die letzte Zahl ist, kommen 132 heraus, die Halfte

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die letzte Zahl ist, kommen 132 heraus, die Halfte davon ist 66.
Mit dieser Methode kannst Du alle Aufgaben dieser Art loscn.
Es stellt jemand folgende Aufgabe: Ich habe Zahlen addiert
bis zu einer gewissen Zahl, und als Summe kam 465 heraus.
Wie gross ist die letzte Zahl? Verdoppele immer die Summenzahl, nimm von dem Verdoppelten die vorhergehende Wurzel
und priife sie: bleibt namlich zwischen dem Quadrat und dem
Verdoppelten ebensoviel wie die Wurzel, weder mehr noch
weniger, so weisst Du, dass die Zahl richtig ist, und die Zahl
selbst ist die Wurzel. Wir verdoppeln also 465, so kommt
930 heraus. Es ist bekannt, dass das vorhergehende Quadrat
900 ist, dessen Wurzel 30, und dies ist die letzte der addierten
Zahlen. Zwischen dem Quadrat und dem Verdoppelten ist
(die Differenz) ja gerade 30, und das ist die letzte Zahl.
Andere Aufgabe. Wir haben alle Quadratzahlen bis zu einer
gewissen Zahl einschliesslich addiert. Wie gross ist die Summe?
Du musst die Zahl kennen, die er genannt hat; soviel wie
die Summe der vorhergehenden Zahlen und der Zahl selbst
betragt, dieser bekannten Zahl geben wir einen Namen und
nennen sie ‫״‬Summe. Nun nehmen wir / ‫ נ‬der Zahl, die er
nanote, dazu /3 und multiplizieren diese Summe mit der
Zahlen-‫״‬Surame , so ist das Produkt das Gesuchte, namlich
die Summe der Quadratzahlen bis zu der genannten Zahl einschliesslich. Beispiel. Wir wollen wissen, wieviel die
Quadratzahlen bis 7 einschliesslich betragen. Wir wissen bereits,
dass die Summe 28 ist. Nun miissen wir wissen, wieviel
/, von 7 ist, vermehrt um 7«‫ י‬dies ist 5, denn die / vermehrt um / ‫ נ‬multiplizieren wir rait der ‫״‬Summe . Wir
multiplizieren also 5 mit der Sumrae , so kommen 140
heraus, und dies ist das Gesuchte. Anderes Beispiel. Wie
gross ist die Summe der Quadratzahlen bis 12 einschliesslich?
Bekannt ist, dass die ,,Summe" dazu 78 ist. Die / , d. i. 8,
multiplizieren wir mit 78, kommen 624 heraus. Dazu addieren
wir /3 der ,,Summe", d. i. 26, kommt 650 heraus; dies ist
das Gesuchte. Eine andere Aufgabe: Zu wissen, wie gross
die Summe der Verdoppelungen (einer Zahl) ist. Es ist namlich
67
,
a
1
u
68
2
2
3
1
u
a
n
2
3
1
69