Fachwissenschaftliches Seminar zur Zahlentheorie

Fachwissenschaftliches Seminar
zur Zahlentheorie
Vortragsunterlagen zum Thema:
Das Münzproblem“
”
Mit unseren Euromünzen sind wir in der Lage, jeden beliebigen Geldbetrag zu kombinieren. Falls wir jedoch z.B. den einen 1 Cent ausschließen würden, dann würde uns das nicht mehr gelingen. Mathematisch formaler gesehen führt uns dieses Beispiel auf folgendes:
Wir betrachten eine k-elementige Teilmenge A von N und wollen wissen, welche natürlichen Zahlen als Linearkombinationen aus Elementen von A darstellbar sind. Das Münzproblem besteht nun konkret
darin, die größte Zahl g(A), die nicht als Summe von Zahlen aus A zu
schreiben ist, zu bestimmen.
"'r1fi
,,il
Das Münzproblem I ',''
Wollen wir
Mit unserenMänzen könnenwir jeden Geldbetragzusarnmenstellen.
ohne die l-Pf-Mtinze auskomrnen,so gelingt dies nicht mehr mit den Beträigen
1 Pf und 3 Pf, ab 4 Pf, ist aber wieder jeder Betrag darstellbar. Ohne die
KupfermänLen1 Pf und 2 Pf kann man aber nur durch 5 teilbare Pfennigbetr:ige
erreichen
Teilmengevon lN. Dann
Es sei nun .d : {ar, a2t...rakl eine lc-elementige
erhebt sich die Fbage,welchenatürlichen Zahlen als Summevon Elementenaus
l, darstellbar sind, für welchen e IN also gilt:
k
S
n - /r ;a;
mit
r; € INo.
d=l
Sicher gilt dies nur für solche n, die durch ggT(ar, azt. . . rak) teilbar sind, wir
wollen uns daher auf
BgT(ora
, z t . .. , a * ) : L
beschränken. Zunächst gilt
k
r
n -- lt;ai
i=1
mit x; e.Z
,i
l
I
vll.g DasMünzproblem
und das Briefmarkenproblem
4Bb
(vgl. I.6 Satz 11). Ist dann
x;: !;aplr;
m i t Q ;€ V u n d 0 1 r ; 1 a p
( i : 1 ,2 r . . . , ß - 1 ) u n d
ß_r
r7,i: r* * D g;q,
d=l
so folgt
&
n -la;a;
i-f
&-1
:
I(qto* * r;)a; * cra*
i=l
ß-1
ß-1
&
= D r;a;* (t* + Dqtot)or - Ir,o,.
,i=l
d=l
i=l
Es ist zu prüfen, unter welchervoraussetzungr3 ) 0 gilt. Es ist
&-1
ß-r
d=l
d=l
:n - I
rPaP
Für
r ; a ;2 ' - ( o * - 1 )I " r '
fr-t
n)(ap-1)tai-ak
,i=l
ist daher r1 ) -1, also rp ) 0. Bezeichnetman mit g(A) die größte Zahl, die
nicht als Summe von Zahlen aus A nt schreibenist, so gilt daher
ß-r
s(A)S(or-1)Da;-ah.
i=1
Da die Zahlen in .4 nicht der Größe nach angeordnetsein müssen,wird man
in der Abschätzung ar als die kleinste Zahl aus A wählen. Man sollte daher
vielleicht besser
:
',
,'
9S(a1-1)Id;-e1
i=2
,i
I
schreiben.
Da'sMünzproblemoder Problernuon FRonpnrus (nach FnRoweND GEoRc
FnosuNrus, 1.849-1917)
besteht in der Bestimmungder FnoseNruszolzlg(A)
für eine vorgelegteMenge /. Ist I e A, dann ist diesesProblem offensichtlich
trivial und man setzt g(A) - -1, damit obige Formel mit a; : I bzw. dr : L
gültig bleibt.
Für die Anzahl
der nicht darstellba^ren
Zahlen gilt
"(A)
g ( Ä )+ t
n- \/ Ar \) a\ T i
'ir
'.ti
i|1l
'1
der AdditivenZahlentheorie
Vll Elemente
436
'i
'ii
I'
lil
i
g(A) ist mindedenn von zwei Zahlenna,n mit 0 Sm,n S g(A) und m *n:
stenseine nicht darstellbar, da andernfalb g(Ä) darstellbar wäre.
Ist k:2, alsoA: {at,o2} mit 88T(ar,or) :1, so ist
g(A):
a{12'o,r - dz und n(A):
e(Ä)+ 1
.:,
,:i
ii1
i
(Aufgabe 13). Im folgendenBeispiel ist & : 3'
folgt
Beispiel 1: Es sei Ä : {6,10,15}. Aus obiger aüg9m3ine1f'bryhäitzung
g(A) < llg, wenn *""t o, : 6 seizt. Es gilt aber g(/) :29, wie man folgendermaßenfindet: Die kleinste Zahl
rr.6*rz'10*rg'15
mit rr ttztrs € INo in der Restklasse
0mod6
1mod6
2mod6
SmodG
4mod6
SmodG
ergibtt*rrt
{'
ft : 0,
ft:0,
rt : 0,
|"l:0,
ft:0r
ft = 0,
Tz:0,
TZ:L,
Tz:Zt
f2:0r
tz:\,
r2:2,
fs : 0
fe:1
rg : 0
fg:1'
rs:0
fs : 1
0
25
20
15
10
35
Die jeweils folgendenZahlen der Restklassesind dann nattirlich auch darstellbar, da man nur eine C addieren muß. Die größte nicht darstellbare Zahl liegt
in 5 mod 6 und lautet 29. Es folgt n(Ä) > 15. Nachzählenergibt "(A): 15.
Das in Beispiel 1 benutzte Verfahren kann man allgemein zur Berechnung
von g(.4) und n(Ä) verwenden,wie folgenderSatz besagt'
Satz 19: Es sei Ä : {@r, ..., @ß}eine Mengevon k natürlichen Zahlen mit
ggT(ar, ... , ar) : 1. Für j : L, ... r dk sei rr' die kleinstenatärliche Zahl mit
dargestellt werden lcanD.
;= mod a1, die als Summevon Zahlen aus .4 \ {"t}
Dann gilt
s(A): ,S15,ri - e1
und
n(A):*,ä,,,j-+
Beweis: Ist n : 0 mod o1, dann ist n (als Vielfaches von a1) in Ä darstellbar.
Ist n = j = r; moda1, dann ist n genau dann in Ä darstellbart wenn n2'ii
- a1. Es folgt
die größie niÄt-darstellbare Zahl dieser Restklasse ist r;
s(A):
,ä.%,("j
- ot) :
,*?ä, "j
- a1'
Vff.9 Das Münzproblem
und das Briefmarkenproblem
4gT
Färi l 0 mod al gibt esgenau
jmod al und 0 1 n 1 ri.
[3] z"ttt"n n mit n =
Wegenl<j(orist
ri- j
[t..| :
a1
Lcr J
und damit
n(A):,ä,
[ä]
-
:
*,;,,,
:t)a,.
].(a,
o
Beispiel 2: Wir betrachten A : {5, 7, 13} mit dr : 5.
1mod5
2mod5
3mod5
4mod5
L, 6, 11.,1.6,21
2r7
3,8,13
4r9,L4
l"1 : 21
n2:
7
13:13
t4
"4:
Es ergibt sich
s(A):21-
b: lG und n(A): * .5b- 2 - 9.
o
Man kann das Problem der Bestimmung von g(.4) und n(Ä) auf den Fall
zurückftihren, daß j" ß - 1 der Zahlen aus Ä teilerfremd sind. Es gilt näirnlich:
satz 2o: Es sei Ä : {or, ..., as} eine Mengevon ft natürlichenZahlenmit
BBT(or, ... , a*) :_1 und ggT(az, ... , o*) : d. Dann gilt für die Menge
A': {or,3, ...,fft
s(A)- d. s(A')+ (d- r)a'
und
n(A)- d.n(A')
*+.(o,
- 1).
Beweis: Es seien r; die in Satz 19 eingeführten Zatrlen und rl die analog definierten Zahlen für die Menge .A'. Die Zahl n ist genau dann in der Menge
Qk, r
taz
...,
darstellbar, wenn dn in {or, ... , ah| darstellbar ist. Wegen
li,
äI
g g T (a r,d ) : BgT( art a2t ... , or ) : 1
durchläuft dn mit n ebenfalls ein vollständiges Restsystem mod o1. Ist
n:imodol
und dn=jmodal
(0 < i, j ( ar), dann ist
rl : dr'i'
Vll Elementeder AdditivenZahlentheorie
438
Es folgt aus Satz 19
- ,.r,
- =
@,)
s(A): ,Bä rl - ar=,ä25,
ltn{.,+l+
7 ",
woraus sich die erste Behauptung ergibt. Ferner ist nach Satz 19
t +-+:){'@)*+),
n(A'):+
'b\ra't
I ,i-o':L=1
o' ,&.o, d
2
at tft't
woraus sich auch die zweite Behauptung ergibt'
?
Beispiel 3: wir betrachtennochmalsdie Menge A : {6,10,15} aus Beispiel
1. Mit Gr :6 folgt
s(A): 5 . e({6,2,3}) + 24.
von satz
ofiensichtlichist 9({6,2,3}) : g({2,3}) : 1, was sich auch mit Hilfe
20 ergibt:
: l"
:
s ( { 2 , 3 , 6 } )= 3 ' s ( { 2 , 1 } )+ 4 3 ' ( - 1 ) * 4
Es folgt
s(A):5.1 *24=29.
Ferner liefert Satz 20
n(A):5'rz({2'3}) + t$:
15.
Die Elementevon A seiennun der Größenach numeriert, es sei also
0(ar
ferner sei
1a2 1.-.<axi
d, : ggT( art'zs.. . , di)
1962])
für i : L,.2,... ,k. Dann gitt ([Brauer/Shockley
s(A)=Edi+r.h,
In obigen Beispiel 2 ergibt sich damit
s(A)st'l+13'i:ot.
Es gilt ferner ([ErdOs/Graham 1972])
s(A)ltar-rl+l
"-.
L'EJ
Vlf .9 Das Münzproblemund das Brie{markenproblem
439
Dies liefert für die Menge in Beispiel 2
s ( A ) < L 4 . 4- 1 3: 4 3 .
Ist & - 2 und o2 ürrgeräde,dann ergibt sich
s(A) 1 Zar +
- a2: ar(az
- \) - or.,
so daß in diesem Fall das Gleichheitszeichengilt (s.o.).
Explizite Formeln ftir 9(Ä) ähnlich wie im Fall l,al : 2 erhält man unter
geeigneten Voraussetzungen über die Menge A; vgl. z.B. [Hofmeister 1966],
[Selmer 1986].
In VII.3 haben wir im Fall, daß die Elemente von A paarweise teilerfremd
sind, eine Formel für die Anzahl po(") der Darstellungen von n als Linearkombination von Elementen aus ,4 mit nicht-negativen Koeffizienten hergeleitet. Im
Fall & : 3 mit A : {a,,ä,c} ergab sich
L ((
a*b+"\'
:#f("*T)
p,a(n)
ozatz ' -z\
J+'rt"l
Es gilt pa(n) ) 0, falls
-ry
"r
Also gilt wegen
+z
la(")ls;'(o*b*c)
(vgl. VU.3) für die FnonENIUSzahl
+ä * c)- *Y
s(A)= /#t"z 1gz* ",)+ |nob"or(o
Diese Abschätzung ist nicht sonderlichscharf; z.B. für A:
g(A) < 56, während 9(,a) : 16 gilt (Beispiel 2).
{5,7,13} liefert sie
Bezeichnet man für r € INo mit 9,(Ä) die größte natürliche Zahl, die höchstens r Partitionen in Ä besitzt. also
s,(A ):
max{ n € E[ | pa( n) S r ]
(und insbesonderege(Ä) - g(A)), dann erhält man folgendes Resultat:
Satz 21: Es sei Ä - {o,, b, c}, wobei die natürlichen ZahLena,b,c paarweise
teilerfremd sind. Dann gilt
s , ( A )3 | u @ 2 + b 2* " r ) + z a b c ( ^ ( a* b + c ) * r ) -
-a'* b + c
;
Vll Elemente
der AdditivenZahlentheorie
Beispiel 4: Wir betrachtennochmalsdie MengeÄ = {5, 7, 13} aus Beispiel
2 und gebenfür 0 ( r ( 12 die Werte von g,(Ä) und die SchrankegemäißSatz
21 an:
?
r
A
twl
e | 1 0 1 1 L2
0l 7l2l 3l4l5l6l
7l8l
1 6 12 e1 3 7l 4 4 l 5 1 I 5 8 | 6 4 17 1I 7 6I 8 1 | 8 6 89 94
56I 62| 68| 73| 78I 83| 881e2| e6I 101| 104 108 ttz
TeoTes 100 104
(r * m) habenwir in der letzten Zeileder Tabelle
Wegeng,(A) - ,ffi
noch tffm1 angegeben.
Sa t z 2 2 zE s se i Ä : {a r, ..., a*} , wobei die natär lichenZahlenal, ...t ak
paarweise teilerfremd sind. Dann gilt für r + oo
g,(A),^,-@.'
Beweis:Aus VII.3 Satz 9 folgt
nk-l
pA(r):ffi(L+u"),
, ,
ln
wobei (u,.) eine Nullfolgeist. Da pe(n) bis auf ein O(l)-Glied ein Polynom ist,
gibt es ein ns € N, so daß die Folge (be(")) für n 2 no monoton wachsendist.
Fär 9,(Ä) 2 no ist dann
r - p'ok,(A)+1)> r - c('t=)'
P'a(s,(A))2
wobei t'n die Ableitung von p,4 bedeutet und c eine Konstante ist. Also gilt
wegenpe(g,(A)) S,
(,
c
'\'-W)>
\ -.
s,(A)k-t
(F=Io''-
woraus sich die Behauptung ergibt.
tr
) r(,
.* (t +un,1t13