4. LZK

3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik
2 ck – hiebaum
Montag, 7. März 2016
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
a)
b)
c)
2.
3.
a)
- Lösen Sie die Gleichung x2 – 5ax + 6a2 nach x auf.
x1,2 = Error! = Error! x1 = 2a x2 = 3a
- Zeichnen Sie die Funktionsgraphen der Funktionen
f(x) = (x + 2)(x – 4)
und
g(x) = –(x – 2)2 + 4
möglichst genau in das Koordinatensystem.
Verwenden Sie dazu ihr Wissen über Nullstellen und Scheitel
b)
- Ermitteln Sie von der Funktion y = 10 (x + 10) (x – 30) die
Nullstellen und den Scheitel.
N1 (–10 / 0) N2 (30 / 0)
S (10 / – 4 000)
a)
In einem Park steht ein Springbrunnen (siehe Bild). Die Auslauföffnung Y ist
1,20 m über der Wasserlinie und der parabolische Wasserstrahl trifft im Punkt
P in einer horizontalen Entfernung von Y von 3 m auf die Wasseroberfläche
auf. Verwenden Sie das eingezeichnete Koordinatensystem.
- Geben Sie zwei mathematische Bedingungen für die Gleichung, die den
Wasserstrahl beschreibt an.
y = ax2 + bx + c
1,2 = c
0 = 9a + 3b also b = –3a
Die Flugbahn eines Fußballes gehorcht der Gleichung h(x) = 0,3x –
0,01x2.
x ist dabei die horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in Meter (m).
h(x) ist die Höhe des Balles über Grund in der Entfernung x in
Meter (m).
- Berechnen Sie, in welcher Höhe der Ball in der Entfernung 25 m
fliegt.
- Berechnen Sie die größte Flughöhe des Balles.
h(25) = 1,25
h(x) = –0,01(x2 – 30) = –0,01(x – 15)2 +2,25 also 2,25 m hoch
Ein parabelförmiger Brückenbogen hat eine Spannweite s von 20 m und eine Höhe h von 4 m (Skizze).
Die Gleichung, die diesen Brückenbogen modelliert ist y = 0,8x – 0,04x2.
- Berechnen Sie die Längen der acht Stützpfeiler, wenn man annimmt, dass die Abstände zwischen den
Stützpfeilern gleich groß sind.
Abstand = Error! = 2,5 m Länge 1 = 4 – y(0) = 4 m Länge 2 = 4 – y(2,5) = 4 – 1,75 = 2,25 m
Länge 3 = 4 – y(5) = 4 – 3 = 1 m Länge 4 = 4 – y(7,5) = 4 – 3,75 = 0,25 m
b)
4.
- Ermitteln Sie die Lösungen der Gleichung 60 – 6x2 = 9x in ℝ:
6x2 + 9x – 60 = 0
x1,2 = Error! = Error! x1 = –4 x2 = 2,5
- Argumentieren Sie, warum die Gleichung 5x2 + 10x + c für c > 5 keine reellen Lösungen hat.
D = 102 – 4 ⋅ 5 ⋅ c < 0
100 < 20 c 5 < c. d.h für c > 5 wird die Diskriminante negativ, die
Wurzel hat keine reellen Werte mehr, also keine reellen Lösungen.
a)
b)
- Berechnen Sie die Gleichung einer Parabel (Funktion zweiten Grades) mit folgenden Eigenschaften:
Nullstellen bei x1 = 2 und x2 = 10 und einem maximalem y-Wert von 48.
- Stellen Sie diese Gleichung in der Form y = ax2 + bx + c dar.
y = a(x – 2)(x – 10)
48 = a (6 – 2)(6 – 10)
48 = –16a
a = –3 daher
y = –3(x – 2)(x – 10)
y = –3 (x2 – 12x + 20) = –3x2 + 36x –60
3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik
2 ck – hiebaum
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Montag, 7. März 2016
Gruppe B
1.
a)
b)
c)
2.
3.
a)
- Lösen Sie die Gleichung x2 – 8ax + 15a2 nach x auf.
x1,2 = Error! = Error! x1 = 5a x2 = 3a
- Zeichnen Sie die Funktionsgraphen der Funktionen
f(x) = (x + 2)(x – 4)
und
g(x) = –(x – 2)2 + 4
möglichst genau in das Koordinatensystem.
Verwenden Sie dazu ihr Wissen über Nullstellen und Scheitel
b)
- Ermitteln Sie von der Funktion y = 10 (x + 10) (x – 50) die
Nullstellen und den Scheitel.
N1 (–10 / 0) N2 (50 / 0)
S (20 / – 9 000)
a)
In einem Park steht ein Springbrunnen (siehe Bild). Die Auslauföffnung Y ist
1,50 m über der Wasserlinie und der parabolische Wasserstrahl trifft im Punkt
P in einer horizontalen Entfernung von Y von 2 m auf die Wasseroberfläche
auf. Verwenden Sie das eingezeichnete Koordinatensystem.
- Geben Sie zwei mathematische Bedingungen für die Gleichung, die den
Wasserstrahl beschreibt an.
y = ax2 + bx + c
1,5 = c
0 = 4a + 2b also b = –2a
Die Flugbahn eines Fußballes gehorcht der Gleichung h(x) = 0,3x –
0,01x2.
x ist dabei die horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in Meter (m).
h(x) ist die Höhe des Balles über Grund in der Entfernung x in
Meter (m).
- Berechnen Sie, in welcher Höhe der Ball in der Entfernung 20 m
fliegt.
- Berechnen Sie die größte Flughöhe des Balles.
h(20) = 2
h(x) = –0,01(x2 – 30) = –0,01(x – 15)2 +2,25 also 2,25 m hoch
Ein parabelförmiger Brückenbogen hat eine Spannweite s von 20 m und eine Höhe h von 8 m (Skizze).
Die Gleichung, die diesen Brückenbogen modelliert ist y = 1,6x – 0,08x2.
- Berechnen Sie die Längen der acht Stützpfeiler, wenn man annimmt, dass die Abstände zwischen den
Stützpfeilern gleich groß sind.
Abstand = Error! = 2,5 m Länge 1 = 8 – y(0) = 8 Länge 2 = 8 – y(2,5) = 8 – 3,5 = 4,5 m
Länge 3 = 8 – y(5) = 8 – 6 = 2 m Länge 4 = 8 – y(7,5) = 8 – 7,5 = 0,50 m
b)
4.
- Ermitteln Sie die Lösungen der Gleichung 45 – 10x2 = 15x in ℝ:
10x2 + 15x – 45 = 0
x1,2 = Error! = Error! x1 = –3 x2 = 1,5
- Argumentieren Sie, warum die Gleichung 10x2 + 20x + c für c > 10 keine reellen Lösungen hat.
D = 202 – 4 ⋅ 10 ⋅ c < 0
400 < 40 c 10 < c. d.h für c > 5 wird die Diskriminante negativ, die
Wurzel hat keine reellen Werte mehr, also keine reellen Lösungen.
a)
b)
- Berechnen Sie die Gleichung einer Parabel (Funktion zweiten Grades) mit folgenden Eigenschaften:
Nullstellen bei x1 = 4 und x2 = 10 und einem maximalem y-Wert von 18.
- Stellen Sie diese Gleichung in der Form y = ax2 + bx + c dar.
y = a(x – 4)(x – 10)
18 = a (7 – 4)(7 – 10)
18 = –9a
a = –2 daher
y = –2(x – 4)(x – 10)
y = –2 (x2 – 14x + 40) = –2x2 + 28x – 80
3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik
2 ck – hiebaum
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
a)
- Ermitteln Sie die Lösungen der Gleichung 60 – 6x2 = 9x in ℝ:
Montag, 7. März 2016
Gruppe A
b)
- Argumentieren Sie, warum die Gleichung 5x2 + 10x + c für c > 5 keine reellen Lösungen hat.
c)
- Lösen Sie die Gleichung x2 – 5ax + 6a2 nach x auf.
A
2.
a)
- Zeichnen Sie die Funktionsgraphen der Funktionen
f(x) = (x + 2)(x – 4)
und
g(x) = –(x – 2)2 + 4
möglichst genau in das Koordinatensystem.
Verwenden Sie dazu ihr Wissen über Nullstellen und Scheitel
b)
- Ermitteln Sie von der Funktion y = 10 (x + 10) (x – 30) die Nullstellen und den Scheitel.
A
3.
a)
In einem Park steht ein Springbrunnen (siehe
Bild). Die Auslauföffnung Y ist 1,20 m über der
Wasserlinie und der parabolische Wasserstrahl
trifft im Punkt P in einer horizontalen Entfernung
von Y von 3 m auf die Wasseroberfläche auf.
Verwenden Sie das eingezeichnete
Koordinatensystem.
- Geben Sie zwei mathematische Bedingungen
für die Gleichung, die den Wasserstrahl
beschreibt an.
b)
Die Flugbahn eines Fußballes gehorcht der Gleichung h(x) = 0,3x – 0,01x2.
x ist dabei die horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in Meter (m).
h(x) ist die Höhe des Balles über Grund in der Entfernung x in Meter (m).
- Berechnen Sie, in welcher Höhe der Ball in der Entfernung 25 m fliegt.
- Berechnen Sie die größte Flughöhe des Balles.
A
4.
a)
Ein parabelförmiger Brückenbogen hat eine
Spannweite s von 20 m und eine Höhe h von 4 m
(Skizze). Die Gleichung, die diesen
Brückenbogen modelliert ist y = 0,8x – 0,04x2.
- Berechnen Sie die Längen der acht Stützpfeiler,
wenn man annimmt, dass die Abstände zwischen
den Stützpfeilern gleich groß sind.
b)
- Berechnen Sie die Gleichung einer Parabel (Funktion zweiten Grades) mit folgenden Eigenschaften:
Nullstellen bei x1 = 2 und x2 = 10 und einem maximalem y-Wert von 48.
- Stellen Sie diese Gleichung in der Form y = ax2 + bx + c dar.
3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik
2 ck – hiebaum
Montag, 7. März 2016
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
a)
- Ermitteln Sie die Lösungen der Gleichung 45 – 10x2 = 15x in ℝ:
b)
- Argumentieren Sie, warum die Gleichung 10x2 + 20x + c für c > 10 keine reellen Lösungen hat.
c)
- Lösen Sie die Gleichung x2 – 8ax + 15a2 nach x auf.
B
2.
a)
- Zeichnen Sie die Funktionsgraphen der Funktionen
f(x) = (x + 2)(x – 4)
und
g(x) = –(x – 2)2 + 4
möglichst genau in das Koordinatensystem.
Verwenden Sie dazu ihr Wissen über Nullstellen und Scheitel
b)
- Ermitteln Sie von der Funktion y = 10 (x + 10) (x – 50) die Nullstellen und den Scheitel.
B
3.
a)
In einem Park steht ein Springbrunnen (siehe Bild).
Die Auslauföffnung Y ist 1,50 m über der
Wasserlinie und der parabolische Wasserstrahl trifft
im Punkt P in einer horizontalen Entfernung von Y
von 2 m auf die Wasseroberfläche auf. Verwenden
Sie das eingezeichnete Koordinatensystem.
- Geben Sie zwei mathematische Bedingungen für
die Gleichung, die den Wasserstrahl beschreibt an.
b)
Die Flugbahn eines Fußballes gehorcht der Gleichung h(x) = 0,3x – 0,01x2.
x ist dabei die horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in Meter (m).
h(x) ist die Höhe des Balles über Grund in der Entfernung x in Meter (m).
- Berechnen Sie, in welcher Höhe der Ball in der Entfernung 20 m fliegt.
- Berechnen Sie die größte Flughöhe des Balles.
B
4.
a)
Ein parabelförmiger Brückenbogen hat eine
Spannweite s von 20 m und eine Höhe h von
8 m (Skizze). Die Gleichung, die diesen
Brückenbogen modelliert ist
y = 1,6x – 0,08x2.
- Berechnen Sie die Längen der acht
Stützpfeiler, wenn man annimmt, dass die
Abstände zwischen den Stützpfeilern gleich
groß sind.
b)
- Berechnen Sie die Gleichung einer Parabel (Funktion zweiten Grades) mit folgenden Eigenschaften:
Nullstellen bei x1 = 4 und x2 = 10 und einem maximalem y-Wert von 18.
- Stellen Sie diese Gleichung in der Form y = ax2 + bx + c dar.