Kapitel 3: Die Eulersche Φ

KAPITEL 3
Die Eulersche φ-Funktion
1. Multiplikativität der φ-Funktion
Definition 3.1 (Eulersche φ-Funktion). Für n ∈ N bezeichnet φ(n) die Anzahl
der natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich n und zugleich teilerfremd zu n
sind. Die Abbildung
φ : N → N, n → φ(n)
heißt Eulersche φ-Funktion.
Lemma 3.2. Ist p eine Primzahl und k ∈ N, so gilt
φ(pk ) = pk−1 (p − 1).
Satz 3.3. Die Eulersche φ-Funktion ist multiplikativ, d.h., sind m und n teilerfremd, so gilt
φ(mn) = φ(m)φ(n).
Korollar 3.4. Sind p1 , p2 , . . . , pr Primzahlen und k1 , . . . , kr ∈ N so gilt für
n = pk11 pk22 · · · · · pkr r
φ(n) = pk11 − p1k1 −1 pk22 − pk22 −1 · · · · · pkr r − prkr −1 .
Vermutung 3.5 (Vermutung von Carmichael (1922)). Für alle n ∈ N ist
φ−1 ({n}) = 1.
Satz 3.6. Für die Eulersche φ-Funktion gilt
a) φ(n) ≤ n − 1 und φ(n) = n − 1 genau dann wenn n ∈ P.
n
b) Für jedes N ∈ N gibt es ein n ∈ N, so dass φ(n) ≤ N
.
c) Für alle n ∈ N ist
√
n
2
≤ φ(n).
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2. Der Satz von Euler und seine Anwendungen
Satz 3.7 (Satz von Euler). Ist n ∈ N und ggT(a, n) = 1, so ist
aφ(n) ≡ 1
mod n.
Satz 3.8 (RSA). Es sei
(i) p, q ∈ N (Bobs geheime Primzahlen)
(ii) N = pq und k ∈ N mit ggT(k, φ(N )) = 1 (Das Paar (N, k) ist Bobs
öffentlicher Schlüssel)
(iii) M ∈ N mit M < N (geheime Nachricht von Alice an Bob)
(iv) r ∈ {0, . . . , N − 1} mit r ≡ M k mod N (Übertragene Nachricht von
Alice an Bob)
(v) j ∈ N mit kj ≡ 1 mod φ(N ) (Bobs Entschlüsselungsexponent)
Es gilt: rj ≡ M mod N .