Möbiusfunktion Kongruenz Chinesischer Restsatz

Möbiusfunktion
µ : N → {−1, 0, 1} mit folgender Abbildungsvorschrift:


wenn n = 1
1
µ(n) = (−1)k k ist die Anzahl der Primfaktoren, (wenn n quadratfrei)


0
wenn n nicht quadratfrei
Kongruenz
a ≡ b mod m ⇔ m | (a − b) ⇔ ∃k ∈ Z mit a = k · m + b
Seien m1 , . . . , mn ganze Zahlen ungleich Null, dann gilt:
a ≡ b mod kgV (m1 · . . . · mn ) ⇔


a ≡ b mod m1

..
.


a ≡ b mod m
n
Ein System von Kongruenzen bezeichnet man als simultane Kongruenz.
Chinesischer Restsatz
Seien die Moduln m1 , . . . , mn paarweise teilerfremd, d.h. ggT (m1 , . . . , mn ) = 1.
Dann gibt es für jedes n-Tupel ganzer Zahlen a1 , . . . , an ein x, dass folgende Kongruenz simultan löst:
x ≡ a1 mod m1
..
.
x ≡ an mod mn
Alle Lösungen sind kongruent m1 · . . . · mn
Berechnen der Lösung:
n
teilerfremd.
Für jedes i sind mi und Mi := m1 ·...·m
mi
Also kann man mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus 2 Zahlen ri und si nden mit:
ri · mi + si · Mi = 1
WennPman si und Mi für alle i herausgefunden hat, kann man die Lösung x berechnen mit:
n
x := i=1 ai · si · Mi
1
Nullteiler
Sei R ein Ring. Ein Element a ∈ R mit a 6= 0 heisst Nullteiler,
wenn es ein Element b ∈ R mit b 6= 0 gibt, für das gilt: a · b = 0.
Einheit
Sei R ein Ring. Ein Element a ∈ R heisst Einheit,
wenn es ein Element b ∈ R gibt mit: a · b = 1.
D.h. ein Element a ist Einheit, wenn es multiplikativ invertierbar ist.
Die Menge aller Einheiten von R bezeichnet man als die Einheitengruppe R× .
Beispiele:
Z× = {1, −1}
Q× = Q\{0}
(Z/10Z)× = {1, 3, 7, 9}
Prime Restklasse
Sei Z/nZ ein Restklassenring. Eine Restklasse a ∈ Z/nZ heisst prime Restklasse wenn gilt
ggT (a, n) = 1, d.h. wenn a und n teilerfremd sind.
Prime Restklassen besitzen ein Inverses der Multiplikation. Daher ist die Menge der primen
Restklassen, die sogeannte Prime Restklassengruppe, auch gleichzeitig die Einheitengruppe (Z/nZ)×
Die Anzahl der Einheiten b.z.w. primen Restklassen in Z/nZ beträgt ϕ(n).
Ist n gleich 2, 4, pk oder 2pk für eine ungerade Primzahl p und ein k ∈ N, dann ist (Z/nZ)× zyklisch.
Die zyklischen Erzeuger von (Z/nZ)× heissen Primitivwurzeln.
Eulersche
ϕ-Funktion
Eine zahlentheoretische Funktion, die zu einer natürlichen Zahl n angibt,
wieviele natürliche Zahlen a ≤ n zu ihr teilerfremd sind.
ϕ(n) := #{1 ≤ a ≤ n|ggT (a, n) = 1}
Berechnung:
Für eine Primzahl p gilt: ϕ(p) = p − 1
Für die Potenz k eine Primzahl p gilt: ϕ(pk ) = pk−1 (p − 1)
Für teilerfremde Zahlen a1 , . . . , an gilt: ϕ(a1 · . . . · an ) = ϕ(a1 ) · . . . · ϕ(an ) (Multiplikativität)
Lemma von Bézout
Seien a, b ∈ Z. Dann gibt es 2 ganze Zahlen s, t ∈ Z mit:
ggT (a, b) = s · a + t · b
Kleiner Satz von Fermat
Sei a ∈ Z und p Primzahl. Dann gilt:
ap ≡ a mod p
Teilt p nicht a, so gilt weiter:
ap−1 ≡ 1 mod p
Satz von Euler
Seien a, b ∈ Z mit ggT (a, b) = 1. Dann gilt:
aϕ(n) ≡ 1 mod n
2
Satz von Wilson
(1) p | ((p − 1)! + 1) ⇔ p ist Primzahl
(2) (p − 1)! ≡ −1 mod p
Zyklische Gruppe
Eine Gruppe G heisst zyklisch, wenn es ein Element g ∈ G gibt,
sodass alle Element in G sich als Potenz von g schreiben lassen.
Das Element g heisst dann Erzeuger von G und es gilt hgi = G.
Ordnung eines Gruppenelementes
Sei g Element einer Gruppe.
Als Ordnung von g oder ord(g) bezeichnet man die kleinste Zahl n ∈ N für die gilt: g n = 1.
Gilt nur g 0 = 1 so hat g unendliche Ordnung.
Primitivwurzel
Eine Zahl a ∈ Z heisst Primitivwurzel modulo m wenn die Restklasse a
die prime Restklassengruppe (Z/mZ)× erzeugt.
Dies ist der Fall genau dann wenn gilt: ordm (a) = ϕ(m)
Wenn Primitivwurzeln mod m existieren, dann genau ϕ(ϕ(m)) viele.
Nach Gauss gibt es Primitivwurzeln mod m genau dann,
wenn m gleich 2, 4, pk oder 2pk für eine ungerade Primzahl p und ein k ∈ N ist.
Berechnung:
Sei a Primitvwurzel modulo m. Dann gilt für die anderen:
ai ist Primitivwurzel mod m ⇔ ggT (i, ϕ(m)) = 1
(Das heisst wenn man eine Primitivwurzel a durch raten bekommt, kann man die anderen berechnen,
indem man g mit den Elementen der primen Restklassengruppe von ϕ(m) potenziert:
ai mit i ∈ (Z/ϕ(m)Z)× ist Primitivwurzel.)
Quadratischer Rest
Eine Zahl a heisst quadratischer Rest modulo m, genau dann wenn es ein x gibt mit x2 ≡ a mod m
Ist die Kongruenz nicht lösbar, so heisst a quadratischer Nichtrest.
Ist p eine Primzahl und sei ggT (a, p) = 1, dann gilt:
a ist quadratischer Rest modulo p ⇔ ( ap ) ≡ a(p−1)/2 ≡ 1 mod p
a ist quadratischer Nichtrest modulo p ⇔ ( ap ) ≡ a(p−1)/2 ≡ −1 mod p
( ap ) bezeichnet das Legendre-Symbol.
Bei einem Primzahlmodul gibt es genauso viele quadratische Reste wie Nichtreste, nämlich
3
p−1
2 .