Bezaubernde Beweise, Eine Reise durch die Eleganz der

I.3
Rechenoperationen dritter Stufe:
Das Hochrechnen = Potenzieren mit den beiden
Umkehroperationen Wurzelziehen und Logarithmieren
Wer noch bei den Rechenoperationen 1. und 2. Stufe noch Schwierigkeiten haben sollte,
dem empfehle ich Videos im Internet anzuschauen. Das kann man natürlich auch für
Potenzen,
Wurzeln
und
Logarithmen
tun.
Die
Suche
nach
Backup-Learning
(bckuplearning), oder MatheHilfe24.de, LernenOnline.net führen bestimmt zum Erfolg.
Ansonsten hilft etwa auch der Prof. Christian Spannagel von der PH Heidelberg mit den
Mathematische Grundlagen I (Primarstufe)
Einführung in die Arithmetik (Steuerung gedrückt haltend anklicken)
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Entsprechend wie man eine wiederholte Addition durch eine Multiplikation
abkürzt, kann man eine wiederholte Multiplikation durch eine Potenz
vereinfachen. Beispielsweise ist
2x2x2x2x2
=2
5
= 32
(sprich `2 hoch 5´)
Allgemein ist
eine POTENZ
↓ Hochzahl
a
b
=
c
← Wert der Potenz
Grundzahl ↑
Man nennt a die Grundzahl oder Basis und b die Hochzahl oder den
Exponenten:
Das
Potenzieren
ist
nun
aber
nicht
mehr
„schön“,
will
heißen
symmetrisch. bzw. kommutativ. Vertauscht man die Basis mit der
Hochzahl, so ergibt sich ein anderer Wert (die einzige ganzzahlige
2
4
Ausnahme ist 4 =2 ):
a
b
≠ b
a
Das „Hochrechnen“ oder Exponieren1 ist nicht einmal mehr assoziativ,
d. h. das Klammergesetz über die bisher beliebige Reihenfolge der
Ausführung gilt auch nicht mehr
1
Die Exponentialfunktion fand Johann Bernoulli (1667-1748)
- ein Glied der Familie von Mathematikern mit vererbter Genialität aus Bern.
Die Bernoullische Ungleichung stammt von seinem Bruder Jacob Bernoulli (1655-1705)
n
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(1+a) > 1+na
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b c
(a )
bc)
≠ a(
Beispielsweise sind die Zahlen
9 9
(9 )
99)
und 9(
doch ziemlich verschieden: Während der Taschenrechner bei ersterer noch
81
ein Ergebnis ausrechnen kann (nach dem 1. Potenzgesetz ist sie ja 9 )
bringt er bei der letzteren nur das Ergebnis „Error“ (Overflow, über 10
99
nämlich, d. h. es sind nur zwei Stellen Speicheplatz für die Hochzahl
vorhanden!): Diese Zahl ist schlichtweg zu groß für den Taschenrechner!
99)
9(
hat über 260 Millionen Stellen und ist
über 9 587 420 408 mal größer als die 9
81
vgl. Binominalkoeffizienten S.24
- Durant, Weltgeschichte der Menschheit Band 25, Kapitel 18,
Wissenschaftliche FORSCHUNG (1648-1715), Seite 42f.
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Natürlich liefern auch hier die „Umkehrrechnungen“ zum Hochrechnen
wieder neue, bislang unbekannte Zahlen, nämlich die irrationalen (nicht
rational, d.h. nicht als Bruch schreibbaren) und transzendenten2. Alle die
Zahlen, und noch dazu die sonstigen
Diese „überschreitend-verrückten“
sog. transzendenten Zahlen, zusammen mit allen anderen Zahlen, nennt
man die reellen Zahlen R.
Suchen wir zunächst nach einer Zahl, deren Quadrat wir kennen.
2
x =4
ist einfach zu lösen. Allerdings gibt es nun zwei Lösungen, nämlich 2 und
auch noch -2,
weil ja auch minus mal minus stets plus ist!
Aber welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt nun z.B. 2? 3
2
x =2
x = ±√2
Z. B. die Eulersche Zahl e oder die Kreiszahl π:
Pi ist nicht vom Himmel gefallen, sondern musste seit ihrem Entdecker
Archimedes von Syrakus vor über 22 Jahrhunderten sehr, sehr mühsam
berechnet werden!
Transzendent (quod algebrae vires transzendit) heißt nach Leonhard
Euler (1707-1783) eine Zahl, die nicht als Lösung irgend einer
Gleichung n-ten Grades (= aus einer algebraischen Gleichung)
gewonnen werden kann. 2 + 2i ist zB. algebraisch.
3
Wenn Sie z.B. beim Kopierer eine Buch-Doppelseite (2 DIN A 4 –
Seiten) kopieren wollen (z.B. DIN A 3 -> DIN A 4), dann muß man eben
auf
70,7 % verkleinern (1/√2 = ½ * √2), nicht auf 50%.
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2
Diese Zahl √2 ist nicht mehr rational, sondern - sofern sie überhaupt
existiert - „irrational“, da sie nachweislich durch keinen Bruch p/q
dargestellt werden kann 4, denn wegen p²=2q² ist mit p² auch p selbst
gerade und somit p² durch vier teilbar und also wiederum q selbst gerade
usw., und man könnte also sogar ewig durch 2 kürzen5.
Abb. 2
Die Abkürzung über die Diagonale ist kürzer als der Weg 1+1 über die Seiten
Da 1,5²=2,25 ist, liegt √2 zwischen 1 und 1½, nämlich bei etwa 1,41418…..
4
Man kann sie aber als Grenzwert eines unendlichen Kettenbruchs erhalten:
Jede irrationale Quadratwurzel lässt sich als periodischen Kettenbruch schreiben, nicht
aber die transzendenten Zahlen, wie beispielsweise die Kreiszahl π ~ 3,14159…, die man
auch nicht als Lösung irgendeiner Gleichung n-ten Grades erhalten konnte, sondern (seit
ihren Entdecker Archimedes) mühsam berechnen musste.
5
Diesen Beweis müsste man eher als Nichtexistenzbeweis von √2 interpretieren.
Alle Computersysteme, Währungen und Kontostände kommen völlig ohne sie aus!
Zu behaupten, dass ein Quadrat keine Diagonale hat, wäre aber schon schwerwiegender.
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Zeichnerisch kann man die Frage so stellen bzw. beantworten (Abb. 2):
Ein
Schokoladen-Fabrikant
möchte
seine
quadratisch-praktische
Schokolade statt mit nur 100g auch in einer quadratische 200g-Tafel zum
Verkauf anbieten. War die 100g-Tafel ein Quadrat mit 10cm Seitenlänge,
wie lang muss dann die neue Quadratseite werden? Darauf antworten die
meisten spontan mit 20 cm. Eine Aufzeichnung ergibt aber recht
anschaulich, dass dann die Tafel viermal so groß ist, also auch 400 g hat.
Andrerseits kann man die ursprüngliche Tafel diagonal halbieren und vier
dieser
Hälften
zu
einem
Quadrat
mitten
in
dieses
20cm-Quadart
platzieren, so dass dessen Seitenmitten gerade das doppelte Quadrat
ergeben. Die Diagonale des ursprünglichen Quadrats ist dann die neue
Quadratseitenlänge:
Keep in mind:
Die Diagonale eines Quadrats ist immer das √2 =1,414… -fache
seiner Seitenlänge! Das Seitenmitten-Quadrat hat stets die halbe
Fläche des Ausgangsquadrats.
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Abb. 3
Teilt man übrigens das Quadrat nicht in der Mitte der Seiten, sondern
stattdessen jede Seite sukzessive im Verhältnis a zu b, dann bilden die
vier Teilpunkte auch ein Quadrat der Seitenlänge c, für die der Satz des
Pythagoras6 gilt (Abb. 3), der wegen der
binomischen Formel (a+b)² = a²+2ab+b² schnell bewiesen ist.
6
Ein Mathematiker behauptet, die ganze Geometrie sei nur eine wiederholte
Anwendung des Satzes von Pythagoras (z. B. lassen sich damit die Strahlensätze
beweisen)!
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Allerdings gibt es nun plötzlich zwei Umkehroperationen (Wurzel und
Logarithmus), denn das Potenzieren ist ja nicht mehr vertauschbar (nicht
kommutativ oder nicht abelsch).
Suchen wir die Unbekannte x als Grundzahl, deren 5.te Potenz 32 ist
5
x = 32
ist, so erhalten wir
5
x = √32
als die fünfte Wurzel aus 32.
Allgemein:
Sucht man zu einem gegebenen Wert einer Potenz nach deren Basis zu
einer vorgegebenen Hochzahl n, dann muss man ganz dringend zum
Zahnarzt gehen:
Die n-te Wurzel ziehen!
Berechnung mit dem Taschenrechner über 5 x√ (bzw. SHIFT Dach) 32 EXE
oder wenn dies nicht vorhanden ist
mittels xy mit x=32 und y = 1/5 oder 0,2
bzw. 32^(1:5);
Aber die Klammern dabei nicht vergessen,
1
da sonst 32^ durch 5 geteilt wird!
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x
Suchen wir die Unbekannte x als Hochzahl für die 2 = 32 ist, so erhalten
wir x als Logarithmus7 von 32 zur Basis 2:
2
x = log 32
Merke:
Die Suche nach der Hochzahl heißt Logarithmieren!
Zur Berechnung mit dem Taschenrechner
wird immer durch den log n der neuen Basis n dividiert:
Man kann nämlich jeden Logarithmus von einer Basis a in eine andere
Basis b umrechen, indem man den neuen Logarithmuswert zur Basis b
durch den Logarithmus der alten Basis a dividiert:
a
b
b
log x = log x: log a
log ist (meist) der Zehnerlogarithmus
(manchmal auch als lg abgekürzt)
ln ist der Logarithmus naturalis (sog. natürliche)
zur Basis e
7
Logarithmieren heißt, die Hochzal zu suchen, also bei gegebener Basis (welche
meist auch unter dem log geschrieben wird), den Exponenten (=Hochzahl) suchen. Alle
0
Logarithmen von 1 sind Null (denn a = 1).
Falls die Basis a > 1 ist, sind sie für größere Werte positiv und für kleinere
negativ. Für Null selbst wir der Logarithmus minus unendlich, und der Logarithmus aus
negativen Werten existiert nicht.
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lb ist der binäre Logarithmus zur Basis 2
d.h.
2
x = log 32 = lb 32
(oder möglicherweise auch „ld“ 32
für die duale Basis des Zweiersystems)
Es soll an dieser Stelle noch erwähnt werden, dass die Logarithmen
früher, bevor die Taschenrechner kamen, für die Praxis von Berechnungen
z.B. bei Techniker und Ingenieuren eine wichtige Rolle gespielt haben:
Jeder Ingenieur lief mit einem Rechenschieber bewaffnet herum! Die
Multiplikation konnte man nämlich auf die Addition zurückführen: Zwei
Skalen
werden
dazu
übereinander
geschoben
(allerdings
mit
logarithmischer Skalierung).
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Potenzgesetze
Während es für die Rechenoperationen erster Stufe keine Gesetze gibt,
werden die der höheren Stufen bei Basisgleichheit besonders einfach.
Beispielsweise ist 2³ mal 2² = 2x2x2 mal 2x2 = 2
5
(2+3)
(2³) = 2³x2³x2³x2³x2³ = 2
=2
5
15
Anstelle der Multiplikation tritt eine Addition und anstelle des
Potenzierens einer Potenz ist nur noch ein Produkt zu berechnen.
Die Rechenoperation wird um eine Stufe heruntergesetzt! Allgemein ist
an mal am = a n+m
1.)
an : am = a n-m
2.)
Aus dem zweiten Gesetz folgt wegen an : an = a n-n = a0 die Definition
a0 = 1
Strittig wäre allenfalls noch, ob auch 00 = 1 sein soll
denn 0 hoch eine positive Zahl ist sonst immer Null8
(d.h. man kann aus Nichts mit Nichts ein ganzes Weltall erschaffen?),
8
Wenn bei allen endlichen Zahlenkörpern (Restklassenkörper bezüglich einer
Primzahl) immer
00 = 0 ist,
dann muss dies nicht auch für den unendlichen Fall gelten!
Vorsicht also beim Unendlichen: Wenn etwas für alle endlichen Werte n richtig
ist, folgt daraus also nicht, dass es auch für das Unendliche (n=∞) gilt!
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Ferner weiß man nun was negative Hochzahlen bedeuten, denn für m > n
wird die Ergebnishochzahl von an : am = a n-m ja negativ:
Das Minuszeichen bewirkt in der Hochzahl kein negatives Vorzeichen,
sondern den Kehrwert:
a -n = 1 : a n
Aus dem ersten Potenzgesetz folgt aber auch, dass z. B.
a³a³a³a³ = a
12
4
3x4
also (a³) = a
ist,
und somit das folgende Potenzgesetz, wie Potenzen potenziert werden,
nämlich indem die Hochzahlen multipliziert werden
m
(an)
3.)
4.)
m
= a nm
(d. h. hoch n
mal
m
)
√ an = a n:m
Und wieder hat man damit die Rechenstufe um eins erniedrigt!
Das 1. Potenzgesetz beinhaltet also schon das zweite, nämlich weil die
Exponenten für m auch negativ sein dürfen. Das vierte folgt aus dem
dritten, wenn man eine gebrochene Hochzahl m verwendet, da
m
√x
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=
x
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1/m
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Merke:
a1 = a
a½= √a
a0 = 1
a-1 = 1/a
9
Gebrochene Hochzahlen bedeuten, dass man die Wurzel ziehen muss.
Beispiel:
½
Ist die Hochzahl ½, dann muss man die Quadratwurzel ziehen: x = √x,
⅓
Die Hochzahl ⅓ bedeutet, die Kubikwurzel ist zu ziehen: x =
3
√x
Eigentlich ist das 1. und 2. Potenzgesetz sowieso ein einziges
Gesetz, wenn man statt einer natürlichen Hochzahl m eine negative –m
nimmt.
Dasselbe gilt für das 3. und 4, wenn man statt m den Kehrwert 1/m
9
-1
=m
verwendet.
Schlimmer noch, da ja die Zahlen nach der allgemeingültigen
Zahlenrechts-Konvention nicht diskriminiert werden dürfen, muss ein
Gesetz immer für alle gleichermaßen gelten;
d.h. die Potenzgesetz gelten nicht nur für alle rationalen Hochzahlen
√2
n und m, sondern müssen auch für irrationale ( z. B (√2√2) = (√2)² =2
oder
√2
√(a√2) = a√2: √2= a )
und transzendente Hochzahlen wie z. B.  und e gelten:
Beispiel (e) = e² ist auch transzendent
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Will man etwa das Volumen eines Würfels verdoppeln
(sog. Delisches Problem, den würfelförmigen Altar Apolls zu verdoppeln, was das
Orakel weissagte, um die Pest auf Delos beenden zu können),
so muss die Kante
3
√2 ~ 1,2599 mal so lange
werden:
⅓
⅓
V = (2 a)³ = (2 )³ a³ = 2a³
wobei man noch das triviale Gesetz
n
n
n
(ab) = a b
4
anwandte. Die vierte Wurzel aus 2 ist √2 ~ 1,1892…
Aber die Hochzahlen dürfen auch irrational oder gar transzendent sein!
(Und sogar komplexe Hochzahlen sind erlaubt.
Beispielsweise ist i hoch i eine reelle Größe, nämlich 1/√e
π
ii = e- ~ 0,2
1/2
0788
siehe das Kapitel >>Die schönste aller mathematischen Formeln<<)
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Potenzen von Summen
Warum
so
viele
Schüler
immer
Probleme
mit
dem
Multiplizieren
zweigliedriger Ausdrücke, - sprich den binomischen Formeln - haben,
ist mir unbegreiflich!
3 x 2 + 1 = 6+1 ist nicht dasselbe wie 3 x (2+1) = 3x3
allgemein ab+c ≠ a(b+c),
das müsste doch jeder begreifen!
- Zu was wären sonst die Klammern?
Die Multiplikation mit einer Summe ist durch das Verteilungsgesetz
(Distributivgesetz) geregelt, das die beiden Operationen Plus und Mal
miteinander verknüpft, lautet
a(b+c) = ab+ac
Ist nun a selbst eine Summe, so dass wir statt a nun a+b schreiben,
dann wird aus a(b+c) = ab+ac eben
(a+b)(b+c) = (a+b)b+(a+b)c
= aa+bb + ac+bc
= a² + b² + ac +bc
Ersetzen wir nun noch c durch den Buchstaben a, dann erhalten wir
(a+b)(b+a) = a²+b² + ab +ba = a²+b² +2ab (denn ab = ba und ab+ab=2ab)
Da nun ja die Addition symmetrisch operiert, also b+a = a+b ist,
folgt daher
(a+b)(a+b) =
(a+b)²= a²+2ab+b²
Aber das ist für manche einfach unbegreiflich, das doppelte Produkt 2ab!
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Schreiben wir also im obigen Zahlenbeispiel statt 3 = 2+1, dann wird aus
3 x (2 + 1) nun (2+1) x (2 + 1) und das ist (2+1)² = 9
und dies ist aber nicht gleich 2²+1²
sondern es ist das doppelte Produkt von 2 mal 1 = 4 muss noch dazu addiert
werden!
Natürlich müssen unsere Gesetze immer auch für die erweiterten Zahlen
gelten, d.h. alle Zahlen sind immer gleichberechtigt, ob sie (wie in diesem
Falle) gut oder böse, positiv oder negativ sind.
Ist nun b eine böse Zahl (kann ja sein, dass sie negativ ist!),
- kennzeichnen wir sie mal mit rot -
dann wird aus
(a+b)²= a²+2ab+ b²
und weil b²= b² ist, folgt daraus, wenn wir die Sache mit dem b wieder
positiv sehen, und also aus der bösen roten Zahl wieder eine schwarze
Zahl b machen indem wird ihre Bosheit mit dem Vorstrafenzeichen minus
versehen: b = -b
(a-b)² = a²-2ab+b²
und das Vorzeichen - verwandelt sich in ein Operationszeichen „subtrahiere“:
Die Addition einer negativen Zahl ist eben eine Subtraktion, denn
(+a)+(-b) := a - b
Natürlich ist das eigentlich schon in der ersten enthalten, - denn es gilt
wie gesagt – Gleichheit für alle Zahlen!
Unter den Zahlen gibt es keine Diskriminierung.
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Und aus (a+b)(a+b) = a²+ab + ba+bb wird, wenn wir die böse rote b
nach Strafverbüßung nun wieder als gute Zahl b resozialisieren, aber mit
einem Minus-Eintrag im Führungszeugnis versehen:
b = -b,
Also
ab = – ab
Und da auch die Multiplikation symmetrisch operiert, also
ab = ba ist,
erhalten wird heben sich die mittleren Summanden weg, (man schaufelt
den Sandhaufen einmal rüber und dann wieder zurück, hätte man`s also
gleich lassen können):
a² +ab-ab - b² = a²-b²
Somit lautet die 3. Binomische Formel
(a+b)(a-b) = a²
-
b²
Kapiert? Mal sehen!
Was ist also 49²?
(50-1)²=50² - 2x50x1 +1²=5x5x100 - 100 +1=2401
27² = (20+7)² = 20² + 2*20*7 + 7² = 729
Und was ist 49x51 ohne GTR?
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(50-1)(50+1)=50²-1²=2500-1=1499
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Wie kann man aber x²-1 als Produkt schreiben?
(x+1)(x-1)
Anmerkung:
Während man also die Differenzen zweier Quadrate - wie man sagt faktorisieren kann, das heißt als ein Produkt zweier Faktoren schreiben
kann, geht dies nicht bei den Summen zweier Quadrate.
Die
komplexen
Zahlen
ermöglichen
aber
genau
dieses
(und
die
Quaternionen sogar auf drei verschiedene Arten), da das Produkt zweier
konjugiert komplexer Zahlen
z
z
= a+ib und
konkomplex
= a-ib
gerade das Quadrat seiner Länge (das sog. Normquadrat) ergibt:
a²+b² = (a+bi)(a-bi)
wobei das Quadrat der imaginären Einheit
i² = -1
die negative Einheit
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ist
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Die höheren Potenzen einer Summe kann man entsprechend herleiten:
(a+b)³= a³+3a²b+3ab²+b³
Schließlich gibt es auch noch ein arithmetisches Dreieck, das der kleine
Blaise Pascal entdeckte, - der Erfinder der Wahrscheinlichkeitsrechnung -,
dem der Vater verboten hatte sich mit Mathematik zu beschäftigen, damit
er mehr Latein und Griechisch lerne, schon vor fast 400 Jahren als Kind.
Die darunter stehende Zahl ist die Summe der beiden darüber
stehenden10
1
1
1
1
1
4
(a+b)
=
n=0
2
3
n=1
1
n=2
3
1
n=3
1
4
6
4
1





4
1a +

4+0
n=4
4a³b + 6a²b²+ 4ab³+1b

3+1
4



2+2
1+3
0+4
Die Summe der Hochzahlen
ist hier für n=4 bei jedem Summanden stets 4
(denn die Hochzahl Null bewirkt als das neutrale EINS-Element das
0
0
Verschwinden in einem Produkt a = 1 = b
(sogar
0
0 =1)
was wir gleich noch definieren könnten  siehe 2. Potenzgesetz!)
So käme in der nächsten Zeile für n=5 an dritter Stelle unter 4
und 6 die Summe 10
(vier über 1)+(vier über 2) (fünf über 2)
und allgemein (n über k) + (n über (k+1)) = ((n+1) über (k+1))
Es ist der erste Koeffizient immer 1 gefolgt von n und dann kommt
die Summe bis n.
(n über 1) = n, (n über 2) = Summe der ersten n natürlichen
Zahlen
10
Aus Symmetriegründen ist
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(n über k) = (n über (n-k))
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1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
/
Einer
n
9
10
11
12
28
45
120
126
210
66
/ 78
5
56
126
84
252
210
462
7
28
36
120
1
8
1
9
45
1
10
1
330
792
1716 1716
/
1
21
70
924
1
6
35
462
792
1
15
35
126
330
4
10
56
84
1
20
21
36
55
10
15
7
8
3
6
5
6
1
3
4
1
1
(13 über 5)=(13über6)=13x12x11
3432
Summe 1 bis n
Übrigens:
Bei der linksbündigen Anordnung liefert die Summe der Einträge in den Diagonalen die
Fibonacci-Zahlen
Anzahl ungeraderZahlen in der Diagonalen (Stern-Broct-Folge)
Diagonalsumme
2
1
3
2
3
2
3
5
8
13
1
4
21 34
3
55
5
89 = Fibonacci-Folge
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5 10 10
5
1
1
6 15 20 15
6
1
7 21 35 35
21 7
1
8 28 56 70
56 28 8 1
1
9
1
1
1
>>Die verkannte Schwester der Fibonacci-Folge<<, Spektrum Mai 2015
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oder
(n+1 über k+1) = (n über k) + (n über k+1)
Die geraden Binominalkoeffizienten bilden gleichseitige „Mitten“-Dreiecke!
Stellt man die geraden Zahlen des Pascalschen Dreiecks als weiße und
ungerade als schwarze Punkte dar, dann erhält das Sierpinski-Dreieck11.
Für die Sierpinski Pyramide aus 2052 Magnet-Kugeln
---- www.youtube.com/watch?v=P--sH14KTrA&feature=related
11
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SierpinskiTremas.shtml
Das Dreieck von Waclaw Sierpiński (1882 - 1969) wurde1915 als das klassischste
aller Fraktale beschrieben. Sein Flächeninhalt ist null, sein Umfang ist unendlich, und
jeder Teil des Ganzen enthält - verkleinert, aber ansonsten vollständig - das Ganze: Um
derart merkwürdige Eigenschaften zu verstehen, musste sich Sierpiński intensiv mit den
Paradoxien der Mengenlehre auseinandersetzen.
Paradoxa: http://www.youtube.com/watch?v=XXjtcoue40g&feature=related
Zooming Sierpinski: http://math.bu.edu/DYSYS/animations/sierp-zoom.html
Crashing http://math.bu.edu/DYSYS/animations/sierp-crash.html
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Dieses FRAKTAL hat eine fraktale “Dimension„
zwischen 1 und 2, nämlich 1,58512
Sierpinski Pyramide im Dreidimensionalen
http://www.youtube.com/watch?v=XXjtcoue40g&feature=related
( fraktale Dimension?)
Der Sierpinski-Würfel hat die fraktale Dimension 2,7267
12
http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=tc7azAONxsw
www.Udo-Rehle.de
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Diese sog. Binominalkoeffizienten13 (n über k) des Dreiecks, besagen,
wie viele Möglichkeiten man hat, um k Gegenstände aus einer
Menge von n Gegenständen aus zu wählen, z. B. 6 Kugeln aus 49
Kugeln zu wählen oder
im Lottoschein 6 Zahlen anzukreuzen, ergibt
(49 über 6) = 49x48x47x46x45x44
: (1x2x3x4x5x6),
das sind etwa 12,9 Millionen!
Der binomische Lehrsatz
oder kurz
n
(a+b) = ∑
bis n
k=0
k
(n über k) a b
n-k
wurde schon 1665 von Isaac Newton14 entdeckt, aber erst 1676
veröffentlicht15.
13
Ein Bi-Nom ist ein algebraischer Ausdruck für zwei durch ein Plus – oder
Minuszeichen verbundene Zahlen.
Die Vorzahlen der Potenzen (n über k) = n mal (n-1) mal (n-2) ... bis mal (nk+1)
geteilt durch k-Fakultät (also je k Faktoren)
(das sind ebenso viele Faktoren, wie durch die man teilt, nämlich das Produkt der
ersten natürlichen Zahlen bis k = 1x2x3x bis mal k ist, z. B. (4 über 2) = 4 mal 3 durch
1 mal 2
Dies lässt sich an einem Beispiel für n=9 verdeutlichen: Das Ausmultipliieren von
(a-b)9 bringt stets Summanden von Produkten mit neun Faktoren etwa aabaaabba. Wie
oft kommt nun der Faktor b dreimal darin vor? Aus Neun drei herausgreifen bzw. an eine
Stelle zu platzieren ergibt für das erste b Möglichkeiten (Platz 1 bis 9), für das zweite
noch 8 und für das dritte b noch 7 Möglichkeiten, etwa als Beispiel 738 für aabaaabba.
Das es aber nicht auf die Reihenfolge ankommt und zB. 378 dasselbe Ergebnis
liefert,
existieren für (3 über 9) 9x8x7/1x2x3 Möglichkeiten. Dieselbe Anzahl ergibt sich,
wenn man unter Neun Buchstaben drei Gleiche b und 6 Gleiche a hat, was
9!/{6!3!} = 9!/ [(9-3)! 3!] Möglichkeiten liefert.
14
1666 war übrigens das fruchtreichste Jahr Newtons: Differentialrechnung
(Calculus) und Gravitationslehre. Auch kaufte er 1666 ein Prisma auf dem Jahrmarkt und
zeigte damit, dass weißes Licht oder Sonnenlicht nicht einfach oder homogen ist, sonder
sich aus den Elementarfarben zusammensetzt. Goethe lag mit seiner Farbenlehre
demgegenüber völlig falsch.
 Durant, Weltgeschichte der Menschheit Band 31, Goethe als Wissenschaftler (17491832)
15
Pascal und Vieta waren Vorläufer dieses Theorems.
Durant, Weltgeschichte der Menschheit Band 25, Isaac NEWTON (1642-1727), Seite 97.
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ANHANG
Für mathematisch interessierte Schüler
Die Binominalkoeffizienten
(d.h. die Pascalschen Dreieckszahlen bzw. die Anzahl der Möglichkeiten für
das Herausgreifen von k aus insgesamt n Elementen
– sprich den (n über k)-Zahlen der Wahrscheinlichkeitsrechnung)
haben ein weiteres Anwendungsgebiet als man denkt.
Beispielsweise16 teilen n in der Ebne liegenden Geraden diese in maximal
wie viele Gebiete? In 2, 4, 7, 11 … oder
(n über 0) + (n über 1) +(n über 2) = 1+n+n(n-1)/2 =
½n(n+1) +1
N sich im Raum befindenden Ebenen teilen den Raum in maximal
2, 4, 8, 15, 26 … Teile oder
(n über 0)+(n über 1)+(n über 2)+(n über 3)
= ½n(n+1)+1+ n(n-1)(n-2)/3! = ½n²+½n+1 +[n³-3n²+2n]/6 = (n³+5n)/6 +1.
Der vierdimensionale Raum wird durch n Hyperebenen i maximal
2, 4, 8, 16, 16+15=31, 31+26=57, … Teilräume zerlegt, oder in
(n über 0)+(n über 1)+(n über 2)+(n über 3)+(n über 4) =
Das Pizzaproblem oder: Die Zerlegung des Rn durch Hyperebenen von
Metzler/Rosenbrock
16
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(n³+5n)/6 +1 + n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=(4n³+20n)/24+(n4-6n³+11n²-6n)/24 =
= { n4 - 2n³ + 11n² +14n }/24
+1 usw.
Im n dimensionalen Raum zerlegen N Hyperebenen diesen in maximal
∑
bis n
k=0
(N über k) Partitionen17
wobei (N über n)=0 ist, falls n>N
größer die Dimension, desto mehr nähert sich diese Summe der ersten
n+1 Binominal-Koeffizienten an die ganzen Zeilensumme (1+1)n =2n
d.h. jede neue Hyperebene verdoppelt die maximale Zerlegungszahl
(Auch hier haben wir wieder ein Beispiel dafür, dass wenn etwas für alle
endlichen n gilt, es nicht auch für unendlichen Fall gilt, denn was sollte
eine Hyperebene – bei der die Dimension ja um eins kleiner ist, als die des
gesamten Raumes - im Unendlich-Dimensionalen sein?)
17
On the Partition of Rn by Hyperplanes von Bagdasaryan
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Wenden wir das Binominaltheorem nun für die Eulersche18 Zahl e an
und
zeigen:
n
limn∞(1+1/n) = e
( analog gilt19
n
limn∞(1+z/n) = ez )
18
Leonhard Euler i(1707-1783) ist - wie übrigens viele begnadete Mathematiker der Sohn eines Pfarrers! Er schrieb rund 900 Abhandlungen und Bücher (neben
zumindest 3 tausend gefundenen Briefen). 1728 fand er beispielsweise, dass ln (-1) = πi
ist, und 1735 löste er das Basler Problem und fand für die Summe der reziproken
Quadrate ¼π². Die Kettenbruchentwicklung von e fand er 1744.
19
12² beautiful mathematical theorems with short proofs von Jörg Neunhäuserer
2013
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n
0
n
(1+1/n) =1 (1/ ) +n1
n-1
n
=
1
=
1
+
1
(1/ ) +n(n-1)/21
n
1
+
+
1
n-2
2
(1/ ) +n(n-1)(-2)/61
n
n-3
3
(1/ ) +
n
½ n(n-1)/n² +n(n-1)(n-2)/(2x3) +…+…
n³
+ ½(1-1/n)
+
1
/(2x3)(1- 3/n + 2/n²)
Nun wollen wir n unendlich groß werden lassen, und wenn der Grenzwert
einer unendlichen Summe die unendliche Summe der Grenzwerte ist, folgt
n
limn∞(1+1/n) = 1+1+ limn∞[½(1-1/n)]+ limn∞[1/
(1-3/n+6/n²)]+
(2x3)
1/n geht gegen 0
= 1 + 1/
+ 1/
1
= 1/
0!
+ 1/
2
+ 1/
+ 1/
1!
+1/
2x3
+ 1/
2!
3!
(1x2x3x4)
+ 1/
4!
+ ….1/
+..
k!
also die (wesentlich schneller konvergierende) unendliche Summe der
-1
reziproken Fakultäten k!
(k!=
bis k
n=1
Π
n
= 1 x 2 x 2 x … bis
mal
k
angefangen bei 0! :=1, die man als 1 definiert)
lim
∑
n ∞
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n
1/
k=0
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=e
k!
2015
Binominalkoeffizienten zum Wurzelziehen
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Wie
verhält
es
sich
nun
mit
der
Struktur
des
Potenzierens
(Hochnehmens)? Da sie weder vertauschbar noch assoziativ sind, bilden
sie sicherlich keine Gruppe mehr (siehe >>Algebraische Strukturen<<)20.
Betrachten wir zum Schluss mal die Verknüpfungstafel für endliche
Zahlen, sagen wir mit sieben Elementen also bezüglich der Teilbarkeit die
Primzahl sieben (modulo 7).
Der kleine Satz vom Fermat21 besagt, dass für jede Primzahl p gilt22:
xp = x modulo p
20
Negative Zahlen erhalten wir bei Potenzen mit positiver Basis auch nie und für
gerade Hochzahlen auch nicht bei negativen Grundzahlen, womit es auch mit
Unkehroperationen von negativen Zahlen nicht klappen würde (Und auch der
Logarithmus von negativen Werten ist nicht vorhanden).
21
Pierre de Fermat (1601-1665) widmete seine letzten 15 Jahre der Zahlentheorie!
Kleine Satz des Hobbymathematiker ist lange nicht so bekannt wie der sog. Große
Satz von Fermat
p
Kleine Satz: Sofern x nicht durch p teilbar ist, ist x - x durch p teilbar
Große Satz: xn+yn ≠ zn in der Menge der natürlichen Zahlen, falls n>2 ist.
Interessantes Youtube-Video >>Der Irrtum von Pierre de Fermat<<
Vortrag von Rudof
Taschner in den Hofstallungen des mumok, 16. Oktober 2013
http://www.youtube.com/watch?v=TlgdO5Xx7-Y)
Damit kann man recht schell feststellen, ob eine bestimmte Zahl prim ist:
Man schaut, ob die Werte hoch p bei Teilung durch p unveränderten Rest ergeben!
Buchtipp: Die Musik der Primzahlen von Marcus du Sautoy, dtv 2007 (Original
22
2003)
Als Folgerung des Stazes von Fermat (jede Primzahl p teilt n p –n) gilt nach dem
Satz von Wilson:
Wenn .(x-1) ! =x-2 (mod x) ist, dann ist n eine Primzahl und umgekehrt.
zB. (11-1)! : 11 = 3 628 800 :11 = (3 628 790+10) / 11 = 329 890 Rest 10
(das ist auch -1 mod 11) also 11 ist prim!
- Bezaubernde Beweise, Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik von Alsina, Claudi, Nelsen,
Roger B. Übersetzt von Filk, Thomas Originalausgabe "Charming Proofs - A Journey Into Elegant
Mathematics", Mathematical Association of America, 2010
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Beispiele:
25= 32 = 6x5 Rest 2
also
35= 243 = 486x5 Rest 3
also
35 = 3 mod 5
45= 1024 = 204x5 Rest 4
also
45 = 4 mod 5
Primzahl 5
25 = 2 mod 5
55 = 5 mod 5
= 0 mod 5
65 = 6 mod 5
= 1 mod 5
75 = 7 mod 5
= 2 mod 5
85 = 8 mod 5
= 3 mod 5
95 = 9 mod 5
= 4 mod 5
105 = 10 mod 5
= 0 mod 5
115 = 11 mod 5
= 1 mod 5
125 = 12 mod 5
= 2 mod 5
135 = 13 mod 5
= 3 mod 5
...
...
für die Primzahl 31 gilt
231= 2 147483648 -> 231 = 69273666 x 31 Rest 2
also
231 = 2 mod 31
331= 3 mod 31
431= 4 mod 31
531= 5 mod 31
631= 6 mod 31
731= 7 mod 31
831= 8 mod 31
931= 9 mod 31
1031= 10 mod 31
1131= 11 mod 31
1231= 12 mod 31
1331= 13 mod 31
1431= 14 mod 31
1531= 15 mod 31
usw.
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Wirklich alles Verstanden?
Wollen wir mal schauen, ob dem so ist!
Was ist 313 gegenüber331
313 = 31 = 1 modulo 3
Was ist
31999 modulo 1999
und was 19993 modulo 3 = 1999 = 1 mod3
da 3 mal 666 1998 ist
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Damit ist die erste Spalte der Verknüpfungstafel klar:
7
0
x = x = x modulo 7
x
und die erste und zweite Zeilen sind auch klar, nämlich 0 = 0 modulo 7
und Null hoch Null ist immer Null (aber nur)
bei allen endlichen Zahlenkörpern
x
1 = 1 modulo 7
hoch
0
1
2
3
4
5
6
0
0
1
2
3
4
5
6
1
0
1
4
2
2
4
1
2
0
1
1
6
1
6
6
3
0
1
2
4
4
2
1
4
0
1
4
5
2
3
6
5
0
1
1
1
1
1
1
.
6
0
1
2
3
4
5
1
Die Potenzen eines endlichen Zahlenkörpers,
den Restklassen bezüglich der Teilbarkeit durch Sieben
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Aber ansonsten ist´s ziemlich undurchschaubar und seltsam:
z. B. 3³=4³; ist also ³√3 = ³√4 ?
Oder 1³+6³ = 2³ = 5³ und irgendwas hoch 5 ist immer 1 (außer für 0)
Die Stellvertreter der Klassen von 0 bis 6 sind die Zahlen, deren Teilung
durch die Sieben eben den entsprechenden Rest liefern:
0 = {0, 7, 14, 21, 28, 35 …}
1 = {1, 8, 15, 22, …}
2 = {2, 9, 16, 23, …}
3 = {3, 10, 17, 24, …}
4 = {4, 11, 18, 25, …}
5 = {5, 12, 19, 26, …}
6 = {6, 13, 20, 27, …}
0
7
1
8
0
7
0
7
1
8
Beispiele23: 0 ≡ (7 => 823 543 : 7 = 7
0 ≡ (7
8
=> 7 : 7 = 7
7
6
Rest 0 ) ≡ 0
Rest 0 ) ≡ 0
8
8
1 ≡ (8 => (7+1) : 7 = 7erZahl Rest 1 ) ≡ 1
2 ≡ (2 =126=18x7+2 Rest 2; analog 2
8
35
7
7
,9 oder 16 ) ≡ 2
8
2 ≡ (9 => (7+2) : 7 = 7er Zahl + [2 =]256
und 256 hat bei der Teilung durch 7 den Rest 4) ≡ 4
oder
1
8
8
8
5 ≡ (12 => (7+5) : 7 = 7erZahl + 5 und da
8
5 = 390 625 bei der Teilung durch 7 den Rest 4 hat) ≡ 4
4
5 ≡ (26
5
23
11
11
11
=> (3x7+5)
: 7 = 7erZahl + 5
11
und da
bei der Teilung durch 7 den Rest 3 hat) ≡ 3
2
Achtung: Den ersten Stellvertreter darf man nicht als Hochzahl nehmen: 2 =4
Rest 4
2
9
aber 2 ≡ 1, denn 2 =512=73x7+1 hat den Rest 1;
9
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und Rest 1 haben zB. auch 2 oder 9
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Zusatz:
Satz von EULER
Haben a und m keinen gemeinsamen Teiler (ggT ist 1), so ergibt die Division von
hoch φ(m) durch m
a
stets den Rest 1
(Die Eulerfunktion φ(m) ist dabei die Anzahl der zu m teilerfremdem Zahlen)
Und
der keine Satz von Fermat:
Wenn die Primzahl p kein Teiler von a ist, dann hat für alle a die Potenz
a hoch (p-1) bei der Teilung durch die diese Primzahl p immer den Rest 1
(a hoch p hat dann also den Rest a)
- http://www.youtube.com/watch?v=o-aWqfaWVr4
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Der Irrtum von Pierre de Fermat
http://www.youtube.com/watch?v=TlgdO5Xx7-Y
Man kann sich auch zB. durch viele Youtube-Videos
und viele Bücher weiterbilden
(wie hier etwa von Rudolf Taschner!)
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Epilog:
Wie hat Gott die Welt (mit nichts) durch Nichts
aus dem Nichts erschaffen
Indem er das Nichts mit
sich selbst potenzierte!
Es ist nämlich
00 = 1
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11 = 1,
22 = 4, 33 = 27,
66 = 46 656
44 = 256,
55 = 3125,
(übrigens ist 65 = 7777-1),
77 = 823 543, 88 = 224 = 16 777 216,
99 = 318 = 387 420 489
1010 = 10 000 000 000
xx
Die Graphem von x hoch x,
die unterste xx minus 1
sowie die x-Achse berührende in der Mitte
xx minus (1/e ) hoch
1/e
0
Der (rechtsseitige) Grenzwert von 0 ist 1
Das Minimum liegt zwischen ¼ und ½ eben bei 1/e
¼¼ = √(√¼) = ½½ = √½ = 1/√2 = ½√2  0.707
1/e
und 1/e
≈ 0,692
Der allerkleinste Wert (ABSOLUTE MINIMUM) von x hoch x ist also
(1/e) hoch (1/e)
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Die n-te Wurzel aus 1/n
n
1 : √n
wird unendlich wenn 1/n gegen Null strebt
(was für stets größer werdende n der Fall ist);
0
sie wird aber zu 1 = 0 , wenn 1/n unendlich wird
(dann strebt n gegen Null).
Die n-te Wurzel aus n
n
√n
strebt gegen 1 wenn n unendlich wird
1 : xx
ist der Kehrwert von xx
der vorigen Abbildung
und strebt daher rasch gegen Null für große n
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