7. Übungsblatt - Fachrichtung Mathematik

Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Algebra
Prof. Dr. U. Baumann, J. Greiner
Wintersemester 2016/17
7. Übungsblatt zur Vorlesung
«Algebra für Informationssystemtechniker»
Restklassenringe, Eulersche ϕ-Funktion
V36. Vorbereitungsaufgabe, bitte vor Beginn dieser Übung unter Angabe von Name und
Matrikelnummer abgeben.
a) Wie lautet der Satz von Euler? Was zählt die Eulersche ϕ-Funktion?
b) Was ist eine Einheit in Zn ? Wie kann man prüfen, ob a P Zn eine Einheit ist?
Ü37. Geben Sie tabellarisch alle Einheiten in Z10 , Z11 , Z12 und Z14 an.
Ü38. Berechnen Sie zu den folgenden natürlichen Zahlen n den Wert ϕ(n) der Eulerschen
Funktion:
i) n = 30
ii) n = 60
iii) n = 100
iv) n = 2520
Ü39. Berechnen Sie die folgenden Potenzen. Benutzen Sie wenn möglich den Satz von Euler:
i) 19289 mod 21
Ü40.
ii) 1354 mod 32
iii) 727 mod 36
iv) 1513 mod 18
a) Verschlüsseln Sie das Wort „VORLESUNG” mit dem RSA-Verfahren und dem öffentlichen Schlüssel (n, e) = (33, 7). Führen Sie dazu folgende Schritte aus:
i. Codieren Sie die Buchstaben A1 , A2 , . . . , A9 des Klartextes durch Zahlen
m1 , . . . , m9 mit der Regel
A ÞÝÑ 2,
Ä ÞÝÑ 28,
B ÞÝÑ 3,
Ö ÞÝÑ 29,
...
Z ÞÝÑ 27,
Ü ÞÝÑ 30,
ß ÞÝÑ 31.
ii. Verschlüsseln Sie m1 , . . . , m9 mit dem öffentlichen Schlüssel zu c1 , . . . , c9 .
iii. Ordnen Sie c1 , . . . , c9 die korrespondierenden Buchstaben zu.
b) Mit dem gleichen Schlüssel wurde folgender Schlüsseltext (m1 , . . . , m10 ) erzeugt:
(28, 30, 15, 7, 30, 13, 28, 13, 30, 10)
Entschlüsseln Sie diesen und ordnen Sie den Ergebnissen Buchstaben nach dem
Schema oben zu. Warum ist das Entschlüsseln hier möglich?
H41. Hausaufgabe, bitte vor Beginn der nächsten Übung unter Angabe von Name und
Matrikelnummer abgeben.
a) Verschlüsseln Sie Ihren Nachnamen mit dem RSA-Verfahren und dem öffentlichen
Schlüssel (n, e) = (65, 11). Führen Sie dazu die gleichen Schritte wie in Übung
Ü40 (a) aus.
b) Berechnen Sie den geheimen Schlüssel d.
E42. Beweisen Sie folgende Aussagen für n ě 2 ohne die Formel für ϕ zu verwenden:
∙ Gilt n = pα für eine Primzahl p und eine natürliche Zahl α ą 0, dann folgt
ϕ(n) = ( p ´ 1) pα´1 .
∙ Ist n eine gerade Zahl, dann gilt 2ϕ(n) = ϕ(2n).
∙ Ist n eine ungerade Zahl, dann gilt ϕ(n) = ϕ(2n).