3.2.1.4 Elektrischer Kraftfluss, Gaußscher Satz

3.2.1.4 Elektrischer Kraftfluss, Gaußscher Satz
Dichte der Feldlinien ~ Feldstärke
Feldlinien beginnen/enden an positiven/negativen Ladungen
Bereich mit pos. Ladung
Feldlinien kommen heraus
Bereich mit neg. Ladung
Feldlinien treten ein
Maß für „Anzahl der Feldlinien, die durch Fläche ∆a laufen“
Elektrischer (Kraft-) Fluss Φ (Skalar!)
r
Fläche Vektor ∆a (Richtung: ⊥ Fläche, („Normalenvektor“);
geschlossene Fläche
r
θ = 0°: ∆Φ = E ∆a
nach außen!)
Elektrischer Fluss durch geschlossene Fläche
Gesamter Fluss
einer Punktladung Q:
r
r
r r
Q er ⋅ d a
Φ = ∫dΦ = ∫ E ⋅da =
4πε0 ∫ r 2
(
vereinfacht
r
θ ≠ 0°: ∆Φ = E ⋅ ∆a ⋅ cos θ
Elektrischer (Kraft-) Fluss
durch Fläche
r r ∆a:
∆Φ = E ⋅ ∆a
gekrümmte Fläche u./o.
inhomogenes Feld:
r
r
dΦ = E ⋅da r
r
Φ = ∫dΦ = ∫ E ⋅da
S
S
(„Oberflächenintegral“)
Kugeloberfläche:
Integration über Kugeloberfläche
r r
Q 1
Q
Φ = ∫ d Φ = ∫ E ⋅ d a = E (r ) ⋅ (4πr 2 ) =
⋅ (4πr 2 ) =
2
4πε0 r
ε0
allgemein
θ = 90°: ∆Φ = 0
⇒ geschlossene Fläche! )
beliebige Oberfläche:
r r
Φ = ∫dΦ = ∫ E ⋅da
Φ=
r
r
Q er ⋅ d a
4πε0 ∫ r 2
r
r
er ⋅ d a
dΩ =
ist das Raumwinkelelement;
r2
der volle Raumwinkel ist 4π:
∫ d Ω = 4π
Fluss durch beliebige geschl. Fläche
♦ Fluss ~ eingeschlossene Ladung Q
♦ unabhängig vom Radius!
♦ unabhängig von Form der Fläche!
Φ=
Q
Q
⋅ 4π =
4πε0
ε0
Gaußscher Satz
Mehrere (Punkt-) Ladungen
1
r rinnerhalb
r
reiner Fläche
Superpositionsprinzip: E = E1 + E2 + E3 + K
r r
Ges. Fluss:
Φ = ∫ E ⋅da
5
r r
r
r
4
Φ = ∫ (E1 + E2 + E3 + K)⋅ d a
Q1 Q2 Q3
+
+ +K
ε0 ε0 ε0
Ladungsverteilung mit Ladungsdichte ρ : d q = ρ( x, y, z ) ⋅ d V
r r 1
Φ = ∫ E ⋅ d a = ∫ ρ dV
ε0 Vol .
=
Gaußscher Satz:
r
r
∫ E ⋅da =
Qges
ε0
Gaußsche Satz „enthält“ das Coulomb-Gesetz
(allgemeiner, da sphärische Symmetrie wird nicht
vorausgesetzt!)
Wenn Ladungsverteilung Symmetrie des Feldes ergibt …
E-Berechnung mit Gaußschem Satz sehr einfach!
Beispiele:
1. „∞-lange Linienladung“ (langer dünner Draht),
Ladung pro Länge λ = Q l
2. „∞-ausgedehnten Flächenladung“ (homogen geladene Fläche),
Ladung pro Fläche σ = Q A
idealer Plattenkondensator
3. 2 Flächenladungen ± σ (Abstand d)
4. homogen geladene Kugel (Ladungsdichte ρ )
5. homogen geladene Platte (Ladungsdichte ρ )
(in y- u. z-Richtung ∞-ausgedehnt, Dicke d )
6. Zylinderkondensator/Koax-Kabel (Innen-/Außenradius ri / ra )
7. Kugelkondensator (Innen-/Außenradius ri / ra )
2
3