I.3 Rechenoperationen dritter Stufe: Das Hochrechnen = Potenzieren mit den beiden Umkehroperationen Wurzelziehen und Logarithmieren Wer noch bei den Rechenoperationen 1. und 2. Stufe noch Schwierigkeiten haben sollte, dem empfehle ich Videos im Internet anzuschauen. Das kann man natürlich auch für Potenzen, Wurzeln und Logarithmen tun. Die Suche nach Backup-Learning (bckuplearning), oder MatheHilfe24.de, LernenOnline.net führen bestimmt zum Erfolg. Ansonsten hilft etwa auch der Prof. Christian Spannagel von der PH Heidelberg mit den Mathematische Grundlagen I (Primarstufe) Einführung in die Arithmetik (Steuerung gedrückt haltend anklicken) www.Udo-Rehle.de - 1/38 - 2015 Entsprechend wie man eine wiederholte Addition durch eine Multiplikation abkürzt, kann man eine wiederholte Multiplikation durch eine Potenz vereinfachen. Beispielsweise ist 2x2x2x2x2 =2 5 = 32 (sprich `2 hoch 5´) Allgemein ist eine POTENZ ↓ Hochzahl a b = c ← Wert der Potenz Grundzahl ↑ Man nennt a die Grundzahl oder Basis und b die Hochzahl oder den Exponenten: Das Potenzieren ist nun aber nicht mehr „schön“, will heißen symmetrisch. bzw. kommutativ. Vertauscht man die Basis mit der Hochzahl, so ergibt sich ein anderer Wert (die einzige ganzzahlige 2 4 Ausnahme ist 4 =2 ): a b ≠ b a Das „Hochrechnen“ oder Exponieren1 ist nicht einmal mehr assoziativ, d. h. das Klammergesetz über die bisher beliebige Reihenfolge der Ausführung gilt auch nicht mehr 1 Die Exponentialfunktion fand Johann Bernoulli (1667-1748) - ein Glied der Familie von Mathematikern mit vererbter Genialität aus Bern. Die Bernoullische Ungleichung stammt von seinem Bruder Jacob Bernoulli (1655-1705) n www.Udo-Rehle.de (1+a) > 1+na - 2/38 - 2015 b c (a ) bc) ≠ a( Beispielsweise sind die Zahlen 9 9 (9 ) 99) und 9( doch ziemlich verschieden: Während der Taschenrechner bei ersterer noch 81 ein Ergebnis ausrechnen kann (nach dem 1. Potenzgesetz ist sie ja 9 ) bringt er bei der letzteren nur das Ergebnis „Error“ (Overflow, über 10 99 nämlich, d. h. es sind nur zwei Stellen Speicheplatz für die Hochzahl vorhanden!): Diese Zahl ist schlichtweg zu groß für den Taschenrechner! 99) 9( hat über 260 Millionen Stellen und ist über 9 587 420 408 mal größer als die 9 81 vgl. Binominalkoeffizienten S.24 - Durant, Weltgeschichte der Menschheit Band 25, Kapitel 18, Wissenschaftliche FORSCHUNG (1648-1715), Seite 42f. www.Udo-Rehle.de - 3/38 - 2015 Natürlich liefern auch hier die „Umkehrrechnungen“ zum Hochrechnen wieder neue, bislang unbekannte Zahlen, nämlich die irrationalen (nicht rational, d.h. nicht als Bruch schreibbaren) und transzendenten2. Alle die Zahlen, und noch dazu die sonstigen Diese „überschreitend-verrückten“ sog. transzendenten Zahlen, zusammen mit allen anderen Zahlen, nennt man die reellen Zahlen R. Suchen wir zunächst nach einer Zahl, deren Quadrat wir kennen. 2 x =4 ist einfach zu lösen. Allerdings gibt es nun zwei Lösungen, nämlich 2 und auch noch -2, weil ja auch minus mal minus stets plus ist! Aber welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt nun z.B. 2? 3 2 x =2 x = ±√2 Z. B. die Eulersche Zahl e oder die Kreiszahl π: Pi ist nicht vom Himmel gefallen, sondern musste seit ihrem Entdecker Archimedes von Syrakus vor über 22 Jahrhunderten sehr, sehr mühsam berechnet werden! Transzendent (quod algebrae vires transzendit) heißt nach Leonhard Euler (1707-1783) eine Zahl, die nicht als Lösung irgend einer Gleichung n-ten Grades (= aus einer algebraischen Gleichung) gewonnen werden kann. 2 + 2i ist zB. algebraisch. 3 Wenn Sie z.B. beim Kopierer eine Buch-Doppelseite (2 DIN A 4 – Seiten) kopieren wollen (z.B. DIN A 3 -> DIN A 4), dann muß man eben auf 70,7 % verkleinern (1/√2 = ½ * √2), nicht auf 50%. www.Udo-Rehle.de - 4/38 2015 2 Diese Zahl √2 ist nicht mehr rational, sondern - sofern sie überhaupt existiert - „irrational“, da sie nachweislich durch keinen Bruch p/q dargestellt werden kann 4, denn wegen p²=2q² ist mit p² auch p selbst gerade und somit p² durch vier teilbar und also wiederum q selbst gerade usw., und man könnte also sogar ewig durch 2 kürzen5. Abb. 2 Die Abkürzung über die Diagonale ist kürzer als der Weg 1+1 über die Seiten Da 1,5²=2,25 ist, liegt √2 zwischen 1 und 1½, nämlich bei etwa 1,41418….. 4 Man kann sie aber als Grenzwert eines unendlichen Kettenbruchs erhalten: Jede irrationale Quadratwurzel lässt sich als periodischen Kettenbruch schreiben, nicht aber die transzendenten Zahlen, wie beispielsweise die Kreiszahl π ~ 3,14159…, die man auch nicht als Lösung irgendeiner Gleichung n-ten Grades erhalten konnte, sondern (seit ihren Entdecker Archimedes) mühsam berechnen musste. 5 Diesen Beweis müsste man eher als Nichtexistenzbeweis von √2 interpretieren. Alle Computersysteme, Währungen und Kontostände kommen völlig ohne sie aus! Zu behaupten, dass ein Quadrat keine Diagonale hat, wäre aber schon schwerwiegender. www.Udo-Rehle.de - 5/38 - 2015 Zeichnerisch kann man die Frage so stellen bzw. beantworten (Abb. 2): Ein Schokoladen-Fabrikant möchte seine quadratisch-praktische Schokolade statt mit nur 100g auch in einer quadratische 200g-Tafel zum Verkauf anbieten. War die 100g-Tafel ein Quadrat mit 10cm Seitenlänge, wie lang muss dann die neue Quadratseite werden? Darauf antworten die meisten spontan mit 20 cm. Eine Aufzeichnung ergibt aber recht anschaulich, dass dann die Tafel viermal so groß ist, also auch 400 g hat. Andrerseits kann man die ursprüngliche Tafel diagonal halbieren und vier dieser Hälften zu einem Quadrat mitten in dieses 20cm-Quadart platzieren, so dass dessen Seitenmitten gerade das doppelte Quadrat ergeben. Die Diagonale des ursprünglichen Quadrats ist dann die neue Quadratseitenlänge: Keep in mind: Die Diagonale eines Quadrats ist immer das √2 =1,414… -fache seiner Seitenlänge! Das Seitenmitten-Quadrat hat stets die halbe Fläche des Ausgangsquadrats. www.Udo-Rehle.de - 6/38 - 2015 Abb. 3 Teilt man übrigens das Quadrat nicht in der Mitte der Seiten, sondern stattdessen jede Seite sukzessive im Verhältnis a zu b, dann bilden die vier Teilpunkte auch ein Quadrat der Seitenlänge c, für die der Satz des Pythagoras6 gilt (Abb. 3), der wegen der binomischen Formel (a+b)² = a²+2ab+b² schnell bewiesen ist. 6 Ein Mathematiker behauptet, die ganze Geometrie sei nur eine wiederholte Anwendung des Satzes von Pythagoras (z. B. lassen sich damit die Strahlensätze beweisen)! www.Udo-Rehle.de - 7/38 - 2015 Allerdings gibt es nun plötzlich zwei Umkehroperationen (Wurzel und Logarithmus), denn das Potenzieren ist ja nicht mehr vertauschbar (nicht kommutativ oder nicht abelsch). Suchen wir die Unbekannte x als Grundzahl, deren 5.te Potenz 32 ist 5 x = 32 ist, so erhalten wir 5 x = √32 als die fünfte Wurzel aus 32. Allgemein: Sucht man zu einem gegebenen Wert einer Potenz nach deren Basis zu einer vorgegebenen Hochzahl n, dann muss man ganz dringend zum Zahnarzt gehen: Die n-te Wurzel ziehen! Berechnung mit dem Taschenrechner über 5 x√ (bzw. SHIFT Dach) 32 EXE oder wenn dies nicht vorhanden ist mittels xy mit x=32 und y = 1/5 oder 0,2 bzw. 32^(1:5); Aber die Klammern dabei nicht vergessen, 1 da sonst 32^ durch 5 geteilt wird! www.Udo-Rehle.de - 8/38 - 2015 x Suchen wir die Unbekannte x als Hochzahl für die 2 = 32 ist, so erhalten wir x als Logarithmus7 von 32 zur Basis 2: 2 x = log 32 Merke: Die Suche nach der Hochzahl heißt Logarithmieren! Zur Berechnung mit dem Taschenrechner wird immer durch den log n der neuen Basis n dividiert: Man kann nämlich jeden Logarithmus von einer Basis a in eine andere Basis b umrechen, indem man den neuen Logarithmuswert zur Basis b durch den Logarithmus der alten Basis a dividiert: a b b log x = log x: log a log ist (meist) der Zehnerlogarithmus (manchmal auch als lg abgekürzt) ln ist der Logarithmus naturalis (sog. natürliche) zur Basis e 7 Logarithmieren heißt, die Hochzal zu suchen, also bei gegebener Basis (welche meist auch unter dem log geschrieben wird), den Exponenten (=Hochzahl) suchen. Alle 0 Logarithmen von 1 sind Null (denn a = 1). Falls die Basis a > 1 ist, sind sie für größere Werte positiv und für kleinere negativ. Für Null selbst wir der Logarithmus minus unendlich, und der Logarithmus aus negativen Werten existiert nicht. www.Udo-Rehle.de - 9/38 - 2015 lb ist der binäre Logarithmus zur Basis 2 d.h. 2 x = log 32 = lb 32 (oder möglicherweise auch „ld“ 32 für die duale Basis des Zweiersystems) Es soll an dieser Stelle noch erwähnt werden, dass die Logarithmen früher, bevor die Taschenrechner kamen, für die Praxis von Berechnungen z.B. bei Techniker und Ingenieuren eine wichtige Rolle gespielt haben: Jeder Ingenieur lief mit einem Rechenschieber bewaffnet herum! Die Multiplikation konnte man nämlich auf die Addition zurückführen: Zwei Skalen werden dazu übereinander geschoben (allerdings mit logarithmischer Skalierung). www.Udo-Rehle.de - 10/38 - 2015 Potenzgesetze Während es für die Rechenoperationen erster Stufe keine Gesetze gibt, werden die der höheren Stufen bei Basisgleichheit besonders einfach. Beispielsweise ist 2³ mal 2² = 2x2x2 mal 2x2 = 2 5 (2+3) (2³) = 2³x2³x2³x2³x2³ = 2 =2 5 15 Anstelle der Multiplikation tritt eine Addition und anstelle des Potenzierens einer Potenz ist nur noch ein Produkt zu berechnen. Die Rechenoperation wird um eine Stufe heruntergesetzt! Allgemein ist an mal am = a n+m 1.) an : am = a n-m 2.) Aus dem zweiten Gesetz folgt wegen an : an = a n-n = a0 die Definition a0 = 1 Strittig wäre allenfalls noch, ob auch 00 = 1 sein soll denn 0 hoch eine positive Zahl ist sonst immer Null8 (d.h. man kann aus Nichts mit Nichts ein ganzes Weltall erschaffen?), 8 Wenn bei allen endlichen Zahlenkörpern (Restklassenkörper bezüglich einer Primzahl) immer 00 = 0 ist, dann muss dies nicht auch für den unendlichen Fall gelten! Vorsicht also beim Unendlichen: Wenn etwas für alle endlichen Werte n richtig ist, folgt daraus also nicht, dass es auch für das Unendliche (n=∞) gilt! www.Udo-Rehle.de - 11/38 - 2015 Ferner weiß man nun was negative Hochzahlen bedeuten, denn für m > n wird die Ergebnishochzahl von an : am = a n-m ja negativ: Das Minuszeichen bewirkt in der Hochzahl kein negatives Vorzeichen, sondern den Kehrwert: a -n = 1 : a n Aus dem ersten Potenzgesetz folgt aber auch, dass z. B. a³a³a³a³ = a 12 4 3x4 also (a³) = a ist, und somit das folgende Potenzgesetz, wie Potenzen potenziert werden, nämlich indem die Hochzahlen multipliziert werden m (an) 3.) 4.) m = a nm (d. h. hoch n mal m ) √ an = a n:m Und wieder hat man damit die Rechenstufe um eins erniedrigt! Das 1. Potenzgesetz beinhaltet also schon das zweite, nämlich weil die Exponenten für m auch negativ sein dürfen. Das vierte folgt aus dem dritten, wenn man eine gebrochene Hochzahl m verwendet, da m √x www.Udo-Rehle.de = x - 12/38 - 1/m 2015 Merke: a1 = a a½= √a a0 = 1 a-1 = 1/a 9 Gebrochene Hochzahlen bedeuten, dass man die Wurzel ziehen muss. Beispiel: ½ Ist die Hochzahl ½, dann muss man die Quadratwurzel ziehen: x = √x, ⅓ Die Hochzahl ⅓ bedeutet, die Kubikwurzel ist zu ziehen: x = 3 √x Eigentlich ist das 1. und 2. Potenzgesetz sowieso ein einziges Gesetz, wenn man statt einer natürlichen Hochzahl m eine negative –m nimmt. Dasselbe gilt für das 3. und 4, wenn man statt m den Kehrwert 1/m 9 -1 =m verwendet. Schlimmer noch, da ja die Zahlen nach der allgemeingültigen Zahlenrechts-Konvention nicht diskriminiert werden dürfen, muss ein Gesetz immer für alle gleichermaßen gelten; d.h. die Potenzgesetz gelten nicht nur für alle rationalen Hochzahlen √2 n und m, sondern müssen auch für irrationale ( z. B (√2√2) = (√2)² =2 oder √2 √(a√2) = a√2: √2= a ) und transzendente Hochzahlen wie z. B. und e gelten: Beispiel (e) = e² ist auch transzendent www.Udo-Rehle.de - 13/38 - 2015 Will man etwa das Volumen eines Würfels verdoppeln (sog. Delisches Problem, den würfelförmigen Altar Apolls zu verdoppeln, was das Orakel weissagte, um die Pest auf Delos beenden zu können), so muss die Kante 3 √2 ~ 1,2599 mal so lange werden: ⅓ ⅓ V = (2 a)³ = (2 )³ a³ = 2a³ wobei man noch das triviale Gesetz n n n (ab) = a b 4 anwandte. Die vierte Wurzel aus 2 ist √2 ~ 1,1892… Aber die Hochzahlen dürfen auch irrational oder gar transzendent sein! (Und sogar komplexe Hochzahlen sind erlaubt. Beispielsweise ist i hoch i eine reelle Größe, nämlich 1/√e π ii = e- ~ 0,2 1/2 0788 siehe das Kapitel >>Die schönste aller mathematischen Formeln<<) www.Udo-Rehle.de - 14/38 - 2015 Potenzen von Summen Warum so viele Schüler immer Probleme mit dem Multiplizieren zweigliedriger Ausdrücke, - sprich den binomischen Formeln - haben, ist mir unbegreiflich! 3 x 2 + 1 = 6+1 ist nicht dasselbe wie 3 x (2+1) = 3x3 allgemein ab+c ≠ a(b+c), das müsste doch jeder begreifen! - Zu was wären sonst die Klammern? Die Multiplikation mit einer Summe ist durch das Verteilungsgesetz (Distributivgesetz) geregelt, das die beiden Operationen Plus und Mal miteinander verknüpft, lautet a(b+c) = ab+ac Ist nun a selbst eine Summe, so dass wir statt a nun a+b schreiben, dann wird aus a(b+c) = ab+ac eben (a+b)(b+c) = (a+b)b+(a+b)c = aa+bb + ac+bc = a² + b² + ac +bc Ersetzen wir nun noch c durch den Buchstaben a, dann erhalten wir (a+b)(b+a) = a²+b² + ab +ba = a²+b² +2ab (denn ab = ba und ab+ab=2ab) Da nun ja die Addition symmetrisch operiert, also b+a = a+b ist, folgt daher (a+b)(a+b) = (a+b)²= a²+2ab+b² Aber das ist für manche einfach unbegreiflich, das doppelte Produkt 2ab! www.Udo-Rehle.de - 15/38 - 2015 Schreiben wir also im obigen Zahlenbeispiel statt 3 = 2+1, dann wird aus 3 x (2 + 1) nun (2+1) x (2 + 1) und das ist (2+1)² = 9 und dies ist aber nicht gleich 2²+1² sondern es ist das doppelte Produkt von 2 mal 1 = 4 muss noch dazu addiert werden! Natürlich müssen unsere Gesetze immer auch für die erweiterten Zahlen gelten, d.h. alle Zahlen sind immer gleichberechtigt, ob sie (wie in diesem Falle) gut oder böse, positiv oder negativ sind. Ist nun b eine böse Zahl (kann ja sein, dass sie negativ ist!), - kennzeichnen wir sie mal mit rot - dann wird aus (a+b)²= a²+2ab+ b² und weil b²= b² ist, folgt daraus, wenn wir die Sache mit dem b wieder positiv sehen, und also aus der bösen roten Zahl wieder eine schwarze Zahl b machen indem wird ihre Bosheit mit dem Vorstrafenzeichen minus versehen: b = -b (a-b)² = a²-2ab+b² und das Vorzeichen - verwandelt sich in ein Operationszeichen „subtrahiere“: Die Addition einer negativen Zahl ist eben eine Subtraktion, denn (+a)+(-b) := a - b Natürlich ist das eigentlich schon in der ersten enthalten, - denn es gilt wie gesagt – Gleichheit für alle Zahlen! Unter den Zahlen gibt es keine Diskriminierung. www.Udo-Rehle.de - 16/38 - 2015 Und aus (a+b)(a+b) = a²+ab + ba+bb wird, wenn wir die böse rote b nach Strafverbüßung nun wieder als gute Zahl b resozialisieren, aber mit einem Minus-Eintrag im Führungszeugnis versehen: b = -b, Also ab = – ab Und da auch die Multiplikation symmetrisch operiert, also ab = ba ist, erhalten wird heben sich die mittleren Summanden weg, (man schaufelt den Sandhaufen einmal rüber und dann wieder zurück, hätte man`s also gleich lassen können): a² +ab-ab - b² = a²-b² Somit lautet die 3. Binomische Formel (a+b)(a-b) = a² - b² Kapiert? Mal sehen! Was ist also 49²? (50-1)²=50² - 2x50x1 +1²=5x5x100 - 100 +1=2401 27² = (20+7)² = 20² + 2*20*7 + 7² = 729 Und was ist 49x51 ohne GTR? www.Udo-Rehle.de (50-1)(50+1)=50²-1²=2500-1=1499 - 17/38 - 2015 Wie kann man aber x²-1 als Produkt schreiben? (x+1)(x-1) Anmerkung: Während man also die Differenzen zweier Quadrate - wie man sagt faktorisieren kann, das heißt als ein Produkt zweier Faktoren schreiben kann, geht dies nicht bei den Summen zweier Quadrate. Die komplexen Zahlen ermöglichen aber genau dieses (und die Quaternionen sogar auf drei verschiedene Arten), da das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen z z = a+ib und konkomplex = a-ib gerade das Quadrat seiner Länge (das sog. Normquadrat) ergibt: a²+b² = (a+bi)(a-bi) wobei das Quadrat der imaginären Einheit i² = -1 die negative Einheit www.Udo-Rehle.de - 18/38 - ist 2015 Die höheren Potenzen einer Summe kann man entsprechend herleiten: (a+b)³= a³+3a²b+3ab²+b³ Schließlich gibt es auch noch ein arithmetisches Dreieck, das der kleine Blaise Pascal entdeckte, - der Erfinder der Wahrscheinlichkeitsrechnung -, dem der Vater verboten hatte sich mit Mathematik zu beschäftigen, damit er mehr Latein und Griechisch lerne, schon vor fast 400 Jahren als Kind. Die darunter stehende Zahl ist die Summe der beiden darüber stehenden10 1 1 1 1 1 4 (a+b) = n=0 2 3 n=1 1 n=2 3 1 n=3 1 4 6 4 1 4 1a + 4+0 n=4 4a³b + 6a²b²+ 4ab³+1b 3+1 4 2+2 1+3 0+4 Die Summe der Hochzahlen ist hier für n=4 bei jedem Summanden stets 4 (denn die Hochzahl Null bewirkt als das neutrale EINS-Element das 0 0 Verschwinden in einem Produkt a = 1 = b (sogar 0 0 =1) was wir gleich noch definieren könnten siehe 2. Potenzgesetz!) So käme in der nächsten Zeile für n=5 an dritter Stelle unter 4 und 6 die Summe 10 (vier über 1)+(vier über 2) (fünf über 2) und allgemein (n über k) + (n über (k+1)) = ((n+1) über (k+1)) Es ist der erste Koeffizient immer 1 gefolgt von n und dann kommt die Summe bis n. (n über 1) = n, (n über 2) = Summe der ersten n natürlichen Zahlen 10 Aus Symmetriegründen ist www.Udo-Rehle.de (n über k) = (n über (n-k)) - 19/38 - 2015 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 / Einer n 9 10 11 12 28 45 120 126 210 66 / 78 5 56 126 84 252 210 462 7 28 36 120 1 8 1 9 45 1 10 1 330 792 1716 1716 / 1 21 70 924 1 6 35 462 792 1 15 35 126 330 4 10 56 84 1 20 21 36 55 10 15 7 8 3 6 5 6 1 3 4 1 1 (13 über 5)=(13über6)=13x12x11 3432 Summe 1 bis n Übrigens: Bei der linksbündigen Anordnung liefert die Summe der Einträge in den Diagonalen die Fibonacci-Zahlen Anzahl ungeraderZahlen in der Diagonalen (Stern-Broct-Folge) Diagonalsumme 2 1 3 2 3 2 3 5 8 13 1 4 21 34 3 55 5 89 = Fibonacci-Folge 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 7 21 35 35 21 7 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 1 1 1 >>Die verkannte Schwester der Fibonacci-Folge<<, Spektrum Mai 2015 www.Udo-Rehle.de - 20/38 - 2015 oder (n+1 über k+1) = (n über k) + (n über k+1) Die geraden Binominalkoeffizienten bilden gleichseitige „Mitten“-Dreiecke! Stellt man die geraden Zahlen des Pascalschen Dreiecks als weiße und ungerade als schwarze Punkte dar, dann erhält das Sierpinski-Dreieck11. Für die Sierpinski Pyramide aus 2052 Magnet-Kugeln ---- www.youtube.com/watch?v=P--sH14KTrA&feature=related 11 http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SierpinskiTremas.shtml Das Dreieck von Waclaw Sierpiński (1882 - 1969) wurde1915 als das klassischste aller Fraktale beschrieben. Sein Flächeninhalt ist null, sein Umfang ist unendlich, und jeder Teil des Ganzen enthält - verkleinert, aber ansonsten vollständig - das Ganze: Um derart merkwürdige Eigenschaften zu verstehen, musste sich Sierpiński intensiv mit den Paradoxien der Mengenlehre auseinandersetzen. Paradoxa: http://www.youtube.com/watch?v=XXjtcoue40g&feature=related Zooming Sierpinski: http://math.bu.edu/DYSYS/animations/sierp-zoom.html Crashing http://math.bu.edu/DYSYS/animations/sierp-crash.html www.Udo-Rehle.de - 21/38 - 2015 Dieses FRAKTAL hat eine fraktale “Dimension„ zwischen 1 und 2, nämlich 1,58512 Sierpinski Pyramide im Dreidimensionalen http://www.youtube.com/watch?v=XXjtcoue40g&feature=related ( fraktale Dimension?) Der Sierpinski-Würfel hat die fraktale Dimension 2,7267 12 http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=tc7azAONxsw www.Udo-Rehle.de - 22/38 - 2015 Diese sog. Binominalkoeffizienten13 (n über k) des Dreiecks, besagen, wie viele Möglichkeiten man hat, um k Gegenstände aus einer Menge von n Gegenständen aus zu wählen, z. B. 6 Kugeln aus 49 Kugeln zu wählen oder im Lottoschein 6 Zahlen anzukreuzen, ergibt (49 über 6) = 49x48x47x46x45x44 : (1x2x3x4x5x6), das sind etwa 12,9 Millionen! Der binomische Lehrsatz oder kurz n (a+b) = ∑ bis n k=0 k (n über k) a b n-k wurde schon 1665 von Isaac Newton14 entdeckt, aber erst 1676 veröffentlicht15. 13 Ein Bi-Nom ist ein algebraischer Ausdruck für zwei durch ein Plus – oder Minuszeichen verbundene Zahlen. Die Vorzahlen der Potenzen (n über k) = n mal (n-1) mal (n-2) ... bis mal (nk+1) geteilt durch k-Fakultät (also je k Faktoren) (das sind ebenso viele Faktoren, wie durch die man teilt, nämlich das Produkt der ersten natürlichen Zahlen bis k = 1x2x3x bis mal k ist, z. B. (4 über 2) = 4 mal 3 durch 1 mal 2 Dies lässt sich an einem Beispiel für n=9 verdeutlichen: Das Ausmultipliieren von (a-b)9 bringt stets Summanden von Produkten mit neun Faktoren etwa aabaaabba. Wie oft kommt nun der Faktor b dreimal darin vor? Aus Neun drei herausgreifen bzw. an eine Stelle zu platzieren ergibt für das erste b Möglichkeiten (Platz 1 bis 9), für das zweite noch 8 und für das dritte b noch 7 Möglichkeiten, etwa als Beispiel 738 für aabaaabba. Das es aber nicht auf die Reihenfolge ankommt und zB. 378 dasselbe Ergebnis liefert, existieren für (3 über 9) 9x8x7/1x2x3 Möglichkeiten. Dieselbe Anzahl ergibt sich, wenn man unter Neun Buchstaben drei Gleiche b und 6 Gleiche a hat, was 9!/{6!3!} = 9!/ [(9-3)! 3!] Möglichkeiten liefert. 14 1666 war übrigens das fruchtreichste Jahr Newtons: Differentialrechnung (Calculus) und Gravitationslehre. Auch kaufte er 1666 ein Prisma auf dem Jahrmarkt und zeigte damit, dass weißes Licht oder Sonnenlicht nicht einfach oder homogen ist, sonder sich aus den Elementarfarben zusammensetzt. Goethe lag mit seiner Farbenlehre demgegenüber völlig falsch. Durant, Weltgeschichte der Menschheit Band 31, Goethe als Wissenschaftler (17491832) 15 Pascal und Vieta waren Vorläufer dieses Theorems. Durant, Weltgeschichte der Menschheit Band 25, Isaac NEWTON (1642-1727), Seite 97. www.Udo-Rehle.de - 23/38 - 2015 ANHANG Für mathematisch interessierte Schüler Die Binominalkoeffizienten (d.h. die Pascalschen Dreieckszahlen bzw. die Anzahl der Möglichkeiten für das Herausgreifen von k aus insgesamt n Elementen – sprich den (n über k)-Zahlen der Wahrscheinlichkeitsrechnung) haben ein weiteres Anwendungsgebiet als man denkt. Beispielsweise16 teilen n in der Ebne liegenden Geraden diese in maximal wie viele Gebiete? In 2, 4, 7, 11 … oder (n über 0) + (n über 1) +(n über 2) = 1+n+n(n-1)/2 = ½n(n+1) +1 N sich im Raum befindenden Ebenen teilen den Raum in maximal 2, 4, 8, 15, 26 … Teile oder (n über 0)+(n über 1)+(n über 2)+(n über 3) = ½n(n+1)+1+ n(n-1)(n-2)/3! = ½n²+½n+1 +[n³-3n²+2n]/6 = (n³+5n)/6 +1. Der vierdimensionale Raum wird durch n Hyperebenen i maximal 2, 4, 8, 16, 16+15=31, 31+26=57, … Teilräume zerlegt, oder in (n über 0)+(n über 1)+(n über 2)+(n über 3)+(n über 4) = Das Pizzaproblem oder: Die Zerlegung des Rn durch Hyperebenen von Metzler/Rosenbrock 16 www.Udo-Rehle.de - 24/38 - 2015 (n³+5n)/6 +1 + n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=(4n³+20n)/24+(n4-6n³+11n²-6n)/24 = = { n4 - 2n³ + 11n² +14n }/24 +1 usw. Im n dimensionalen Raum zerlegen N Hyperebenen diesen in maximal ∑ bis n k=0 (N über k) Partitionen17 wobei (N über n)=0 ist, falls n>N größer die Dimension, desto mehr nähert sich diese Summe der ersten n+1 Binominal-Koeffizienten an die ganzen Zeilensumme (1+1)n =2n d.h. jede neue Hyperebene verdoppelt die maximale Zerlegungszahl (Auch hier haben wir wieder ein Beispiel dafür, dass wenn etwas für alle endlichen n gilt, es nicht auch für unendlichen Fall gilt, denn was sollte eine Hyperebene – bei der die Dimension ja um eins kleiner ist, als die des gesamten Raumes - im Unendlich-Dimensionalen sein?) 17 On the Partition of Rn by Hyperplanes von Bagdasaryan www.Udo-Rehle.de - 25/38 - 2015 Wenden wir das Binominaltheorem nun für die Eulersche18 Zahl e an und zeigen: n limn∞(1+1/n) = e ( analog gilt19 n limn∞(1+z/n) = ez ) 18 Leonhard Euler i(1707-1783) ist - wie übrigens viele begnadete Mathematiker der Sohn eines Pfarrers! Er schrieb rund 900 Abhandlungen und Bücher (neben zumindest 3 tausend gefundenen Briefen). 1728 fand er beispielsweise, dass ln (-1) = πi ist, und 1735 löste er das Basler Problem und fand für die Summe der reziproken Quadrate ¼π². Die Kettenbruchentwicklung von e fand er 1744. 19 12² beautiful mathematical theorems with short proofs von Jörg Neunhäuserer 2013 www.Udo-Rehle.de - 26/38 - 2015 n 0 n (1+1/n) =1 (1/ ) +n1 n-1 n = 1 = 1 + 1 (1/ ) +n(n-1)/21 n 1 + + 1 n-2 2 (1/ ) +n(n-1)(-2)/61 n n-3 3 (1/ ) + n ½ n(n-1)/n² +n(n-1)(n-2)/(2x3) +…+… n³ + ½(1-1/n) + 1 /(2x3)(1- 3/n + 2/n²) Nun wollen wir n unendlich groß werden lassen, und wenn der Grenzwert einer unendlichen Summe die unendliche Summe der Grenzwerte ist, folgt n limn∞(1+1/n) = 1+1+ limn∞[½(1-1/n)]+ limn∞[1/ (1-3/n+6/n²)]+ (2x3) 1/n geht gegen 0 = 1 + 1/ + 1/ 1 = 1/ 0! + 1/ 2 + 1/ + 1/ 1! +1/ 2x3 + 1/ 2! 3! (1x2x3x4) + 1/ 4! + ….1/ +.. k! also die (wesentlich schneller konvergierende) unendliche Summe der -1 reziproken Fakultäten k! (k!= bis k n=1 Π n = 1 x 2 x 2 x … bis mal k angefangen bei 0! :=1, die man als 1 definiert) lim ∑ n ∞ www.Udo-Rehle.de n 1/ k=0 - 27/38 - =e k! 2015 Binominalkoeffizienten zum Wurzelziehen PDF herunterladen (971.6 KB) www.Udo-Rehle.de - 28/38 - 2015 Wie verhält es sich nun mit der Struktur des Potenzierens (Hochnehmens)? Da sie weder vertauschbar noch assoziativ sind, bilden sie sicherlich keine Gruppe mehr (siehe >>Algebraische Strukturen<<)20. Betrachten wir zum Schluss mal die Verknüpfungstafel für endliche Zahlen, sagen wir mit sieben Elementen also bezüglich der Teilbarkeit die Primzahl sieben (modulo 7). Der kleine Satz vom Fermat21 besagt, dass für jede Primzahl p gilt22: xp = x modulo p 20 Negative Zahlen erhalten wir bei Potenzen mit positiver Basis auch nie und für gerade Hochzahlen auch nicht bei negativen Grundzahlen, womit es auch mit Unkehroperationen von negativen Zahlen nicht klappen würde (Und auch der Logarithmus von negativen Werten ist nicht vorhanden). 21 Pierre de Fermat (1601-1665) widmete seine letzten 15 Jahre der Zahlentheorie! Kleine Satz des Hobbymathematiker ist lange nicht so bekannt wie der sog. Große Satz von Fermat p Kleine Satz: Sofern x nicht durch p teilbar ist, ist x - x durch p teilbar Große Satz: xn+yn ≠ zn in der Menge der natürlichen Zahlen, falls n>2 ist. Interessantes Youtube-Video >>Der Irrtum von Pierre de Fermat<< Vortrag von Rudof Taschner in den Hofstallungen des mumok, 16. Oktober 2013 http://www.youtube.com/watch?v=TlgdO5Xx7-Y) Damit kann man recht schell feststellen, ob eine bestimmte Zahl prim ist: Man schaut, ob die Werte hoch p bei Teilung durch p unveränderten Rest ergeben! Buchtipp: Die Musik der Primzahlen von Marcus du Sautoy, dtv 2007 (Original 22 2003) Als Folgerung des Stazes von Fermat (jede Primzahl p teilt n p –n) gilt nach dem Satz von Wilson: Wenn .(x-1) ! =x-2 (mod x) ist, dann ist n eine Primzahl und umgekehrt. zB. (11-1)! : 11 = 3 628 800 :11 = (3 628 790+10) / 11 = 329 890 Rest 10 (das ist auch -1 mod 11) also 11 ist prim! - Bezaubernde Beweise, Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik von Alsina, Claudi, Nelsen, Roger B. Übersetzt von Filk, Thomas Originalausgabe "Charming Proofs - A Journey Into Elegant Mathematics", Mathematical Association of America, 2010 www.Udo-Rehle.de - 29/38 - 2015 Beispiele: 25= 32 = 6x5 Rest 2 also 35= 243 = 486x5 Rest 3 also 35 = 3 mod 5 45= 1024 = 204x5 Rest 4 also 45 = 4 mod 5 Primzahl 5 25 = 2 mod 5 55 = 5 mod 5 = 0 mod 5 65 = 6 mod 5 = 1 mod 5 75 = 7 mod 5 = 2 mod 5 85 = 8 mod 5 = 3 mod 5 95 = 9 mod 5 = 4 mod 5 105 = 10 mod 5 = 0 mod 5 115 = 11 mod 5 = 1 mod 5 125 = 12 mod 5 = 2 mod 5 135 = 13 mod 5 = 3 mod 5 ... ... für die Primzahl 31 gilt 231= 2 147483648 -> 231 = 69273666 x 31 Rest 2 also 231 = 2 mod 31 331= 3 mod 31 431= 4 mod 31 531= 5 mod 31 631= 6 mod 31 731= 7 mod 31 831= 8 mod 31 931= 9 mod 31 1031= 10 mod 31 1131= 11 mod 31 1231= 12 mod 31 1331= 13 mod 31 1431= 14 mod 31 1531= 15 mod 31 usw. www.Udo-Rehle.de - 30/38 - 2015 Wirklich alles Verstanden? Wollen wir mal schauen, ob dem so ist! Was ist 313 gegenüber331 313 = 31 = 1 modulo 3 Was ist 31999 modulo 1999 und was 19993 modulo 3 = 1999 = 1 mod3 da 3 mal 666 1998 ist www.Udo-Rehle.de - 31/38 - 2015 Damit ist die erste Spalte der Verknüpfungstafel klar: 7 0 x = x = x modulo 7 x und die erste und zweite Zeilen sind auch klar, nämlich 0 = 0 modulo 7 und Null hoch Null ist immer Null (aber nur) bei allen endlichen Zahlenkörpern x 1 = 1 modulo 7 hoch 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 1 0 1 4 2 2 4 1 2 0 1 1 6 1 6 6 3 0 1 2 4 4 2 1 4 0 1 4 5 2 3 6 5 0 1 1 1 1 1 1 . 6 0 1 2 3 4 5 1 Die Potenzen eines endlichen Zahlenkörpers, den Restklassen bezüglich der Teilbarkeit durch Sieben www.Udo-Rehle.de - 32/38 - 2015 Aber ansonsten ist´s ziemlich undurchschaubar und seltsam: z. B. 3³=4³; ist also ³√3 = ³√4 ? Oder 1³+6³ = 2³ = 5³ und irgendwas hoch 5 ist immer 1 (außer für 0) Die Stellvertreter der Klassen von 0 bis 6 sind die Zahlen, deren Teilung durch die Sieben eben den entsprechenden Rest liefern: 0 = {0, 7, 14, 21, 28, 35 …} 1 = {1, 8, 15, 22, …} 2 = {2, 9, 16, 23, …} 3 = {3, 10, 17, 24, …} 4 = {4, 11, 18, 25, …} 5 = {5, 12, 19, 26, …} 6 = {6, 13, 20, 27, …} 0 7 1 8 0 7 0 7 1 8 Beispiele23: 0 ≡ (7 => 823 543 : 7 = 7 0 ≡ (7 8 => 7 : 7 = 7 7 6 Rest 0 ) ≡ 0 Rest 0 ) ≡ 0 8 8 1 ≡ (8 => (7+1) : 7 = 7erZahl Rest 1 ) ≡ 1 2 ≡ (2 =126=18x7+2 Rest 2; analog 2 8 35 7 7 ,9 oder 16 ) ≡ 2 8 2 ≡ (9 => (7+2) : 7 = 7er Zahl + [2 =]256 und 256 hat bei der Teilung durch 7 den Rest 4) ≡ 4 oder 1 8 8 8 5 ≡ (12 => (7+5) : 7 = 7erZahl + 5 und da 8 5 = 390 625 bei der Teilung durch 7 den Rest 4 hat) ≡ 4 4 5 ≡ (26 5 23 11 11 11 => (3x7+5) : 7 = 7erZahl + 5 11 und da bei der Teilung durch 7 den Rest 3 hat) ≡ 3 2 Achtung: Den ersten Stellvertreter darf man nicht als Hochzahl nehmen: 2 =4 Rest 4 2 9 aber 2 ≡ 1, denn 2 =512=73x7+1 hat den Rest 1; 9 www.Udo-Rehle.de und Rest 1 haben zB. auch 2 oder 9 - 33/38 - 9 2015 Zusatz: Satz von EULER Haben a und m keinen gemeinsamen Teiler (ggT ist 1), so ergibt die Division von hoch φ(m) durch m a stets den Rest 1 (Die Eulerfunktion φ(m) ist dabei die Anzahl der zu m teilerfremdem Zahlen) Und der keine Satz von Fermat: Wenn die Primzahl p kein Teiler von a ist, dann hat für alle a die Potenz a hoch (p-1) bei der Teilung durch die diese Primzahl p immer den Rest 1 (a hoch p hat dann also den Rest a) - http://www.youtube.com/watch?v=o-aWqfaWVr4 www.Udo-Rehle.de - 34/38 - 2015 Der Irrtum von Pierre de Fermat http://www.youtube.com/watch?v=TlgdO5Xx7-Y Man kann sich auch zB. durch viele Youtube-Videos und viele Bücher weiterbilden (wie hier etwa von Rudolf Taschner!) www.Udo-Rehle.de - 35/38 - 2015 Epilog: Wie hat Gott die Welt (mit nichts) durch Nichts aus dem Nichts erschaffen Indem er das Nichts mit sich selbst potenzierte! Es ist nämlich 00 = 1 www.Udo-Rehle.de - 36/38 - 2015 11 = 1, 22 = 4, 33 = 27, 66 = 46 656 44 = 256, 55 = 3125, (übrigens ist 65 = 7777-1), 77 = 823 543, 88 = 224 = 16 777 216, 99 = 318 = 387 420 489 1010 = 10 000 000 000 xx Die Graphem von x hoch x, die unterste xx minus 1 sowie die x-Achse berührende in der Mitte xx minus (1/e ) hoch 1/e 0 Der (rechtsseitige) Grenzwert von 0 ist 1 Das Minimum liegt zwischen ¼ und ½ eben bei 1/e ¼¼ = √(√¼) = ½½ = √½ = 1/√2 = ½√2 0.707 1/e und 1/e ≈ 0,692 Der allerkleinste Wert (ABSOLUTE MINIMUM) von x hoch x ist also (1/e) hoch (1/e) www.Udo-Rehle.de - 37/38 - 2015 Die n-te Wurzel aus 1/n n 1 : √n wird unendlich wenn 1/n gegen Null strebt (was für stets größer werdende n der Fall ist); 0 sie wird aber zu 1 = 0 , wenn 1/n unendlich wird (dann strebt n gegen Null). Die n-te Wurzel aus n n √n strebt gegen 1 wenn n unendlich wird 1 : xx ist der Kehrwert von xx der vorigen Abbildung und strebt daher rasch gegen Null für große n www.Udo-Rehle.de - 38/38 - 2015