Folien zur Vorlesung am 02.11.2011

2. November 2011
• Gradfolgen
• Zusammenhang
• Kürzeste Wege
H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
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Satz von Erdős und Gallai
 Eine Partition einer natürlichen Zahl ist genau dann die Gradfolge eines schlichten ungerichteten Graphen, wenn ≡ 0mod2
und für alle ∈
≔
1
∈
1
min
gilt
,
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Beweis (Tafel)
 Notwendigkeit
 Betrachte Teilmengen der Knoten ,
 Schätze Zahl der Kanten zwischen und ab
 Hinlänglichkeit
 Erweitere Teilrealisierung sukzessive
 Betrachte kritischen Index
 Fallunterscheidung
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Satz von Havel und Hakimi
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Algorithmus von Havel und Hakimi
Algorithm Havel‐Hakimi(
,…,
)
Eingabe: Realisierbare Gradfolge
Ausgabe: Graph mit Gradfolge 1. Init: ,…,
, ∅, , ∀ ∈
2. while (
, erfüllt nicht die Gradfolge ) do
3.
Sortiere L absteigend gemäß der ersten Komponente
4.
Verbinde .
in mit den nächsten .
Knoten in 5.
.
.
1 ∀ ∈ 2, … , .
1
6.
Entferne aus 7. return
,
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Fazit Gradfolgen
 Wir kennen jetzt Bedingungen für die Existenz eines
Graphen bei gegebener Gradfolge.
 Wenn wir wissen, dass eine Gradfolge realisierbar ist, können wir dazu einen Graphen erstellen.
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Beispiel für Power Law
Gradverteilung im afrikanischen Web
Zahl der URLs mit Eingangsgrad i ist proportional zu iα für eine Konstante α < 0
Quelle: http://www2002.org/CDROM/poster/164/
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Teilgraph
Tafel: Teilgraph und induzierter Teilgraph
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Weg und Kreis
Definition:
 Ein (gerichteter) Weg der Länge ist ein
Graph mit
und wobei verlangt wird.
Wir nennen auch einen ‐Weg.  Der Graph mit heißt (gerichteter) Kreis der Länge .
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, 46
Beispiel zu Weg und Kreis
Weg der Länge 7
Kreis der Länge 7
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Existenz

minimaler Knotengrad von H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
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Kürzeste Wege
 Def.: Sei ein gerichteter und gewichteter Graph G=(V,E) mit der Gewichtsfkt. w: E→R gegeben. Das Gewicht (Länge) eines Weges p = <v0, v1, …, vk> ist die Summe der Gewichte seiner Kanten:
k
w( p )   w(vi 1 , vi )
i 1
• Def.: Sei G=(V,E) wie oben. Das Gewicht eines kürzesten Weges p zwischen u,v  V ist definiert als:
 (u, v) 

p
min{ w ( p ):u 
v
: sonst

• Def.: Sei G=(V,E) wie in Def. 1.2. Ein kürzester Weg zwischen u,v  V ist ein Weg p mit w(p) = (u,v).
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All Pairs Shortest Path (APSP)
 Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E)
 Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,vV die Distanz
von u nach v sowie einen kürzesten Weg
a
b
c
d
e
a
0
1
5
5
10 9
b

0
4
5
10 9
c

-3
0
1
6
5
d

-4
0
0
5
4
e

5
8
9
0
-1
f





0
4
b
f
c
2
7
-4 1 6 8
a
f
-1
5
d 5
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e
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Algorithmen für KW bzw. APSP
 Welche kennen Sie?
 Dijkstra (SSSP)
 Bellman‐Ford (SSSP)
 RIP (APSP‐Protokoll)
 Außerdem:
 Floyd‐Warshall (APSP)
 Matrix‐Multiplikation (APSP)
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Zusammenhang
Fragestellungen
 Was bedeutet Zusammenhang?
 Was sind Zusammenhangskomponenten?
 Warum kann es wichtig sein, sie zu kennen?
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Zusammenhang
Definition (Zusammenhang):
 Ein Multigraph
heißt stark zusammenhängend, falls er für jedes Paar sowohl einen ‐Weg als auch einen enthält. 
‐Weg heißt (schwach) zusammenhängend, wenn der symmetrische Multigraph (Kanten doppelt gerichtet) zu stark zusammenhängend ist.
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Beispiel Zusammenhang
Stark zusammenhängend
Schwach zusammenhängend
Unzusammenhängend
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Mehrfacher Zusammenhang
 Ein ungerichteter Multigraph G heißt k‐fach (knoten)zusammenhängend, falls jeder durch Entfernen von höchstens k‐1 beliebigen Knoten (und aller inzidenten Kanten) entstehende Teilgraph von G zusammenhängend ist.
 G heißt k‐fach kantenzusammenhängend, falls jeder durch Entfernen von höchstens k‐1 beliebigen Kanten entstehende Teilgraph von G zusammenhängend ist.
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Komponenten
Definition (Komponenten):
Zu einem schlichten Multigraphen G heißt ein maximaler




stark
schwach
k‐fach
k‐fach kantenzushgd.
zusammenhängender Teilgraph




starke
schwache
k‐fache
k‐fach kantenzushängende
Zusammenhangskomponente.
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Beispiel Starke ZHK
Quelle:
http://www.cs.berkeley.edu/~vazirani/s99cs170/notes/lec12.pdf
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Fragestellungen
 Wie findet man (effizient) Zusammenhangskomponenten?
 Wie kann man Zusammenhangskomponenten
(alternativ) beschreiben?
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Tiefensuche
 Ist die Reihenfolge, in der die Knoten markiert werden, so heißt DFS( ) die DFS‐Nummer
von  Die DFS‐Nummer DFS(
) = DFS( ) einer Kante sei die DFS‐Nummer des Knotens, von dem aus sie durchlaufen wird.
 Wir definieren eine Tiefensuch(halb)ordnung auf durch:
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Tiefensuche
Kantenklassifikation
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Beispiel: Tiefensuche
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Anwendung der Tiefensuche
Starke ZHK bestimmen
 Praxisübung
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ZHK in dynamischen Graphen
 Ungerichteter schlichter dynamischer Graph
 Dynamisch: Kanten werden eingefügt und gelöscht
 Annahme: Skaleninvariantes Netzwerk
 Aufgabe: Berechnung und kostengünstige Aktualisierung der ZHK
 ZHK ist globale Eigenschaft
 Einfacher Fall: Einfügen von Kanten
 Schwieriger: Löschen von Kanten
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Annahme: Skaleninvarianter Graph
 Soziale Netzwerke (und weitere) sind oft skaleninvariant
 Stark unterschiedliche Gradverteilung (power law)
 Kleine maximale Distanz zwischen beliebigem Knotenpaar (Durchmesser)
 Was bedeutet das für die Berechnung der ZHK?
 Die meisten Änderungen innerhalb einer Komponente
 Einfügungen verschmelzen meist kleine mit einer (der) großen Komponente
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Problemfall: Löschungen
 Komponenten werden nur selten getrennt
 Erkenntnis: Der Tiefensuch‐Baum erleichtert einem die Arbeit!
 Vorschläge?
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