1. Aufgabe: Es seien A, B und C Aussagen. Zeigen Sie, dass die

1. Aufgabe: Es seien A, B und C Aussagen. Zeigen Sie, dass die folgenden Rechenregeln richtig sind:
(a) (A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) und (A ∨ B) ∧ C = (A ∧ C) ∨ (B ∧ C).
(b) A ∨ (A ∧ B) = A und A ∧ (A ∨ B) = A.
(c) ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B und ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B.
2. Aufgabe: Es seien A, B und C Aussagen. Überprüfen Sie folgende Gleichheit:
(A ∧ B) ∨ (B ∧ C ∧ (B ∨ C)) = B ∧ (A ∨ C).
3. Aufgabe: Es seien A und B Aussagen. Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck:
¬(A ∨ ¬B ∨ (¬A ∧ B) ∨ ((A ∨ ¬B) ∧ ¬A ∧ B)).
4. Aufgabe: In einem Kriminalfall sind drei Verdächtige festgenommen worden.
Sherlock Holmes führt die Untersuchung durch und sagt zu Dr. Watson:
“Mein lieber Watson, meine intensiven Nachforschungen gestatten mir, folgende
Schlüsse zu ziehen: Wenn sich Brown oder Cooper als Täter herausstellen sollten,
dann ist Adams unschuldig. Ist aber Adams oder Cooper unschuldig, dann muss
Brown ein Täter sein. Ist Cooper schuldig, dann wäre Adams Mittäter.”
Wie lautet die Lösung des Falls?
5. Aufgabe: Es seien A und B Aussagen. Wir setzen A | B = ¬(A ∧ B). Versuchen
Sie ¬A, A ∧ B und A ∨ B nur mit der Verknüpfung | zu schreiben.
6. Aufgabe: Eine Klausel ist ein logischer Ausdruck, der nur aus Oder-Verknüpfungen
von Variablen oder deren Verneinungen besteht. Zum Beispiel sind A, ¬A, A ∨ B,
A ∨ ¬B ∨ ¬C Klauseln, aber A ∧ B oder ¬(A ∨ B) oder A ∨ ¬A sind keine. Wir
betrachten einen logischen Ausdruck, der eine Und-Verknüpfung von Klauseln ist,
zum Beispiel
(A ∨ ¬B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ C) ∧ (A ∨ B).
(a) Welchen Wahrheitswert muss jede Klausel haben, wenn der gesamte Ausdruck
wahr ist?
(b) Wie ändert sich der Wahrheitswert einer Klausel, wenn der Wahrheitswert jeder
Variable umgedreht wird?
(c) Finden Sie ein Beispiel für einen solchen logischen Ausdruck, der unabhängig
vom Wahrheitswert der Variablen immer den Wahrheitswert FALSCH hat.
7. Aufgabe: Bestimmen Sie die Elemente der folgenden Mengen:
A = {x ∈ Z : x3 = 4x},
B = {x ∈ Z : |x| ≤ 2}.
Untersuchen Sie, ob eine Menge Teilmenge der anderen ist?
8. Aufgabe: Wir betrachen die Mengen A = {1, 2, 3, 4} und B = {0, 2, 4}. Bestimmen Sie A ∪ B, A \ B, B \ A und A ∩ B. Untersuchen Sie die entstehenden Mengen
bezüglich ⊆.
1
9. Aufgabe: Die Potenzmenge einer Menge enthält alle Teilmengen dieser Menge.
Bestimmen Sie die Potenzmenge von ∅, {1}, {1, 2} und {1, 2, 3}. Wie groß sind diese
Mengen? Wie groß ist eine Potenzmenge allgemein?
10. Aufgabe: Es seien A, B und C Mengen in einer Grundmenge Ω. Zeigen Sie,
dass die folgenden Rechenregeln richtig sind:
(a) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) und (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
(b) A ∪ (A ∩ B) = A und A ∩ (A ∪ B) = A.
(c) A ∩ B = A ∪ B und A ∪ B = A ∩ B.
Zeichnen Sie die zugehörigen Venn-Diagramme.
11. Aufgabe: Es seien A, B und C Mengen. Überprüfen Sie die folgende Gleichheit:
(A ∩ B) ∪ (B ∩ C ∩ (B ∪ C)) = B ∩ (A ∪ C).
12. Aufgabe: Es seien A und B Mengen in einer Grundmenge Ω. Vereinfachen Sie
den folgenden Ausdruck:
A ∪ B ∪ (A ∩ B) ∪ ((A ∪ B) ∩ A ∩ B).
13. Aufgabe: Es seien A und B Mengen. Zeigen Sie, dass die folgenden drei Aussagen
äquivalent sind:
• A ⊆ B.
• A ∪ B = B.
• A ∩ B = A.
14. Aufgabe: Bestimmen Sie die rationalen Zahlen mit der periodischen Dezimaldarstellung 0,17 und 2,783.
15. Aufgabe: Bestimmen Sie [1, 3]∩[2, 4], [1, 3]∩[3, 5], (1, 3)∩(2, 4) und (1, 3)∩[2, 4].
Welche Gestalt kann der Schnitt von zwei Intervallen allgemein haben?
16. Aufgabe: Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung |x − |x − 8|| = 4.
17. Aufgabe: Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x mit x2 + 5x + 6 ≤ 0.
P
Q
18. Aufgabe: Schreiben Sie folgende Ausdrücke mithilfe von
und
auf zwei
Arten:
2 + 5 + 8 + · · · + 17
und
3 · 5 · 7 · · · · · 13.
Einmal soll der Laufindex bei 0 und beim zweiten Mal bei 1 starten.
2
19. Aufgabe: Schreiben Sie
3 X
3
X
mn
m=1 n=1
ohne
P
und berechnen Sie den Zahlenwert.
20. Aufgabe: Verschieben Sie den Laufindex um 1 (in beide Richtungen) bei
folgenden Summen und Produkten:
8
X
5
X
(2k + 3),
k=4
k=1
21. Aufgabe: Berechnen Sie
1
3
7
Y
1
,
k+1
+ 92 + · · · +
(k 2 + k + 2).
k=0
299
.
3100
22. Aufgabe: Berechnen Sie den Binomialkoeffizienten nk für n = 0, . . . , 10 und
k = 0, . . . , n mithilfe der Regel von Pascal. Bestimmen Sie für jeden Eintrag den
Rest bei Division durch 2. Was fällt dabei auf?
P
P
23. Aufgabe: Bestimmen Sie einen geschlossenen Ausdruck für nk=1 k 2 und nk=1 k 3
(n ∈ N).
P
24. Aufgabe: Berechnen Sie nk=1 (2k − 1) (n ∈ N).
25. Aufgabe: Bestimmen Sie (n ∈ N)
j
n X
i X
X
1.
i=1 j=1 k=1
26. Aufgabe: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass
n
X
k=1
1
1
=1−
k(k + 1)
1+n
für alle n ∈ N gilt.
27. Aufgabe: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass
n Y
2
1
2
1−
= · 1+
k(k
+
1)
3
n
k=2
für alle n ∈ N gilt.
28. Aufgabe: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass folgendes für alle
n ∈ N gilt:
n −1
2X
n
1
≤
≤n
2
k
k=1
3
29. Aufgabe: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass n3 + 5n durch 6 teilbar
ist (n ∈ N).
30. Aufgabe: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Potenzmenge von
{1, . . . , n} genau 2n Elemente hat (n ∈ N).
31. Aufgabe: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: Wenn die Ebene (also
R2 ) durch endlich viele Geraden in Gebiete aufgeteilt wird, dann genügen stets
zwei Farben, um die Gebiete so einzufärben, dass je zwei benachbarte Gebiete
unterschiedlich eingefärbt werden. Dabei sind zwei Gebiete benachbart, wenn diese
mehr als einen Punkt gemeinsam haben.
32. Aufgabe: Es seien a, b positive reelle Zahlen und es sei n ∈ N. Vereinfachen Sie
folgende Ausdrücke:
a2 (a4 b2 )5
a2 (a)
5
Y
3
n
Y
a2 (a + b)3
,
a b ,
a
, log 3
b (a − b)2
k=1
k=1
X
n
exp(a log(b)), exp
log(k) ,
,
6−k k
2k−1
log
Y
n
a
,
k2
k=1
k=1
33. Aufgabe: Näherungsweise ist die Erde eine Kugel mit Radius 6371 km und
näherungsweise fallen Sonnenstrahlen parallel auf die Erde. Eratosthenes ließ in
Alexandria und in Syene (das heutige Assuan), welches ziemlich genau südlich von
Alexandria liegt, den Einfallswinkel der Sonnenstrahlen zu Mittag am selben Tag
messen. Der Unterschied betrug ein Fünfzigsteln des vollen Kreises. Wie weit müssen
die Städte daher von einander entfernt sein?
34. Aufgabe: Zwei Personen wandern entlang einer geraden Straße und sehen auf
der rechten Seite in Marschrichtung ein Schloss. Der Winkel zwischen Straße und
der geraden Verbindung zwischen der ersten Person und dem Schloss beträgt 20◦ .
Die zweite Person ist 100 m hinter der ersten und der entsprechende Winkel ist 10◦ .
Wie groß ist der Abstand zwischen Straße und Schloss?
35. Aufgabe: Rechnen Sie den Kosinussatz nach:
b
2
h
c
2
2
c = a + b − 2ab cos γ.
γ
p
a
Hinweis: Es gilt c2 = p2 + h2 , b2 = q 2 + h2 , a = p + q und q = b cos γ.
4
q
36. Aufgabe: Wir möchten die Entfernung von einem Punkt X zu einem Punkt
A bestimmen. Dazu wird die Entfernung von A zu einem nahegelegenen Punkt B
gemessen. Diese ist 200 m. Anschließend wird der Winkel zwischen den Strecken XA
und XB gemessen: 10◦ .
(a) Durch diese Angaben ist die Entfernung zwischen X und A nicht festgelegt.
Finden Sie zwei verschiedene mögliche Entfernungen und berechnen Sie jeweils
auch die Entfernung zwischen X und B aus.
(b) Neben A und B wird zusätzlich ein weiterer nahegelegener Punkt C verwendet.
Die Länge der Strecke AC ist 150 m und von BC ist 300 m. Von X aus sind C,
A, B in dieser Reihenfolge zu sehen. Der Winkel zwischen XA, XC ist 8◦ . Wie
weit ist X von A entfernt? Hinweis: Ein Möglichkeit besteht darin, Kosinussatz,
Sinussatz und Additionstheorem zu verwenden.
B
0
20
m
10◦
300 m
8◦
A
150
m
X
C
39. Aufgabe: Es seien
 
2

~a = 3
4
und
 
5
~b = 6 .
7
Bestimmen Sie −~a, 2~a, −5~a, ~a + ~b, 5~a − 2~b, ~a · ~b und ~a × ~b.
5
b
38. Aufgabe:
Zwischen zwei Hauswänden stehen zwei sich kreuzende
Leitern. Wie groß ist der Abstand x der Wände, wenn
die Leiterlängen a und b und die Höhe c der Kreuzung
über dem Erdboden gegeben sind?
b
c
37. Aufgabe:
Eine Kiste in Form eines Würfels der Kantenlänge
b = 1 m steht vor einer Wand. Eine c = 5 m lange
Leiter lehnt an der Wand und berührt dabei die Kiste
an einer Kante. Wie hoch reicht die Leiter?
a
c
40. Aufgabe: Von einem gleichseitigen Dreieick mit den Punkten A, B und C sind
die Koordinaten von A und B bekannt:
1
0
A=
und
B=
.
0
1
Bestimmen Sie die Koordinaten von C.
41. Aufgabe: Von einem regelmäßigen Tetraeder mit den Punkten A, B, C und D
sind die Koordinaten von A, B und C bekannt:
 
 
 
1
0
0
A = 0
und
B = 1
und
C = 0 .
0
0
1
Bestimmen Sie die Koordinaten von D.
42. Aufgabe: Wie groß ist die Oberfläche des Parallelepiped mit den Seitenvektoren
 
 
 
1
3
2
~





~a = 2
und
b= 1
und
~c = 3?
3
2
1
43. Aufgabe: Eine Ebene E im R3 ist durch
 


 x
E = y  : x, y, z ∈ R, x + y + z = 1


z
gegeben. Bestimmen Sie jenen Punkt Q ∈ E, welcher dem Punkt P mit den Koordinaten
 
2
P = 3
4
am nächsten liegt.
44. Aufgabe: Bestimmen oder vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
(a) ggT(407957550, 5965042875)
(d)
3
X
k=1
k
k+1
(e)
αβ
(g) log
γδ
3
Y
k
k+1
k=1
αγ
− log
βδ
(b)
(f)
6
23 45 67
+
+
32 54 76
(c)
1
1+
1
2+
3+
1
1
4+ 1
5
a+2
a−2
+
2
(a + 1) (a − 1) (a − 1)2 (a + 1)
22
(h) 22
(i) ((22 )2 )2
x4 +1
.
x2 +1
45. Aufgabe: Bestimmen Sie den Quotienten und den Rest von
46. Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen:
4
3
(a) (2x + 3) + (4x + 2) + (3x + 4)
(d)
sin(2x + 3)
2x + 3
(e) xx
(h) (sin x)2 + (cos x)2
x
(i)
(f) (xx )x
x
log(x)
(k) x log(x) log(log(x))
(n) log(cos(x))
x2 − 2
(b) 2
x +2
2
(l)
(o) cos(log(x))
sin(x)
cos(x)
(c) x cos(x)
(g) log(x + 1)
(j) log(log(log(x)))
2
(m) e(log x)
√
(p) x2 + 1
√
x+1
(q) √
x−1
47. Aufgabe: Wir betrachten das Polynom g mit g(x) = 2 + 3x + 5x2 + 7x3 + 11x4 .
Bestimmen Sie g (n) (x) für n = 0, 1, . . . , 5. Wie hängen die Zahlen g (n) (0) mit den
Koeffizienten von g zusammen?
2
48. Aufgabe: Wir betrachten die Funktion g mit g(x) = ex . Bestimmen Sie
2
e−x g (n) (x) für n = 0, . . . , 4. Was fällt dabei auf?
49. Aufgabe: Wir betrachten die Funktion g mit g(x) = (x − 1)3 . Bestimmen Sie
g (n) (x) für n = 0, . . . , 4. Welche Nullstellen hat g (n) (x) für n = 0, . . . , 4?
50. Aufgabe: Diskutieren Sie folgende Funktionen (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Monotonie, Konvexität):
(a)
x2 − 1
x2 − 3x + 2
(b) |x3 |
(c) x3 − 6x2 + 11x − 6
51. Aufgabe: Bestimmen Sie die Seitenlängen jenes Rechtecks mit Fläche 1 cm und
minimalem Umfang.
52. Aufgabe: Bestimmen Sie den Zylinder mit der größten Oberfläche, der aufrecht stehend auf der Basisfläche eines Kegels mit Höhe 6 cm und Radius 4 cm die
Seitenfläche des Kegels berührt.
53. Aufgabe: Ein Haus mitten in einem Feld soll mit Strom versorgt werden.
Das Haus liegt 10 km von einer Straße mit geradem Verlauf entfernt. Der Punkt
entlang der Straße, welcher dem Haus am nächsten liegt, ist 20 km von der nächsten
Stromquelle entfernt. Die Verlegung von 1 km Stromkabel entlang der Straße kostet
200 e und im Feld 500 e. Wie soll das Stromkabel geführt werden, so dass die Kosten
möglichst gering sind?
7
54. Aufgabe: Eliminieren Sie die Wurzeln im Nenner:
1
√
(a) √
x+1− x−1
(b)
1
√
1+ x
55. Aufgabe: Rechnen Sie folgende Identität nach:
x
1
1
=
+
.
(x + 1)(x − 1)
2(x + 1) 2(x − 1)
Bestimmen Sie eine entsprechende Zerlegung von
1
.
x(x − 1)(x + 1)
56. Aufgabe: Einen Kreis mit Mittelpunkt in (00) und Radius 1 ist bekanntlich die
folgende Menge
{(xy) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}.
Zeigen Sie, dass auch die folgenden Mengen diesen Kreis darstellen:
1
cos α
1 − t2
−1
: α ∈ [0, 2π)
und
: t∈R ∪
.
2
sin α
0
2t
1+t
Eine Hyperbel in 1. Hauptlage mit Brennweite
bekanntlich die folgende Menge
√
2 und Scheitelpunkten (±1
0 ) ist
{(xy) ∈ R2 : x2 − y 2 = 1}.
Zeigen Sie, dass auch die folgende Menge diese Hyperbel darstellt:
2
1 t +1
: t 6= 0
2t t2 − 1
(xy)
t
(−1
0 )
t
8
(xy)
57. Aufgabe: Berechnen Sie die folgenden unbestimmen Integrale:
Z
Z
Z
Z
√
√
x3 − 1
2
3
3
dx
(c)
(sin
x)
dx
(d)
x
(a)
x + x dx
(b)
x + 1 dx
x3 − 4x
Z √
Z
Z
Z
1
x
√
√
dx
(f)
e dx
(e)
(g)
tan x dx
(h) (tan x)2 dx
x+1− x−1
Z
Z
Z
Z
1
x
1
2
√
√
√
dx
(j)
dx
(l)
xex dx
(i)
dx
(k)
2
2
2
1−x
x −1
x +1
Z
Z
Z
Z
3x
√
√
e
1
(m)
x cos x dx
(n)
dx
(o)
x log x dx
(p)
dx
2x
e −1
sin x
58. Aufgabe: Bestimmen Sie die Integrale
Z 1 Z 1
xy dx dy
und
0
Z
1
x dx.
0
0
59. Aufgabe: Bestimmen Sie folgenden Flächeninhalt:
√
√
0
x+1
x
2
60. Aufgabe: Es sei t ∈ R und die Funktion sgn : R → R sei wie folgt gegeben:


+1 wenn x > 0 ist,
sgn(x) = 0
wenn x = 0 ist und


−1 wenn x < 0 ist,
Rt
Bestimmen Sie 0 sgn(x) dx.
61. Aufgabe: Bestimmen Sie das Integral
Z 4
|x − |x − 1|| dx.
−4
R n x
62. Aufgabe: Bestimmen
Sie
x e dx für n = 0, . . . , 4. Was fällt dabei auf?
R
Können Sie auch xn ex dx für beliebiges n ∈ N berechnen?
P
63. Aufgabe: Finden Sie eine untere und obere Abschätzung von nk=1 k1 mithilfe
von Integralen der Funktion f mit f (x) = x1 .
9
64. Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystem
A~x = ~b. Verwenden Sie zunächst das Gauß-Verfahren, um eine Zeilenstufenform zu
bestimmen, und anschließend das Gauß-Jordan-Verfahren, sofern notwendig.
(a) A = 0 0 , ~b = 0
(b) A = 1 0 , ~b = 1
(c) A = 0 0 , ~b = 2


 
2 −2 4
0
−2 −4
4
~
~



(d) A =
, b=
(e) A = −4 −3 7 , b = −2
2
2
1
−3 1 0
−1


 
1
0 1 −1 3
0
3
1 0 −1 −1 2

−1
0
 , ~b =  
(f) A = 
2 0 1
0
3 −1 −2
0 0 1
2 −2 −1
−1
65. Aufgabe: Bestimmen Sie die folgenden Matrizenprodukte:

 



1 0 0
1 2
1 2
1
0
(a) 0 1 0 · 3 4
(b) 3 4 ·
0 1
0 0 1
5 6
5 6
1 2
1 3
1 3
1 2
(c)
·
(d)
·
3 4
2 4
2 4
3 4
1 0
0 0
(e)
·
0 0
0 1
66. Aufgabe: Es seien
1 2 1
A=
,
4 5 2


0
0
B = −2 1  ,
5 −2


1
1
C = −4 −1 .
8
1
Bestimmen Sie AB und AC. Was schließen Sie aus diesen Ergebnissen?
Die n-te Matrixpotenz An einer Matrix A ist (n ∈ N)
An = A
| · A{z· · · A} .
n mal
Zum Beispiel gilt also A1 = A, A2 = A · A, A3 = A · A · A, . . .
67. Aufgabe: Es seien
1 1
A=
0 1
und
1 1
B=
1 0
Bestimmen Sie An und B n für n = 1, 2, 3, 4. Erkennen Sie ein Muster?
10