¨Ubungsaufgaben zur Zahlentheorie

Übungsaufgaben zur Zahlentheorie
Aufgabe 1. Beweisen Sie:
(i) Für alle n ∈ N0 ist 5 | 24n+3 − 3 .
(ii) Gilt d | a und d | b, dann auch d | (ax + by) für alle x, y ∈ Z.
(iii) Für a, b ≥ 1 seien
Y
Y
a=
pν(a;p)
und
b=
pν(b;p)
p∈P
p∈P
die Primfaktorzerlegungen. Dann gilt für den ggT und kgV
Y
Y
(a, b) =
pmin{ν(a;p),ν(b;p)}
und
[a, b] =
pmax{ν(a;p),ν(b;p)} ,
p∈P
p∈P
sowie ab = (a, b)[a, b].
Aufgabe 2.
(i) Es seien m ∈ N und a, b ∈ Z. Beweisen Sie: Ist a ≡ b mod m und P ∈ Z[X], dann
gilt P (a) ≡ P (b) mod m (mit allen Details).
(ii) Zeigen Sie, dass eine natürliche Zahl n genau dann durch 9 (bzw. 3) teilbar ist,
wenn die Summe der Ziffern ihrer Dezimalentwicklung durch 9 (bzw. 3) teilbar ist:
Für aj ∈ {0, 1, . . . , 9}
n=
m
X
j=0
aj 10j ≡ 0 mod 9 (mod 3)
⇐⇒
m
X
j=0
aj ≡ 0 mod 9 (mod 3).
Aufgabe 3. Bestimmen Sie sämtliche ganzzahligen Lösungen der linearen diophantischen
Gleichungen
1777 X − 1855 Y = 1
und
1775 X − 1855 Y = 15.
Aufgabe 4. Es bezeichene Fn die n-te Fibonacci-Zahl.
(i) Zeigen Sie: Für n ∈ N gilt
n
X
F2m−1 = F2n .
m=1
(ii) Beweisen Sie die Binetsche Formel: Für n ∈ N0 gilt
1
Fn = √ (Gn − (−g)n ) ,
5
√
√
1
wobei G := 2 ( 5 + 1) der goldene Schnitt ist und g := 12 ( 5 − 1).
Aufgabe 5. Für welche natürlichen Zahlen ist der euklidische Algorithmus besonders langsam? Geben Sie eine obere Abschätzung für die Schrittlänge des euklidischen Algorithmus
für beliebige a, b ∈ N an.
Aufgabe 6.
√
(i) Zeigen Sie: Für alle n ∈ N gilt n2 + 2n = n, 1, 2n .
√
(ii) Berechnen Sie die Kettenbruchentwicklung von 99. √
(iii) Geben Sie alle besten rationalen Näherungen pqnn von 99 mit qn ≤ 100 an.
Aufgabe 7. Beweisen oder widerlegen Sie:
(i) Die Gleichung X 2 − 5Y 2 = 0 ist ganzzahlig lösbar.
(ii) Die Gleichung X 2 − 5Y 2 = 1 ist ganzzahlig lösbar.
2
(iii) Die Gleichung X 2 − 5Y 2 = 1 ist in den natürlichen Zahlen lösbar.
(iv) Die Gleichung X 2 + 5Y 2 = 10 besitzt endlich viele ganzzahlige Lösungen.
Aufgabe 8. Beweisen Sie den Satz von Wilson: Eine natürliche Zahl n ≥ 2 ist genau dann
prim, wenn
(n − 1)! ≡ −1 mod n.
Aufgabe 9. Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie
p
p!
≡ 0 mod p
=
k!(p − k)!
k
für
k = 1, 2, . . . , p − 1.
Folgern Sie
(a + 1)p ≡ ap + 1 mod p
für beliebiges a ∈ Z. Benutzen Sie dies fur einen alternativen Beweis des kleinen Fermatschen Satzes.
Aufgabe 10.
(i) Sei 2 ≤ n ∈ N. Zeigen Sie, dass jede der n − 1 Zahlen
n! + 2, . . . , n! + 3, . . . , n! + n
zusammengesetzt ist. Insbesondere gibt es also beliebig große Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen!
(ii) Es bezeichne pj die j-te Primzahl. Konstruieren Sie eine natürliche Zahl m, so dass
m durch p1 , . . . , pk teilbar ist und ferner
m ≡ −1 mod pk+1
und
m ≡ 1 mod pk+2
gilt. Zeigen Sie, dass dann die 2pk + 1 aufeinanderfolgenden Zahlen
m − pk , . . . , m − 1, m, m + 1, . . . , m + pk
zusammengesetzt sind.
(iii) Vergleichen Sie die Methoden (i) und (ii) zur Erzeugung langer Intervalle ohne
Primzahlen. Welche der beiden Methoden ist besser?
Aufgabe 11.
(i) (Nach Sun–Tsu, ca. 400 v. Chr.:) Es soll eine Anzahl von Dingen gezählt werden.
Zählt man sie zu je drei, dann bleiben zwei übrig. Zählt man sie zu je fünf, so bleiben
drei übrig. Zählt man sie zu je sieben, dann bleiben zwei übrig. Was ist die Anzahl?
(ii) Berechnen Sie die Lösungsmenge des folgenden Systems linearer Kongruenzen:
2X
X
X
3X
≡
1 mod 3
≡
5 mod 6
≡
3 mod 4
≡
3 mod 7.
Aufgabe 12. Es sei p prim. Zeigen Sie, dass die Quadrate der primen Restklassen modulo
p eine Untergruppe der primen Restklassengruppe (Z/pZ)∗ bilden.