Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Einordnung des Themas
Pascal
(1623-1662)
und
Fermat
(1601-1665)
gelten
als
die
Begründer
der
Wahrscheinlichkeitsrechnung. Damals war das Hauptanliegen, die Erfolgschancen beim Glücksspiel
vorauszusagen.
Die Wahrscheinlichkeitsrechung gehört zu denjenigen Gebieten der Mathematik, an denen die
Verbindung von realer Welt und ihrer mathematischen Beschreibung besonders deutlich wird. Jedoch
gehört gerade dieses Gebiet der Mathematik zu jenen, in denen logisches Denken so gefragt ist, wie
in kaum einem anderen: Überall lauern Fallstricke und Trugschlüssen sind selbst versierten
Mathematiker unterlegen (ZÖFEL 2001: 47).
Dies soll uns aber trotzdem nicht abhalten, uns mit dem Gedankengebäude der
Wahrscheinlichkeitstheorie auseinander zusetzen; denn da es uns lediglich um die praktische
Anwendung wahrscheinlichkeitstheoretischer Verfahren geht, genügt es, ein Grundverständnis der
Wahrscheinlichkeitsrechnung mitzubringen. Dies haben wir bereits erlangt, wenn wir folgenden Inhalt
verstehen:
(1) Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit Zufallsexperimenten.
(2) Ein Experiment, bei dessen Durchführung mehrere Ergebnisse möglich sind und dessen Ausgang
(Ergebnis) vor der Versuchsdurchführung nicht sicher vorausgesagt werden kann, heißt
Zufallsexperiment.
(3) Wir fordern von einem Zufallsexperiment, dass es beliebig oft unter den gleichen Bedingungen
wiederholbar ist: Ein n-stufiges Zufallsexperiment entsteht dadurch, dass n Zufallsexperimente
nacheinander oder gleichzeitig durchgeführt werden. Die Ergebnisse eines solchen
Gesamtexperiments sind n-Tupel, wobei an der i-ten Stelle das Ergebnis des i-ten Zufallsexperiments
steht.
(4) Ein einzelnes Ergebnis eines Zufallsexperiments bezeichnen wir mit  ; die Menge aller möglichen
Versuchsergebnisse als Ergebnismenge  . Manchmal wird  auch als Ereignismenge oder
Ereignisraum eingeführt. Dies begründet sich durch folgenden Sachverhalt: Jede Teilmenge A von 
heißt - zufälliges - Ereignis. Wir sagen: Das Ereignis A ist eingetreten, wenn das Ergebnis  des
Zufallsexperiments Element von A ist. Falls das Ergebnis  nicht Element von A ist, sagen wir: Das
Ereignis A ist nicht eingetreten.
(5) Wir kennen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung spezielle Ereignisse, die wir hier kurz auflisten
wollen: Einelementige Ereignisse heißen Elementarereignisse. Das Elementarereignis E    tritt
genau dann ein, wenn  das Ergebnis des Zufallsexperimentes ist. Das Ereignis  tritt immer ein,
da es alle möglichen Versuchsergebnisse enthält. Aus diesem Grunde heißt  das sichere Ereignis.
Es erweist sich in diesem Zusammenhang als sinnvoll, noch das unmögliche Ereignis  einzuführen.
Es entspricht der leeren Menge und kann nie eintreten, da es kein mögliches Versuchsergebnis
enthält.
(6) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist eine Zahl zwischen Null und Eins, wobei der Wert Null
einem unmöglichen und der Wert Eins einem sicheren Ergebnis zugeordnet wird und Zwischenwerte
zufällige Ereignisse bezeichnen.
1
Umgangssprachlich werden Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit nahe Null als unwahrscheinlich,
Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit nahe Eins als wahrscheinlich bezeichnet.
Im Zusammenhang mit der praktischen Anwendung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs in der Statistik
ergänzen wir noch:
(7) Aussagen, die eine Irrtumswahrscheinlichkeit von   0,05 (bzw. 0,01) haben, nennen wir
signifikant.
Im Grunde ist das alles, was wir über Wahrscheinlichkeiten wissen müssen, geht es uns lediglich um
den praktischen Gebrauch statistischer Verfahren (Zöfel 2001: 47). Es ist für ein tieferes Verständnis
dennoch ratsam, sich mit den nächsten Abschnitten zu beschäftigen und deren Aussagen zu
verinnerlichen. Denn:
In der Unterrichtsreihe „deskriptive Statistik“ haben wir uns damit beschäftigt, empirisch gewonnene
Daten so aufzubereiten, dass wir mit einem Blick das Wesentliche erkennen können, sei es durch die
Angabe von errechneten Kennwerten (Median, Modus, arithmetisches Mittel, Varianz u.a.) oder durch
die Anfertigung von aussagekräftigen Tabellen bzw. Schaubildern (Kreisdiagramm, Säulendiagramm,
Histogramm, Piktogramm).
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung dient dazu, aufgrund bestimmter Annahmen und Erkenntnisse den
Ausgang von Untersuchungen (Experimenten) vorauszusagen.
In der Theorie der „beurteilenden Statistik“ (auch Inferenzstatistik oder schließende Statistik genannt)
werden die Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrechung angewendet, um entscheiden zu können, ob
die Kennwerte empirisch erfasster Daten sich unterscheiden oder nicht. Hier geht es beispielsweise
um Fragen der Lernpsychologie („Ist die Lernmethoden A besser als Methode B?), der Wirksamkeit
von Medikamenten („Hat das Medikament A weniger Nebenwirkungen als Medikament B?“), der
Risikobereitschaft („Sind Jungen risikofreudiger als Mädchen?“), der Vererbung von Intelligenz („Ist
Intelligenz angeboren oder nicht?“), der Mobilität usw. Die kurze Aufzählung soll eines zeigen: Die
Modelle der Mathematik sind aus der modernen Wissenschaft nicht mehr wegzudenken.
2. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit
Bei der Untersuchung von Zufallsexperimenten spielen die Häufigkeiten von Ereignissen eine wichtige
Rolle. Ereignissen, die oft eintreten, werden wir intuitiv große Wahrscheinlichkeiten zuordnen,
während die Wahrscheinlichkeiten von selten eintretenden Ereignissen klein sind.
Wir übertragen die bisherigen Definitionen der absoluten und relativen Häufigkeiten auf die
Durchführung von Zufallsexperimenten: Ein Zufallsexperiment werde n-mal durchgeführt. Dann heißt
die Anzahl derjenigen Versuche, bei denen das Ereignis A eintritt, die absolute Häufigkeit H n A  des
Ereignisses A. Der Index n gibt dabei den Versuchsumfang bzw. die Anzahl der Versuche an.
Ist H n A  in einer Versuchsreihe vom Umfang n die absolute Häufigkeit des Ereignisses A, dann heißt
der Quotient
h n A  
H n A 
n
2
relative Häufigkeit des Ereignisses A. Und wir notieren die Eigenschaften der absoluten und relativen
Häufigkeit:
Tabelle 1: Eigenschaften der absoluten und relativen Häufigkeit
Eigenschaft der absoluten Häufigkeit
Eigenschaft der relativen Häufigkeit
Zusatz/ Erläuterung
0  H n A   n
0  hn A   1
für jedes beliebige Ereignis A
H n 
  0
hn 
  0
H n    n
hn    1
für das sichere Ereignis 
H n A  B   H n A  H n B 
hn A  B   hn A   hn B 
falls A  B  

H n A  B   H n A  H n B   H n A  B 
hn A  B   hn A  hn B   hn A  B 
für beliebige Ereignisse
für das unmögliche Ereignis


Bei fast allen Versuchsreihen stabilisieren sich für große Versuchsumfänge n die relativen
Häufigkeiten h n A  eines Ereignisses A um einen festen Zahlenwert p, wenn die einzelnen Versuche
unabhängig voneinander durchgeführt werden. Den Zahlenwert p, um den sich bei großen
Versuchsreihen in der Regel die relative Häufigkeit eines Ereignisses stabilisieren, bezeichnen wir in
der Mathematik naiv als Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Wir haben somit eine erste
anschauliche Definition der Wahrscheinlichkeit gefunden.
Merksatz
Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit sind grundsätzlich
verschiedene Begriffe.
Wahrscheinlichkeiten dienen der Prognose; sie geben Auskunft über Chancen in bevorstehenden
Zufallsversuchen. Dagegen machen relative Häufigkeiten immer Aussagen über bereits
durchgeführte Zufallsversuche.
Beispiel 1: Bei 200 Würfen mit einem Würfel wurde 35-mal eine „6“ gewürfelt, die relative Häufigkeit
der „6“ beträgt demnach 35/200 = 0,175 (oder 17,5 %), wobei sich die Wahrscheinlichkeit, eine „6“ zu
würfeln, mit Hilfe von Laplace errechnen lässt als: p  16 .
Merksatz
Die Erfahrung zeigt, dass mit steigender Versuchsanzahl der Wert der relativen Häufigkeit immer
mehr einem „Endwert“ näher kommt, er pendelt sich ein.
Diesen „Endwert“ nennen wir (statistische) Wahrscheinlichkeit. Wir sprechen in der Mathematik auch
vom „empirischen Gesetz der großen Zahlen.“
Das Empirische Gesetz der Großen Zahlen erlaubt Voraussagen über die absolute Häufigkeit H, mit
der ein Ergebnis auftreten wird. Wir interpretieren dabei die Wahrscheinlichkeit p eines Ergebnisses
als den Anteil, den dieses Ergebnis an allen Versuchsergebnissen voraussichtlich haben wird, und
berechnen daraus die absolute Häufigkeit H bei n Versuchen als: H  n  p .
Beispiel 2: Falls ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit p  0,25 besitzt, würden wir erwarten, dass es
bei 200 Versuchen 50-mal auftritt: H  200  0,25  50 .
3
Beispielaufgabe
20 Schülerinnen und Schüler werfen je 25-mal den LEGO-Achter und geben nacheinander die ermittelten Häufigkeiten an.
Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst dargestellt:
absolute Häufigkeit
kumulierte Häufigkeit
relative Häufigkeit
O
1 2
3
4
U
O
1
2
3
4
U
Summe
h(O)
h(1)
2
6 8
5
3
1
2
6
8
5
3
1
25
0,080
0,240
0,320 0,200 0,120
h(2)
h(3)
h(4)
0,040
h(U)
3
5 2
7
5
3
5
11
10
12
8
4
50
0,100
0,220
0,200 0,240 0,160
0,080
4
3 4
9
2
3
9
14
14
21
10
7
75
0,120
0,187
0,187 0,280 0,133
0,093
4
5 7
4
4
1
13
19
21
25
14
8
100
0,130
0,190
0,210 0,250 0,140
0,080
2
6 7
2
6
2
15
25
28
27
20
10
125
0,120
0,200
0,224 0,216 0,160
0,080
4
5 5
4
5
2
19
30
33
31
25
12
150
0,127
0,200
0,220 0,207 0,167
0,080
0
4 7
5
9
0
19
34
40
36
34
12
175
0,109
0,194
0,229 0,206 0,194
0,069
2
4 6
7
6
0
21
38
46
43
40
12
200
0,105
0,190
0,230 0,215 0,200
0,060
1
8 5
7
4
0
22
46
51
50
44
12
225
0,098
0,204
0,227 0,222 0,196
0,053
2
3 5
4
10
1
24
49
56
54
54
13
250
0,096
0,196
0,224 0,216 0,216
0,052
2
3 8
4
6
2
26
52
64
58
60
15
275
0,095
0,189
0,233 0,211 0,218
0,055
3
3 5
6
7
1
29
55
69
64
67
16
300
0,097
0,183
0,230 0,213 0,223
0,053
3
5 5
7
4
1
32
60
74
71
71
17
325
0,098
0,185
0,228 0,218 0,218
0,052
1
7 3
5
8
1
33
67
77
76
79
18
350
0,094
0,191
0,220 0,217 0,226
0,051
3
5 7
6
3
1
36
72
84
82
82
19
375
0,096
0,192
0,224 0,219 0,219
0,051
1
3 9
7
4
1
37
75
93
89
86
20
400
0,093
0,188
0,233 0,223 0,215
0,050
3
5 5
5
5
2
40
80
98
94
91
22
425
0,094
0,188
0,231 0,221 0,214
0,052
1
6 2
6
7
3
41
86
100
100
98
25
450
0,091
0,191
0,222 0,222 0,218
0,056
2
5 4
7
7
0
43
91
104
107
105
25
475
0,091
0,192
0,219 0,225 0,221
0,053
2
5 6
8
4
0
45
96
110
115
109
25
500
0,090
0,192
0,220 0,230 0,218
0,050
4
Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit
0,350
h(O)
h(1)
h(2)
h(3)
h(4)
h(U)
0,300
Relative Häufigkeit
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
0
100
200
300
400
500
600
Anzahl der Versuche
3. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit
Ziel der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik ist es, einen Wahrscheinlichkeitsbegriff
einzuführen, der ohne vorheriges Experimentieren zu kalkulieren ist und bei wiederholten
Durchführungen derselben mit den relativen Häufigkeiten eines Ereignisses in einem gewissen
Zusammenhang steht.
Allgemein benötigen wir in der Mathematik Modellannahmen (MA), um einen Begriff sinnvoll einführen
zu können. Daher fordern wir zunächst:
MA1: Es gibt nur endlich viele verschiedene Versuchsergebnisse, d.h. die
Ergebnismenge  ist endlich.
MA2: Bei der Durchführung des Zufallsexperiments darf kein Ereignis
bevorzugt werden.
Die erste Bedingung der Endlichkeit der Ergebnismenge ist bei vielen Zufallsexperimenten erfüllt, z.B.
bei Glücksspielen. Die zweite Bedingung der Chancengleichheit sämtlicher Versuchergebnisse ist i. a.
nicht ohne weiteres erkennbar. Doch können wir in vielen Fällen aufgrund der entsprechenden
Konstruktion des Geräts und der zugehörigen Versuchsdurchführung von dieser Chancengleichheit
ausgehen. Letztendlich kann die Chancengleichheit aller Versuchsergebnisse nur mit Hilfe
statistischer Methoden überprüft werden.
Der französische Mathematiker Pierre Simon Laplace (1749-1827) hat unter Berücksichtigung der
Modellannahmen MA1 und MA2 ein Modell zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten ermittelt. Daher
trägt jedes Experiment, das diese beiden Modellannahmen erfüllt, seinen Namen: LaplaceExperiment. Und wir notieren:
5
Die Ergebnismenge  bestehe aus m verschiedenen Ergebnissen. Ferner seien die
Modellannahmen MA1 und MA2 erfüllt. Dann besitzt jedes Ereignis A die klassische
Wahrscheinlichkeit bzw. Laplace-Wahrscheinlichkeit:
p A  
A


Anzahl der Elemnte von A
.
Anzahl der Elemnte von 
Aus der Formel zur Berechung der klassische Wahrscheinlichkeit lässt sich unmittelbar die folgenden
Eigenschaften ableiten:
Tabelle 2: Eigenschaften der klassischen Wahrscheinlichkeit
Eigenschaft der klassischen Wahrscheinlichkeit
Zusatz/ Erläuterung
0  p n A   1
für jedes Ereignis A
p n 
  0
für das unmögliche Ereignis 

p n    1
Normierung
pn A  B   pn A  pn B 
für A  B  
 (Additivität)
pn A  B   pn A  pn B   pn A  B 
für beliebige Ereignisse

p A  1 pA
für das Gegenereignis A von A
Aufgaben
1. Paula hat acht Münzen in ihrer Geldbörse. Es sind zwei kupferfarbige, vier goldfarbig und zwei
goldsilberfarbige. Sie nimmt ohne Hineinzusehen eine Münze heraus. Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeit, dass sie (a) eine goldfarbige, (b) keine goldfarbige, (c) eine kupferfarbige
zieht.
2. In einer Tüte sind elf Mandel- und 22 Schokokekse. Peter nimmt den ersten heraus, es ist ein
Mandelkeks, er wird gegessen. Danach fasst Paula in die Tüte. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist auch das ein Mandelkeks?
3. Eine Familie hat drei Kinder. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden
Kinder Mädchen sind. Gehen Sie bei Ihren Überlegungen davon aus, dass Mädchen- und
Jungengeburt gleichwahrscheinlich sind.
4. Eine Familie hat vier Kinder. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Kinder in der
Reihenfolge Junge-Mädchen-Mädchen-Junge geboren wurden.
5. Beurteilen Sie die folgende Argumentation: Wenn man drei Münzen wirft, liegen immer zwei
gleichartige oben. Die dritte Münze zeigt entweder Zahl oder Wappen, so dass das Auftreten
von drei gleichen Merkmalsausprägungen zu 50% zu erwarten ist (entweder kommt die dritte
passende oder sie kommt nicht).
6. Ein Würfel wird viermal geworfen: Ereignis A1  „1, 2, 3, 4“ und Ereignis A2  “2, 4, 4, 6“ in der
angegebenen Reihenfolge. Geben Sie an, mit welcher Wahrscheinlichkeit A1 bzw. A2
auftreten.
6
Gib jeweils die Ergebnismenge  , das Ergebnis E und die Wahrscheinlichkeit p (E ) an.
7. Ein Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für:
E1: Werfen einer ungeraden Augenzahl
E2: Augenzahl mindestens 5
E3: Augenzahl weniger als 3
8. Peter und Paula haben für das Schulfest eine Lotterie vorbereitet. In Peters Lotterie gibt es
Lose mit den Nummern 1 bis 50 und es gewinnt jedes Los mit einem Vielfachen von 7 oder 9.
Paula hat 60 Lose mit den Nummern 1 bis 60 und es gewinnen alle Primzahlen. Welche
Lotterie ist günstiger für einen Loskäufer?
9. Aus einem Skatspiel wird eine Karte gezogen.
Wie ist die Wahrscheinlichkeit für:
E4: Ziehen einer Dame
E5: Ziehen einer „Personenkarte“
E6: Ziehen einer Karo-Karte
E7: Ziehen einer roten Karte
E8: Ziehen einer roten oder schwarzen Karte
10. Ein Lehrer bietet seiner Klasse an, durch einen Zufallsversuch zu entscheiden, ob morgen ein
Wandertag oder Studientag stattfindet. Dabei stellt er zwei Möglichkeiten zur Wahl: (1) Wenn
beim Werfen eines Würfels eine „6“ fällt ist Studientag, andernfalls wird gewandert. (2) Wenn
beim Ziehen aus einem Skatspiel eine Kreuzkarte, jedoch keine Personenkarte, gezogen wird
ist Studientag, andernfalls wird gewandert. Welche Methode sollten die Schüler wählen, wenn
sie lieber wandern würden?
7