3
Lösungen – Wurzeln und Potenzen mit reellen Exponenten
24/18
3
2
4  4  ( 4 )  2  8;
3
3
3
8

2
3

1
8
24/19 b)
4
25/22
b)
a
a
5
3
2
3
a
25/23
25/24
25/25
a)
( 8)
2

1 1

22 4
 
3
 125; f )
1
 36 
3

1
216
4  2; b)5 32  2; c)4 81  3; d )8 256  2
6
4
15
10
5
c) 100 6  100; d )12 3  123 12 ; f )2 5  2 3  8; g )7 4  7 2  49 7
1
3
1
4
a) a  a  a
5 2
  
3 3
1 1
  
3 4
a
7
12
 12 a 7
Die Exponenten wurden multipliziert statt addiert.
 a die Exponenten wurden dividiert statt subtrahiert.
a ) x; b)6 a 5 ; c)6 a ; d )b 4 ; e)8 x
a) O ≈ 1,85m2 b) individuell
a) F(5)≈34,65 (C|S) F(20) ≈ 82,41 (E) F(28) ≈ 130,81 (C)
Beispiel: F(8) ≈ 41,203
25/26
1
3
625  5; c )3 1000  10; d )( 3 27 ) 2  9; e) 25
24/20 a)
25/21

2
3
F(20) ≈ 82,406 =2∙F(8)
p(30) ≈ 28,09 hPA; p(40) ≈ 8,502 hPA; p(45) ≈ 4,678 hPA