Das Feld am Punkt im äußeren elektromagnetischen

Das Feld am Punkt im äußeren elektromagnetischen Feld
Diplomarbeit
Karsten Suhre
Fachbereich Physik
Universität Osnabrück
14. Juni 1991
Betreuer: Prof. J. E. Roberts
INHALTSVERZEICHNIS
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Das wechselwirkende Feld bei Ruijsenaars
3
2.1
Der Einteilchenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Der Zeitentwicklungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Der Fockraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.4
Das wechselwirkende Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3 Definition des Feldes am Punkt
6
3.1
Verallgemeinerung der Feldoperatoren auf Sesquilinearformen . . . . . . . . .
7
3.2
Verallgemeinerung des Zeitentwicklungsoperators . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.3
Beziehungen zu Größen von Ruijsenaars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.4
Definition des Feldes am Punkt als Sesquilinearform . . . . . . . . . . . . . .
20
4 Eigenschaften des Feldes am Punkt
20
5 Gleichheit der von-Neumann-Algebren
24
5.1
Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.2
Satz über die Gleichheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
6 Twisted Dualität
27
6.1
Konstruktion der Phasenräume: vierdimensional . . . . . . . . . . . . . . . .
28
6.2
Konstruktion der Phasenräume: Anfangsdaten . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
6.3
Isomorphie der Phasenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
6.4
Der Satz von Foit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6.5
Anschluß an Foit’s Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
6.6
Satz über die Twisted Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
A Abschätzungen
43
B Operatoren, die C ∞ (H0 ) invariant lassen
44
C P als Projektor
48
Literatur
50
1
EINLEITUNG
2
Zusammenfassung
Das Fermifeld in einem äußeren elektromagnetischen Feld wird als Sesquilinearform
am Punkt definiert, ohne dabei Testfunktionen zu Hilfe zu nehmen. Es wird gezeigt,
daß es die Diracgleichung erfüllt und in einem geeigneten Sinne lokal ist. Ferner werden mit Hilfe des Feldes am Punkt von-Neumann-Algebren definiert, die mit denen
des ausgeschmierten Feldes übereinstimmen. Dies ist nicht evident, da man hier keine
Translationsinvarianz hat. Dabei wird auch die Twisted-Dualität bewiesen.
1
Einleitung
In dieser Arbeit wird das Fermifeld in einem äußeren Potential V (t, ~x) behandelt, welches sowohl räumlich als auch zeitlich ein so starkes Abfallverhalten aufweist, daß man es als Störung
behandeln kann. Unter diesen Umständen läßt sich der Zeitentwicklungsoperator für das Einteilchenproblem über eine Dyson-Reihe definieren. Der zugehörige Einteilchen-Diracoperator
ist (−i∂/x + m − γ 0 V (x)). Konkret könnte man als äußeres Feld ein elektromagnetisches
Viererpotential Aµ wählen. Dann wäre γ 0 V = A
/ = Aµ γ µ zu setzen.
S.N.M. Ruijsenaars hat in [1], [2] und [3] diese Problemstellung feldtheoretisch behandelt
und ein Wightman-Feld definiert, welches die Diracgleichung und die Lokalität erfüllt (siehe
Gleichung (26) und (27)). Dieses Feld wird im Laufe dieser Arbeit oft als ausgeschmiertes
”
Feld“ bezeichnet, da es im Sinne von Wightman [4] als operatorwertige Distribution, welche
mit einer Testfunktion ausgeschmiert ist, aufgefaßt werden kann. Einige von Ruijsenaars’
Ergebnisse werden im folgenden benutzt.
Man beachte, daß es sich hier um keine vollständige Theorie der Quanten-Elektro-Dynamik
handelt, da das äußere Feld fest gegeben ist und keinerlei Rückwirkung des (Elektron)feldes
auf dieses berücksichtigt wird. Auch verliert man durch das äußere Feld die Poincarékovarianz.
Für bestimmte Anwendungen ist es wünschenswert, das Feld am Punkt selbst zu kennen,
und nicht mit ausgeschmierten Größen zu arbeiten, insbesondere, wenn man Ableitungen der
Felder betrachtet. Bekanntlich sind Felder am Punkt aber zu singuläre Größen, als daß man
sie durch beschränkte Operatoren auf einem Hilbertraum beschreiben kann. Die einzigen –
in einem Punkt lokalisierbaren – beschränkten Operatoren sind Vielfache der Identität.
In dieser Arbeit wird ein Formalismus angegeben, in dem das Feld am Punkt durch eine
Sesquilinearform, definiert auf einem dichten Teilraum des Hilbertraums des ausgeschmierte
Feldes, beschrieben wird.
Nach Ideen von Fredenhagen und Hertel [5], [6] kann man, wenn das Feld eine polynomiale
H-Schranke hat, d.h. wenn der Limes
lim k(1 + H)−k Ψ(fn )(1 + H)−k k
fn →δx
für ein k > 0
(1)
existiert, den Träger der Testfunktionen auf einen Punkt zusammenziehen und dabei Matrixelemente des Feldes in Vektoren mit einem genügend hohen Energie-Abfallverhalten betrachten (H ist der Energieoperator der Theorie). Der Grenzwert dieser Matrixelemente definiert
eine Sesquilinearform, die im folgenden als Das Feld am Punkt“ bezeichnet wird.
”
Allerdings können die Ergebnisse von Fredenhagen und Hertel hier nicht direkt verwendet
werden, da sie in ihren Überlegungen die Translationskovarianz der Theorie voraussetzen.
2
DAS WECHSELWIRKENDE FELD BEI RUIJSENAARS
3
Auch gibt es für das Feld im äußeren Feld keinen wohldefinierten Hamiltonoperator H. Es
wird jedoch gezeigt, daß es in diesem Fall trotzdem möglich ist, das Feld am Punkt als Sesquilinearform auf einer dichten Teilmenge des Vielteilchenhilbertraums zu definieren, indem
man den Hamiltonoperator des freien Feldes benutzt. Trotz fehlender Translationsinvarianz
kann der Definitionsbereich der Sesquilinearform unabhängig vom Punkt x gewählt werden.
Es wird gezeigt, daß das Feld am Punkt dieselben Informationen enthält wie das ausgeschmierte Feld: es erfüllt die Diracgleichung, es ist in einem noch zu definierenden Sinne
lokal, überintegriert mit einer Testfunktion erhält man das ausgeschmierte Feld zurück und
es erzeugt dieselben von-Neumann-Algebren.
Es ist also in diesem Fall möglich, die Theorie direkt auf der Basis von Sesquilinearformen
aufzubauen, ohne auf Wightmanfelder zurückgreifen zu müssen.
Ein Hauptteil des Beweises der Gleichheit der von-Neumann-Algebren besteht aus dem Beweis der Twisted Dualität für das Fermifeld im äußeren Feld, welche auch an sich von Interesse
ist.
2
Das wechselwirkende Feld bei Ruijsenaars
In diesem Kapitel werden Definitionen und Ergebnisse aus Arbeiten von Ruijsenaars angegeben, auf die später zurückgegriffen wird.
2.1
Der Einteilchenraum
Der Einteilchenraum H ist in der Impulsdarstellung eine direkte Summe aus zwei Hilberträumen: H = H+ ⊕ H− , H± = L2 (IR3 , d~
p)2 mit zugehörigen Projektoren P± auf den Raum
der Teilchen H+ bzw. Antiteilchen H− . In der Ortsdarstellung hat man den Hilbertraum
Ȟ = L2 (IR3 , d~x)4 , den man durch Transformation mit dem unitären Operator W : H → Ȟ
erhält, welcher definiert ist durch
1/2
m
(W g)α (~x) = (2π)
d~
p
ei~p·~x wi (~
p)α gi (~
p) α = 1, .., 4
E
p
i,
1/2
Z
i
m
−1
−3/2
W f (~
p) = (2π)
d~x
e−i~p·~x wi (~
p) · f (~x) = +, −, i = 1, 2
Ep
−3/2
XZ
(2)
(3)
Ruijsenaars versteht die Integrale als Integrale im Mittel. Im wesentlichen handelt es sich
beim Operator W um eine Fouriertransformation; zusätzlich wird hier noch den Spinorindizes
Rechnung getragen.
Ep 2
i
w+ (~
p)
:= |~
p|2 + m2
i
:= ui (~
p), w−
(~
p) := vi (~
p)
1/2 Ep + m
p3
p1 + ip2
1, 0,
,
u1 (~
p) :=
2m
Ep + m Ep + m
(4)
(5)
(6)
2
DAS WECHSELWIRKENDE FELD BEI RUIJSENAARS
4
Die wi (~
p) sind die Einheitsspinoren der freien Diracgleichung. u1 ist hier explizit angegeben,
die anderen sehen ähnlich aus und sind in [2] zu finden. Vektoren in der Ortsdarstellung
tragen Spinorindizes α = 1, .., 4, Vektoren in der Impulsdarstellung werden durch den Index
= +, − für Teilchen bzw. Antiteilchen und i = 1, 2 für Spin auf bzw. ab gekennzeichnet.
Im folgenden bezeichnet O = W −1 ǑW einen Operator im Impulsraum, wenn Ǒ ein Operator
auf Ȟ ist.
Der Hamiltonoperator in der Ortsdarstellung ist
~ + βm
ȟ0 = −i~
α·∇
(7)
In der Impulsdarstellung wirkt er multiplikativ als
(h0 f )i (~
p) = Ep fi (~
p) ∀f ∈ D(h0 )
(8)
Man beachte, daß Ruijsenaars’ Einteilchenraum nur eine mathematische Hilfsgröße zur Definition des physikalischen Vielteilchenraums ist, denn, wie man sieht, treten hier unphysikalische
negative Energien auf.
2.2
Der Zeitentwicklungsoperator
Ruijsenaars definiert in [2] einen Zeitentwicklungsoperator U (T2 , T1 ) für die Diracgleichung
mit Störung im Wechselwirkungsbild und zeigt, daß dieser unitär ist, wenn das äußere Feld in
der Ortsdarstellung durch eine hermitsche 4 × 4 Matrix V̌ mit Matrixelementen aus S IR4
16
beschrieben wird, d.h. V̌ ∈ S IR4 . In der Impulsdarstellung kann das äußere Feld als
Operator von IR in die beschränkten Operatoren auf H aufgefaßt werden (t 7→ V (t)) und es
gilt kV (·)k ∈ L1 (IR). Ruijsenaars zeigt in [2] die Wohldefiniertheit der folgenden Operatoren:
:= eih0 t V (t)e−ih0 t
Z T2
Z tn−1
(n)
n
R (T2 , T1 ) := i
dt1 ..
dtn O(t1 )..O(tn )
O(t)
U (T2 , T1 )
:= 1 +
T1
∞
X
(9)
n≥1
(10)
T1
R(n) (T2 , T1 )
(11)
n=1
Er beweist für U (T2 , T1 ) die üblichen Eigenschaften eines Zeitentwicklungsoperators für alle
Ti ∈ IR, t ∈ IR:
U (T2 , T1 ) : D(h0 ) → D(h0 )
U (T, T ) = I
U (T2 , T1 )∗ = U (T1 , T2 )
U (T3 , T2 )U (T2 , T1 ) = U (T3 , T1 )
∂t U (t, T1 ) = iO(t)U (t, T1 )
∂t U (T2 , t) = −iU (T2 , t)O(t)
D(h0 ) bezeichnet den Definitionsbereich des Einteilchenhamiltonoperators.
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
2
DAS WECHSELWIRKENDE FELD BEI RUIJSENAARS
5
Lemma 1: Man kann eine Rekursionsformel für R(n) (T2 , T1 ) angeben:
R
(n+1)
Z
T2
dtO(t)R(n) (t, T1 )
(T2 , T1 ) := i
n≥1
(18)
T1
Beweis: Anwenden der Definition von R(n) (T2 , T1 ) und Umindizieren gibt
R
(n+1)
(T2 , T1 )
n+1
Z
T2
= i
dt1 ..
dtn+1 O(t1 )..O(tn+1 )
T1
Z
T1
T2
= i
T1
Z T2
= i
tn
Z
dtO(t) in
Z
t
Z
tn−1
dt1 ..
T1
dtn O(t1 )..O(tn )
T1
dtO(t)R(n) (t, T1 )
T1
2.3
Der Fockraum
Als Darstellungsraum der Feldoperatoren benutzt Ruijsenaars [1] den antisymmetrischen
Fockraum F über dem Einteilchenraum H, F = Γ(H). Er definiert Erzeuger und Vernichter
für Teilchen und Antiteilchen.
Ein Element des Fockraums Ψ wird geschrieben als
n
o
Ψ(n,r) (~
p1 , α1 ..~
pn , αn , ~q1 , β1 ..~qr , βr )
wobei n, r ∈ IN und αi , βj ∈ {1, 2} sind. Ψ(n,r) ist jeweils antisymmetrisch unter Vertauschung
von Teilchen- bzw. Antiteilchenvariablen. Das Skalarprodukt auf F ist gegeben durch
(Ψ1 , Ψ2 ) =
∞ X Z
X
(n,r)
d~
p1 ..d~qr Ψ1
(n,r)
(~
p1 , α1 ..~qr , βr )Ψ2
(~
p1 , α1 ..~qr , βr )
(19)
n,r α1 ...βr
Der Vernichter eines Teilchens a(f ), f ∈ H+ , ist definiert als
(n,r)
(a(f )Ψ)
(~
p1 , α1 ..~qr , βr ) = (n + 1)1/2
2 Z
X
i
d~
pf (~
p)Ψ(n+1,r) (~
p, i, p~1 , α1 ..~qr , βr )
(20)
i=1
und der Erzeuger eines Antiteilchens b∗ (g), g ∈ H− als
(n,r)
(b∗ (g)Ψ)
(~
p1 , α1 ..~qr , βr ) = r−1/2
r
X
j=1
(−1)n+1+j gβj (~qj )Ψ(n,r−1) (~
p1 , α1 ..b
~qj , βbj ..~qr , βr )(21)
3
DEFINITION DES FELDES AM PUNKT
6
Der Erzeuger eines Teilchen und der Vernichter eines Antiteilchens ist analog definiert. Sie
erfüllen die kanonischen Antivertauschungsrelationen, d.h. die einzigen von Null verschiedenen Antikommutatoren sind
{a(f1 ), a∗ (f2 )} = (f1 , f2 )H+
{b(g1 ), b∗ (g2 )} = (g1 , g2 )H−
(22)
Erzeuger und Vernichter sind im Fermifall beschränkte Operatoren. Beispielsweise gilt
ka(f )kF = kf kH+ und kb∗ (g)kF = kgkH− . Außerdem definiert Ruijsenaars Feldopertoren
Φ(v), v ∈ H, mittels
Φ(v) := a(P+ v) + b∗ (P− v)
(23)
Man beachte, daß diese Operatoren antilinear in v sind und auch die CAR erfüllen:
{Φ(u), Φ∗ (v)} = (u, v)H
(24)
Φ(v) ist nach obiger Konstruktion eine Fockdarstellung der CAR auf F. Diese Felder dienen
als Hilfsfelder bei der Definition des Diracfeldes im äußeren Feld.
2.4
Das wechselwirkende Feld
Mit den Ergebnissen aus [1] und [2] konstruiert Ruijsenaars in [3] das wechselwirkende Feld
4
im äußeren Feld V . Als Testfunktionenraum benutzt er S IR4 . Im folgenden seien F, G ∈
4
S IR4
Z
Ψint (F ) := Φ
dtU ∗ (t, −∞)eih0 t W −1 F (t, ·)
(25)
Das Feld erfüllt die Diracgleichung im Sinne operatorwertiger Distributionen, d.h.
Ψint ((i∂/t + m − B t )F ) = 0,
B(x) = γ 0 V (x)
(26)
(B t bezeichnet die transponierte Matrix) und ist lokal, d.h. wenn F und G raumartig getrennte Träger haben, gilt
int
Ψ (F ), Ψint (G)∗ = 0
(27)
3
Definition des Feldes am Punkt
Formal erhält man das Feld am Punkt als Limes des ausgeschmierten Feldes, indem man mit
der Testfunktion eine Deltadistribution approximiert. Dieser Limes existiert jedoch nicht im
Raum der linearen Operatoren auf dem Hilbertraum.
Um dem Limes dennoch einen Sinn zu geben, wertet man das ausgeschmierte Feld nur in
k
Matrixelementen mit einem polynomialen Energieabfallverhalten aus: Φ, X ∈ DH
; mit der
0
Notation
\
D(H0 k ), k > 0
k
k
DH0 :=
C ∞ (H0 ) :=
DH
(28)
0
F
, k≤0
k
3
DEFINITION DES FELDES AM PUNKT
7
k ist geeignet zu wählen. Diese Idee geht auf Hertel [5] zurück, jedoch hat man im Fall des
äußeren Feldes keinen wohldefinierten Operator der Gesamtenergie H. Wie aber im weiteren
zu erkennen ist, kann man sich hier mit dem Hamiltonoperator H0 des freien Feldes behelfen,
der definiert ist durch


n
r
X
X
(n,r)
Epi +
Eqj  Ψ(n,r) (~
p1 , α1 ..~qr , βr )
(29)
[(1 + H0 ) Ψ]
(~
p1 , α1 ..~qr , βr ) = 1 +
i=1
j=1
k
Auf dem so eingeschränkten Definitionsbereich (DH
), in Matrixelementen ausgewertet, kön0
nen dann für die Erzeuger und Vernichter Testfunktionen zugelassen werden, die nicht mehr
in H liegen, sondern zu Beispiel lediglich beschränkte stetige Funktionen sind. Man erhält so
k
verallgemeinerte“ Erzeuger und Vernichter als Sesquilinearformen auf DH
, die mit den ur0
”
sprünglichen übereinstimmen, wenn man Testfunktionen mit quadratischem Abfallverhalten
in p~ einsetzt.
Die Erweiterung des Testfunktionenraums der Erzeuger und Vernichter auf stetige beschränkte Funktionen erlaubt es nun, den Limes Fn → δx durchzuführen, denn die Testfunktionen
des ausgeschmierte Feldes sind mit denen der Erzeuger und Vernichter über eine Fouriertransformation verknüpft. Die Fouriertransformierte der Deltafunktion ist bekanntlich die
konstante Funktion. Beim Grenzübergang wird der Raum der beschränkten Funktionen also
nicht verlassen (vergl. (3), (23) und (25)).
Außerdem ist es notwendig, den Zeitentwicklungsoperator so zu verallgemeinern, daß man
ihn auf beschränkte stetige Funktionen anwenden kann. Es wird gezeigt, daß er diesen Raum
in sich abbildet.
Es werden also alle notwendigen Größen so verallgemeinert, daß man den Grenzübergang
durchführen kann, ohne den Definitionsbereich zu verlassen. Dies ist das Programm für die
nächsten Kapitel.
3.1
Verallgemeinerung der Feldoperatoren auf Sesquilinearformen
Definition 1: (Testfunktionenraum für die erweiterten Erzeuger und Vernichter) C IR3 sei
der Raum der stetigen komplexwertigen Funktionen auf IR3 . Dann definiere
o
n
k
P k IR3 := f ∈ C IR3 : ∃cf ∈ IR mit |f (~
p)| ≤ cf (1 + |~
p|) ∀~
p ∈ IR3
(30)
2
4
p) eine in P k IR3 , i = 1, 2, = +, −.
f i (~
p) bezeichne eine Funktion in P k IR3 und fi (~
Auf P k IR3 definiert man mittels folgender Norm eine Topologie:
kf kk
:=
p|)−k |f (~
p)|}
sup{(1 + |~
p
~
=
inf cf : |f (~
p)| ≤ cf (1 + |~
p|)k
(31)
s
Diese Norm induziert Normen auf P k IR3 , s = 2, 4, indem man zusätzlich das Maximum
über alle Spinorindizes bildet. Für diese Normen sollen keine neuen Notationen eingeführt
werden, da jeweils klar ist, um welchen Raum es sich handelt.
3
DEFINITION DES FELDES AM PUNKT
8
Bemerkung: Offensichtlich gilt
k < l ⇒ P k IR3 ⊂ P l IR3
(32)
Achtung: die Datei lbanach.tex fehlt!
3
Beweis: P k IR ist ein normierter linearer Raum. Zu beweisen ist die Vollständigkeit. Sei
(fn ) eine Cauchyfolge in P k IR3 , dann gilt: gegeben > 0, es existiert ein n0 , so daß für
alle n, m > n0 gilt
kfn − fm kk < Punktweise gilt daher
|fn (~
p) − fm (~
p)| (1 + |~
p|)−k < | gibt es zu jedem p
| mit
Wegen der Vollständigkeit von C
~ ein g(~
p) ∈ C
fn (~
p)(1 + |~
p|)−k − g(~
p) ≤ g ist gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen und damit selbst stetig. |g(~
p)| ≤ kfn kk + .
k
−k
Setze f (~
p) := g(~
p
)(1
+
|~
p
|)
.
f
ist
stetig
und
sup
|f
(~
p
)|(1
+
|~
p
|)
=
sup
|g(~
p
)|
≤ kfn kk + . Es
gilt f ∈ P k IR3 und fn → f . Jede Cauchyfolge ist also konvergent und P k IR3 ist damit
vollständig.
4
Definition 2: (Verallgemeinerung einiger Operatoren von H auf P k IR3 )
2
4
Für k ≤ −2 ist P k IR3 ⊂ H± und P k IR3 ⊂ H. Für k > −2 können einige Operatoren,
4
4
die Ruijsenaars auf H definiert, auch auf P k IR3 definiert werden. Sei f ∈ P k IR3 ,
P̂± : P k IR3
4
ĥ0 : P k IR
3 4
P̂j : P k IR
3 4
→ P k IR3
2
i
[P̂± f ]i (~
p) := f±
(~
p)
→ P k+1 IR
3 4
[ĥ0 f ]i (~
p) := Ep fi (~
p)
→ P k+1 IR
3 4
[P̂j f ]i (~
p) := pj fi (~
p) j = 1, 2, 3
(33)
Diese Operatoren sind offensichtlich stetig.
2
k+5/2
Lemma 2: Es seien f, g ∈ P k IR3 und Φ, X ∈ DH0 , dann können die folgenden, in f
antilinearen bzw. in g linearen, Sesquilinearformen definiert werden.
∞ X Z
X
p1 , α1 ..~qr , βr )
hΦ|â(f )|X i :=
d~
p1 ..d~qr Φ(n,r) (~
n,r α1 ...βr
·(n + 1)1/2
2 Z
X
d~
pf i (~
p)X (n+1,r) (~
p, i, p~1 , α1 ..~qr , βr )
(34)
i=1
∗
hΦ|b̂ (g)|X i
:=
∞ X Z
X
n,r α1 ...βr
·Φ(n,r+1)
1/2
d~
p1 ..d~qr (r + 1)
2 Z
X
d~qg j (~q)
j=1
(~
p1 , α1 ..~q, j, ~q1 , β1 ..~qr , βr ) X (n,r) (~
p1 , α1 ..~qr , βr )
(35)
3
DEFINITION DES FELDES AM PUNKT
9
Für k > −2 gelten die folgenden Abschätzungen
|hΦ|â(f )|X i|
≤
|hΦ|b̂∗ (g)|X i|
≤
1
k √ (1 + ĥ0 )−(k+2) f kH+ kΦkF k(1 + H0 )(k+5/2) X kF
m
1
k √ (1 + ĥ0 )−(k+2) gkH− k(1 + H0 )(k+5/2) ΦkF kX kF
m
(36)
(37)
und für k ≤ −2 gilt
hΦ|â(f )|X i
∗
hΦ|b̂ (g)|X i
=
(Φ, a(f )X )
(38)
=
∗
(39)
(Φ, b (g)X )
Beweis: Vernichter â(f ): für k ≤ −2 ist nichts zu zeigen, denn hier stimmen die verallgemeinerten Erzeuger- und Vernichter mit denen bei Ruijsenaars überein und sind als Operatoren
auf F definiert (vergl. (20)), hΦ|â(f )|X i = (Φ, a(f )X ). Sei also nun k > −2. Hier genügt es,
zu zeigen, daß der – offensichtlich meßbare – Integrand eine integrierbare Majorante hat.
Zunächst nutzt man nun aus, daß für alle X̃ ∈ F gilt
h
−(k+5/2)
(1 + H0 )

= 1 + E p +
n
X
X̃
i(n+1,r)
Epi +
i=1
r
X
(~
p, i, p~1 , α1 ..~qr , βr )
−(k+5/2)
X̃ (n+1,r) (~
p, i, p~1 , α1 ..~qr , βr )
Eqj 
j=1
und schätzt (vgl. Hertel [5]) die folgende Größe ab

(n + 1)1/2 1 + Ep +
n
X
Epi +
i=1
≤
n+1
1 + (n + 1 + r)m
1/2
r
X
−(k+5/2)
Eqj 
j=1

1 + E p +
n
X
Epi +
i=1
r
X
−(k+2)
Eqj 
j=1
1
−(k+2)
≤ √ (1 + Ep )
m
wobei 0 < m ≤ Ep und k > −2 ausgenutzt wurde.
Definiert man X̃ := (1 + H0 )(k+5/2) X , so gilt mit obiger Abschätzung
1
−(k+2)
(n + 1)1/2 |X (n+1,r) | ≤ √ (1 + Ep )
|X̃ (n+1,r) |
m
3
DEFINITION DES FELDES AM PUNKT
10
Für den Integranden hat man dann die folgende Majorante, deren Integrierbarkeit noch zu
zeigen bleibt
p1 , α1 ..~qr , βr ) (n + 1)1/2 f i (~
p)X (n+1,r) (~
p, i, p~1 , α1 ..~qr , βr ) |
|Φ(n,r) (~
1
−(k+2)
≤ |Φ(n,r) (~
p1 , α1 ..~qr , βr ) | √ (1 + Ep )
|f i (~
p)||X̃ (n+1,r) (~
p, i, p~1 , α1 ..~qr , βr ) |
m
Definiere
1
−(k+2) i
hi (~
p) := √ (1 + Ep )
f (~
p)
m
Da f ∈ P k IR3
2
ist, gilt
i 1
−(k+2)
k
h (~
p) ≤ √ (1 + Ep )
cf (1 + |~
p|)
m
Für große |~
p| verhält sich die Schranke wie (1 + |~
p|)−2 und h ist daher quadratintegrabel, d.h.
⊗(n+1+r)
h ∈ H+ und h⊗Φ(n,r) ∈ L2 (IR3 , d~
p)2
. Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung
2
in diesem Raum und dann in l (IN × IN) rechtfertigt die folgenden Abschätzungen für die
Majorante:
∞ X X
2 Z
X
Z
d~
p1 ..d~qr
d~
p hi (~
p)|Φ(n,r) (~
p1 , α1 ..~qr , βr ) | · |X̃ (n+1,r) (~
p, i, p~1 , α1 ..~qr , βr ) |
n,r α1 ...βr i=1
≤
∞
X
kh ⊗ Φ(n,r) kL2 (R3 ,d~p)2 ⊗(n+1+r) kX̃ (n+1,r) kF (n+1,r)
n,r
=
∞
X
khkH+ kΦ(n,r) kF (n,r) kX̃ (n+1,r) kF (n+1,r)
n,r
≤ khkH+ kΦkF kX̃ kF
1
≤ k √ (1 + ĥ0 )−(k+2) f kH+ kΦkF k(1 + H0 )(k+5/2) X kF
m
Dabei wurden die positiven Terme kX̃ kF (0,r) addiert und die ürsprünglichen Größen einge2
setzt. Die Wirkung von ĥ0 auf Elementen aus P k IR3 ist zu verstehen als [ĥ0 f ]i (~
p) :=
Ep f i (~
p). Die Größen in der letzten Zeile sind alle endlich und der Beweis, daß â(f ) wohldefiniert ist, ist damit erbracht. Analog verfährt man mit b̂∗ (g).
4
k+5/2
Definition 3: Sei v ∈ P k IR3 und Φ, X ∈ DH0 , so definiert man für v eine Sesquilinearform durch
hΦ|Φ̂(v)|X i := hΦ|â(P̂+ v)|X i + hΦ|b̂∗ (P̂− v)|X i
(40)
3
DEFINITION DES FELDES AM PUNKT
11
Für k ≤ −2 gilt wegen Lemma 2
hΦ|Φ̂(v)|X i = (Φ, Φ(v)X )
(41)
Bemerkung: Mit der letzten Definition und Lemma 2 hat man also nun Feldoperatoren als
Sesquilinearformen definiert, die mit Ruijsenaars Operatoren in Matrixelementen übereinstimmen, wenn man Testfunktionen mit quadratischen Abfallverhalten in p~ einsetzt. Zusätzlich kann man nun aber auch lediglich beschränkte stetige Testfunktionen zulassen, wenn
5/2
man dafür den Definitionsbereich der Sesquilinearformen auf DH0 einschränkt. Dies wird bei
der Definition des Feldes am Punkt dann ausgenutzt.
2
Lemma 3: Die Normen auf den Einteilchenräumen H± und den Räumen P k IR3 lassen
sich wie folgt gegeneinander abschätzen.
k(1 + ĥ0 )−(k+2) f kH± ≤ constkf kk ,
∀f ∈ P k IR3
2
(42)
Beweis: Sei f ∈ P k IR3 , dann ist (1 + ĥ0 )−(k+2) f ∈ H± und es gilt
Z 2
k(1 + ĥ0 )−(k+2) f k2H± =
p) d~
p
(1 + Ep )−(k+2) f (~
Z
=
(1 + Ep )−2k−4 |f (~
p)|2 d~
p
Z
≤
(1 + Ep )−2k−4 (1 + |~
p|)2k kf k2k d~
p
≤ constkf k2k
Achtung: die Datei lphistet.tex fehlt!
Achtung: die Datei bphistet.tex fehlt!
3.2
Verallgemeinerung des Zeitentwicklungsoperators
4
4
Lemma 4: Für alle k ∈ ZZ definiert V̂ (t) : P k IR3 → P k IR3 einen – in t normstetigen
– beschränkten linearen Operator mittels
h
ii
XZ
4
0
ii0
~, p~0 )fi0 (~
p0 ), f ∈ P k IR3
(43)
V̂ (t)f (~
p) :=
d~
p0 V
0 (t, p
i0 ,0
(Ṽ (t, p~) ist die partielle Fouriertransformierte von V (t, ~x) ) mit dem Integralkern
0
ii
V
~, p~0 ) := (2π)−3/2
0 (t, p
m
Ep
1/2 m
Ep0
1/2
0
wi (~
p) · Ṽ (t, ~
p − 0 p~0 ) · wi0 (~
p0 )
|
{z
}
Vektor·Matrix·Vektor
(44)
3
DEFINITION DES FELDES AM PUNKT
12
Es existiert eine feste, nur vom Potential und von k abhängige Konstante ck , so daß gilt
kV̂ (t)kk ≤
ck
1 + t2
(45)
Beweis: Als erstes wird der Integralkern abgeschätzt.
1/2
1/2 0
m
m
ii
0 i
0 0
i0 0 −3/2
w (~
p) · Ṽ (t, ~
p − p~ ) · w0 (~
p )
V0 (t, p~, p~ ) = (2π)
Ep
Ep0
| 4 |(x, Ay)| ≤ ||x||·||Ay|| und ||Ay|| ≤ ||A||·||y|| anwenden)
(Cauchy-Schwarz-Ungleichung in C
1/2
m 1/2 0
−3/2 m
i
0 0 i
0 ≤ (2π)
w (~
p) · Ṽ (t, ~
p − p~ ) · w0 (~
p )
Ep
Ep0
| 4 . Es gilt
|| · || bezeichnet die euklidische Norm auf dem Hilbertraum C
m 1/2
i
w (~
p) = 1
Ep
Also kann wie folgt abgeschätzt werden:
0
ii
p − 0 p~0 )
V0 (t, p~, p~0 ) ≤ (2π)−3/2 Ṽ (t, ~
Da die Fouriertransformation S in sich abbildet, kann jede Komponente von Ṽ für sich durch
const
ein Polynom der Form (1+t2 )(1+|~
, l ∈ IN, abgeschätzt werden, und man kann eine
p−0 p
~0 |)l
Konstante c̃l finden, so daß letztendlich für den Integralkern gilt
0
ii
V0 (t, p~, p~0 ) ≤
c̃l
1
l
2
1 + t (1 + |~
p − 0 p~0 |)
4
Es sei f ∈ P k IR3 . Mit dieser Abschätzung bestimmt man dann das Abfallverhalten von
[V̂ f ]i (~
p) in p~. Wähle l = |k| + 4, dann gilt
h
XZ
ii
c̃|k|+4
1
k
V̂ (t)f (~
kf kk (1 + |~
p0 |)
p) ≤
d~
p0
2
|k|+4
0
0
1 + t (1 + |~
p − p~ |)
0 0
i ,
Mit Lemma 33 folgt ( ist dort definiert)
h
ii
4c̃|k|+4
k
V̂ (t)f (~
≤
p
)
(1 + |~
p|) kf kk
1 + t2
Da diese Ungleichung auch noch bei Supremumbildung über p~ gilt, folgt
kV̂ (t)f kk ≤
4c̃|k|+4
kf kk
1 + t2
3
DEFINITION DES FELDES AM PUNKT
13
Damit ist mit ck := 4c̃|k|+4 auch die Abschätzung für die Norm bewiesen. [V̂ (t)f ]i (~
p) ist in
p~ stetig, da es sich hier um eine Faltung einer stetigen Funktion mit einer Funktion aus S
handelt.
16
Es bleibt die Normstetigkeit in t zu zeigen. Da Ṽ (t, p~) ∈ S IR4
ist, kann man für alle
l ∈ IN eine Konstante el finden, so daß folgende Aussage gültig ist:
Sei ε > 0 gegeben, dann existiert ein δ > 0 so daß für alle |t − t0 | < δ gilt
0
ii
ii0 0
~, p~0 ) ≤ (2π)−3/2 kṼ (t, ~
p − 0 p~0 ) − Ṽ (t0 , ~
p − 0 p~0 )kC (4,4)
0 (t , p
V0 (t, p~, p~0 ) − V
<
ε
(2π)−3/2 el
(1 + |~
p − 0 p~0 |)l
Damit folgt
h
ii
XZ
e|k|+4
V̂ (t) − V̂ (t0 ) f (~
≤ ε(2π)−3/2
(1 + |~
p0 |)k kf kk
p
)
d~
p0
(1 + |~
p − 0 p~0 |)|k|+4
i0 ,0
(Lemma 33)
≤ ε(2π)−3/2 4e|k|+4 (1 + |~
p|)k kf kk
Damit ist die Normstetigkeit in t gezeigt.
Lemma 5: Die folgenden Größen definieren für alle k ∈ ZZ beschränkte lineare Operatoren
4
auf P k IR3 und sind in t normstetig:
Ô(t)
R̂
(0) ∗
(t, −∞)
∗
R̂(n+1) (t, −∞)
:= eiĥ0 t V̂ (t)e−iĥ0 t
(46)
:= I
(47)
Z
t
∗
dt0 R̂(n) (t0 , −∞)Ô(t0 ),
:= −i
n ∈ IN
(48)
−∞
Û ∗ (t, −∞)
:=
∞
X
∗
R̂(n) (t, −∞)
(49)
n=0
Man hat die folgenden Schranken für die Operatornormen, wobei die Konstanten ck und dk
nur vom äußeren Potential und von k abhängen.
kÔ(t)kk
∗
k R̂(n) (t, −∞)kk
ck
1 + t2
Z t
Z
≤ ck n
dt1 ..
≤
−∞
dk n
n!
≤ edk
≤
kÛ ∗ (t, −∞)kk
(50)
tn −1
−∞
dtn
1
1
2 ..
1 + t1 1 + tn 2
(51)
(52)
(53)
3
DEFINITION DES FELDES AM PUNKT
14
Beweis: 1. Ô(t)
4
Sei f ∈ P k IR3 , dann gilt
h
ii
XZ
0
0
ii0
Ô(t)f (~
p) =
d~
p0 ei(Ep − Ep0 )t V
~, p~0 )fi0 (~
p0 ),
0 (t, p
f ∈ P k IR3
4
(54)
i0 ,0
Die Behauptungen für Ô(t) beweist man wie die für V̂ (t) im vorhergehenden Lemma, wenn
man beachtet, daß
0
p − 0 p~0 ) ∈ S IR4
ei(Ep − Ep0 )t Ṽ (t, ~
16
da S ein Ideal für die beschränkten, glatten Funktionen ist, deren Ableitungen höchstens
polynomial anwächsen.
∗
2. R̂(n) (t, −∞)
Der Beweis wird durch Induktion nach n geführt. Der Fall n = 0 ist klar. Die Behauptung
sei also nun bis zu einem festen n bewiesen. Da der Integrand in der Rekursionsformel für
∗
R̂(n+1) (t, −∞) nach Induktionsannahme in t normstetig ist und die integrierbare Majorante
∗
k R̂(n) (t, −∞)Ô(t)kk ≤
dk n ck
n! 1 + t2
∗
besitzt, ist das Riemannintegral in t und damit R̂(n+1) (t, −∞) wohldefiniert. Für die Normabschätzung gilt unter Verwendung der Induktionsannahme
∗
k R̂(n+1) (t, −∞)kk
Z
t
∗
dt0 k R̂(n) (t0 , −∞)kk kÔ(t0 )kk
≤
−∞
Z
t
0
≤
dt ck
n
Z
Z
dtn
−∞
−∞
Z
tn −1
dt1 ..
−∞
≤ ck n+1
t0
t
tn
Z
dt1 ..
−∞
dtn+1
−∞
t
Z
≤
ck n+1
(n + 1)!
Z
≤
ck n+1
(n + 1)!
Z
−∞
∞
−∞
1
1
..
1 + t1 2 1 + tn+1 2
t
dt1 ..
dtn+1
−∞
1
dt0
1 + t0 2
1
1
ck
2 ..
2
1 + t1 1 + tn 1 + t0 2
1
1
..
1 + t1 2 1 + tn+1 2
n+1
n+1
≤
dk
(n + 1)!
wobei die Symmetrie in den ti -Integrationen ausgenutzt wurde, um überall als
InteR ∞obere
1
1
grationsgrenze t zu haben, was den Faktor (n+1)!
bewirkt; und es ist dk := ck −∞ 1+t
2 dt.
Die Stetigkeit in t folgt aus
k R̂
(n+1) ∗
(t, −∞) − R̂
(n+1) ∗
0
Z
t
(t , −∞)kk ≤
t0
∗
dt1 k R̂(n) (t1 , −∞)kk kÔ(t1 )kk
3
DEFINITION DES FELDES AM PUNKT
Z
t
≤
dt1
t0
≤
15
dk n ck
n! 1 + t1 2
ck dk n
|t − t0 |
n!
3. Û ∗ (t, −∞)
4
Û ∗ (t, −∞) ist (in t gleichmäßiger) Normlimes von beschränkten Operatoren auf P k IR3 und
∗
als Schranke für die Norm hat man die Exponentialreihe für edk . Die Familie R̂(n) (t, −∞)
ist in t gleichstetig, daher ist auch Û ∗ (t, −∞) in t normstetig, oder explizit
kÛ ∗ (t, −∞) − Û ∗ (t0 , −∞)kk
∞
X
≤
∗
n=0
∞
X
ck dk (n−1)
|t − t0 |
(n − 1)!
n=1
≤
≤ ck edk |t − t0 |
Achtung: die Datei ludiff.tex fehlt!
∗
Beweis: Die Rekursionsformel für R̂(n) (t, −∞) liefert
∂t R̂
(n+1) ∗
Z
(t, −∞)
t
∗
R̂(n) (t0 , −∞)Ô(t0 )dt0
= ∂t (−i)
−∞
= −i R̂
(n) ∗
(t, −∞)Ô(t)
Für die Normabschätzung hat man dann
∗
k∂t R̂(n) (t, −∞)kk
∂t Û ∗ (t, −∞) = ∂t
∞
X
≤
dk n−1 ck
(n − 1)! 1 + t2
≤
ck dk n−1
(n − 1)!
n=0
(Umindizieren, ∂t I = 0)
= ∂t
∞
X
n=0
∗
∗
R̂(n) (t, −∞)
R̂(n+1) (t, −∞)
∗
k R̂(n) (t, −∞) − R̂(n) (t0 , −∞)kk
3
DEFINITION DES FELDES AM PUNKT
16
(die Summe konvergiert gleichmäßig in t, die Ableitungen der einzelnen Summanden lassen
sich, wie oben angegeben, in der Norm abschätzen, sind in t normstetig und auch ihre Summe
konvergiert gleichmäßig; daher kann die Ableitung in die Summe gezogen werden)
=
∞
X
∗
∂t R̂(n+1) (t, −∞)
n=0
= −i
∞
X
∗
R̂(n) (t, −∞)Ô(t)
n=0
= −iÛ ∗ (t, −∞)Ô(t)
3.3
Beziehungen zu Größen von Ruijsenaars
∗
Lemma 6: Die in Lemma 4 und 5 definierten Operatoren V̂ (t), Ô(t), R̂(n) (t, −∞) und
4
Û ∗ (t, −∞) stimmen, wenn man P −2 IR3 als dicht in H eingebettet auffaßt, dort mit den
gleichnamigen – in Kapitel 2.2 ohne Hut definierten – Operatoren überein.
Beweis: Man rechnet explizit die Übereinstimmung von V (t) und V̂ (t) auf der dichten
4
4
Teilmenge P −2 IR3 ⊂ H nach. Sei f ∈ P −2 IR3 , dann gilt
i
[V (t)f ] (~
p) = [W −1 V̌ (t, ·)W f ]i (~
p)
=
XZ
0
−3/2
d~
p (2π)
i0 ,0
=
XZ
d~
p0 (2π)−3/2
i0 ,0
=
XZ
m
Ep
1/2 m
Ep
1/2 0
m
Ep0
1/2
m
Ep0
1/2
−3/2
(2π)
Z
0 0
0
0
0
wi (~
p) · Ṽ (t, ~
p − 0 p~0 ) · wi0 (~
p0 )fi0 (~
p0 )
0
ii
d~
p0 V
~, p~0 )fi0 (~
p0 )
0 (t, p
i0 ,0
h
ii
= V̂ (t)f (~
p)
V (t) ist ein beschränkter Operator auf H, und daher eindeutiger Abschluß von V̂ (t).
Die übrigen Operatoren sind über V (t) bzw. V̂ (t) in gleicher Weise unabhängig vom zugrundeliegenden Raum über Operatorgleichungen definiert und stimmen daher im Abschluß
miteinander überein.
Definition 4:
τi (~
p, t, ~x) := (2π)−3/2
m
Ep
1/2
0
d~xe−i(~p− p~ )·~x wi (~
p) · V̌ (t, ~x) · wi0 (~
p0 )fi0 (~
p0 )
wi (~
p)eiEp t e−i~p·~x ∈ P 0 R3
4
3
DEFINITION DES FELDES AM PUNKT
17
τ ist die W −1 -Fouriertransformierte einer Deltafunktion und trägt Spinorindizes, formal
α
gilt τ (·, t, ~x)α = W −1 δt,~
~ und ~x stetig und es gilt |τi (~
p, t, ~x)α | ≤
x . τ ist offensichtlich in p
(2π)−3/2 ∀i, , p~, t, ~x, α,
Achtung: die Datei ltaustet.tex fehlt!
Beweis: Aus der Definition von τ folgt
0
0
(2π)3/2 |τi (~
p, x0 , ~x)α − τi (~
p, y 0 , ~y )α | ≤ eiEp x e−i~p~x − eiEp y e−i~p~y 3 X
0
0
k k
−ipk xk
≤ eiEp x − eiEp y +
− e−ip y e
k=1
3 X
0
0 k
k
k ≤ 1 − eiEp (y −x ) +
1 − e−ip (y −x ) k=1
(nach dem Mittelwertsatz gilt: ∃z ∈ [0, x] mit (1 − eiax ) = −iaxeiaz )
≤
Ep |x0 − y 0 | +
3
X
!
|pk | |xk − y k |
k=1
Da sich Ep für große p~ wie |~
p| verhält, bedeutet das
kτi (~
p, x0 , ~x)α − τi (~
p, y 0 , ~y )α k1 ≤ constkx − ykR4
Lemma 7: Sei F ∈ S IR4
i
Z
[G(F )] (~
p) :=
4
und
dt d~x[Û ∗ (t, −∞)τ (·, t, ~x)]i (~
p) · F (t, ~x)
(55)
Dann gilt
1. G(F ) ∈ P k IR3
2.
i
[G(F )]
4
∀k ∈ ZZ
Z
(~
p) = [ dtU ∗ (t, −∞)eih0 t W −1 F (t, ·)]i (~
p)
4
Beweis: zu 1.: Sei F ∈ S IR4 .
Z
d~xτi (~
p, t, ~x) · F (t, ~x)
(56)
(57)
3
DEFINITION DES FELDES AM PUNKT
iEp t
=e
−3/2
(2π)
m
Ep
1/2
wi (~
p)
Z
·
18
d~xe−i~p·~x F (t, ~x)
1/2
4
m
= eiEp t
wi (~
p) ·F̃ (t, ~
p) ∈ S IR4
Ep
|
{z
}
beschränkt & glatt
F̃ (t, p~) bezeichnet die partielle Fouriertransformierte von F in den Ortskoordinaten. Es ist
4
4
F̃ ∈ S IR4 , da die Fouriertransformation S in sich abbildet. S IR4 ist ein Ideal für
die beschränkten, glatten Funktionen auf IR4 mit vier Komponenten, deren Ableitungen
4
höchstens polynomial anwachsen. Daher ist der ganze Ausdruck ein Element von S IR4 .
Man kann also Konstanten µk finden, so daß gilt
Z
1
| d~xτi (~
p, t, ~x) · F (t, ~x)| ≤ µk (1 + |~
p|)k
∀k ∈ ZZ
1 + t2
d.h.
Z
1
∀k ∈ ZZ, t ∈ IR
1 + t2
4
Da Û ∗ (t, −∞) den Banachraum P k IR3 nach Lemma 5 stetig in sich abbildet und norm4
stetig in t ist, kann man Û ∗ (t, −∞) anwenden und über t integrieren, ohne P k IR3 zu
verlassen:
Z
Z
4
∗
dtÛ (t, −∞) d~xτ (·, t, ~x) · F (t, ~x) ∈ P k IR3
∀k ∈ ZZ
k d~xτi (~
p, t, ~x) · F (t, ~x)kk ≤ µk
zu 2.: Unter Verwendung der Definitionen von W −1 und h0 , sieht man
Z
i
d~xτi (~
p, t, ~x) · F (t, ~x) = eih0 t W −1 F (t, ·) (~
p)
4
Auf P −2 IR3 ⊂ H stimmen nach Lemma 6 Û ∗ (t, −∞) und U ∗ (t, −∞) miteinander überein
und es folgt
Z
Z
Z
dtÛ ∗ (t, −∞) d~xτ (·, t, ~x) · F (t, ~x) = dtU ∗ (t, −∞)eih0 t W −1 F (t, ·)
Die ~x-Integration läßt sich wegen der Stetigkeit von (t, ~x) 7→ τ (·, t, ~x) in k·k1 (Lemma ??) vor
den Operator Û ∗ (t, −∞) ziehen. Damit sind die Behauptungen bewiesen.
Achtung: die Datei lpsi.tex fehlt!
Beweis: Die Behauptung folgt aus der Definition des ausgeschmierten Feldes über die Feldoperatoren Φ(v) in Gleichung (25): Ψint (F ) = Φ(G(F )) und der Übereinstimmung von
4
Operator und Sesquilinearform laut Definition 3, da nach Lemma 7 G(F ) ∈ P −2 IR3 ist.
3
DEFINITION DES FELDES AM PUNKT
19
Achtung: die Datei lgdicht.tex fehlt!
4
Beweis: Sei g ∈ H, f := W U (0, −∞)g ∈ Ȟ. Wähle eine Folge (fn ) ∈ C0∞ IR3 so,
4
daß kfn − f kȞ < für alle n > n0 (), was immer möglich ist, da C0∞ IR3 dicht in
Ȟ = L2 (IR3 , d~x)4 ist. Wähle eine Folge hn in C0∞ (IR), die die Deltafunktion approximiert,
Z
hn (t)u(t)dt − u(0) → 0, ∀u ∈ C0 (IR)
Z
hn (t) ≥ 0,
hn (t)dt = 1
Dann ist Fn (t, ~x) := hn (t) · fn (~x) ∈ C0∞ IR4
4
und es gilt
kG(Fn ) − gkH
Z
= k U ∗ (t, −∞)eih0 t W −1 Fn (t, ·)dt − U ∗ (0, −∞)W −1 f k
(einsetzen von Fn = hn · fn )
Z
Z
= k hn (t)U ∗ (t, −∞)eih0 t W −1 fn dt − U ∗ (0, −∞)W −1 f hn (t)dtk
| {z }
=1
Z
= k hn (t) U ∗ (t, −∞)eih0 t W −1 fn − U ∗ (0, −∞)W −1 f dtk
Z
≤
hn (t)kU ∗ (t, −∞)eih0 t W −1 fn − U ∗ (0, −∞)W −1 f kdt
(Addieren und Wiederabziehen von U ∗ (t, −∞)eih0 t W −1 f )
Z
≤ hn (t)kU ∗ (t, −∞)eih0 t W −1 fn − U ∗ (t, −∞)eih0 t W −1 f kdt
Z
+ hn (t)kU ∗ (t, −∞)eih0 t W −1 f − U ∗ (0, −∞)W −1 f kdt
Z
≤
Z
hn (t)dtkfn − f kȞ +
hn (t)k(U ∗ (t, −∞)eih0 t − U ∗ (0, −∞))W −1 f kdt
Für n → ∞ geht der erste Term wegen fn → f gegen Null. Der zweite verschwindet, da
U ∗ (t, −∞) normstetig in t ist und hn gegen die Deltafunktion strebt. Jedes g ∈ H läßt sich
4
also durch eine Folge in G(C0∞ IR4 ) approximieren. Dieser Raum liegt damit dicht in H.
Bemerkung: Aus diesem Lemma folgt, daß der Vakuumvektor, da er für Φ(v) trivialerweise
zyklisch ist, auch zyklisch für Ψint (F ) ist, denn das ausgeschmierte Feld ist normstetig und
es gilt Ψint (F ) = Φ(G(F )).
4
EIGENSCHAFTEN DES FELDES AM PUNKT
3.4
20
Definition des Feldes am Punkt als Sesquilinearform
Nun kann das Feld am Punkt definiert werden. Rein formal wird dabei das wechselwirkende
Feld mit einer Deltafunktion in (t, ~x) ausgeschmiert“ und in Matrixelementen ausgewertet.
”
Aus dem Vorangegangenen folgt, daß diese formale Größe auch wohldefiniert ist, wenn man
den Definitionsbereich auf Vektoren mit einem guten Energieabfallverhalten einschränkt. Die
folgenden Ergebnisse kann man alle noch etwas abschwächen, damit aber auch vereinheitlik
chen, indem man, anstelle der angegebenen Definitionsbereiche DH
, die gemeinsame, etwas
0
∞
kleinere – aber immer noch dichte – Teilmenge C (H0 ) des Fockraums F benutzt.
Definition 5:
(das Feld am Punkt als Sesquilinearform)
5/2
Es seien Φ, X ∈ DH0 , dann ist die folgende Sesquilinearform wegen Lemma 2 und Definition
3 wohldefiniert
hΦ|Ψint (t, ~x)|X i := hΦ|Φ̂(Û ∗ (t, −∞)τ (·, t, ~x))|X i
denn Û ∗ (t, −∞)τ (·, t, ~x) ∈ P 0 IR3
4
4
(58)
nach Lemma 5 und Definition 4.
Eigenschaften des Feldes am Punkt
Achtung: die Datei lfstetig.tex fehlt!
Beweis: Nach Lemma ?? reicht es aus, die Stetigkeit der Abbildung x 7→ Û ∗ (x0 , −∞)τ (·, x0 , ~x)
4
im Raum P 1 IR3 zu zeigen.
Einfügen und wieder Abziehen des Terms Û ∗ (x0 , −∞)τ (·, y 0 , ~y ) und Dreiecksungleichung
liefert die folgende Ungleichung:
kÛ ∗ (x0 , −∞)τ (·, x0 , ~x) − Û ∗ (y 0 , −∞)τ (·, y 0 , ~y )k1
≤ kÛ ∗ (x0 , −∞) τ (·, x0 , ~x) − τ (·, y 0 , ~y ) k1 + k Û ∗ (x0 , −∞) − Û ∗ (y 0 , −∞) τ (·, y 0 , ~y )k1
4
Aufgrund der Stetigkeit von t 7→ Û ∗ (t, −∞)f (Lemma 5) und da τ (·, x0 , ~x) ∈ P 0 IR3 ist,
geht der zweite Term für x → y in k·k0 gegen Null, und damit erst recht in k·k1 . Der erste
Term geht wegen der Stetigkeit von x 7→ τ (·, t, ~x) in k·k1 gegen Null (Lemma ??).
Das folgende Lemma zeigt, daß die Bezeichnung Feld am Punkt“ für die oben definierte
”
Sesquilinearform gerechtfertigt ist.
4
7/2
Lemma 8: Es sei Φ, X ∈ DH0 , F ∈ S IR4 , dann gilt
Z
d4 xF (x) · hΦ|Ψint (x)|X i = Φ, Ψint (F )X
(59)
Man erhält also das ausgeschmierte Feld zurück, wenn man das Feld am Punkt mit einer
Testfunktion testet“.
”
4
EIGENSCHAFTEN DES FELDES AM PUNKT
21
Beweis:
Φ, Ψint (F )X
(Lemma ??)
= hΦ|Φ̂(G(F ))|X i
(Lemma 7)
Z
= hΦ|Φ̂
d4 xÛ ∗ (t, −∞)τ (·, t, ~x) · F (x) |X i
R
(das Integral d4 xÛ ∗ (t, −∞)τ (·, t, ~x) · F (x) existiert für endliche Integrationsgrenzen im
4
Riemann-Sinne, wobei die einzelnen Riemannsummen in P 1 IR3 sind; der Übergang zum
4
uneigentlichen Integral über ganz IR4 ist auch in P 1 IR3 als Limes über wachsende Integrationsgrenzen durchführbar; wegen der Linearität und der Stetigkeit von v 7→ hΦ|Φ̂(v)|X i,
kann daher die Integration aus der Sesquilinearform herausgezogen werden, wenn, wie gefor7/2
dert, Φ, X ∈ DH0 ist)
Z
=
d4 xF (x) · hΦ|Φ̂ Û ∗ (t, −∞)τ (·, t, ~x) |X i
(Definition 5)
Z
= d4 xF (x) · hΦ|Ψint (x)|X i
Das nächste Lemma ist die Umkehrung von Lemma 8 und zeigt, wie man das Feld am Punkt
als Limes des ausgeschmierten Feldes erhält, wenn man den Träger der Testfunktionen auf
einen Punkt schrumpfen läßt.
4
7/2
Lemma 9: Es sei Φ, X ∈ DH0 , {Fn } ⊂ S IR4 approximiere eine Deltafunktion, Fn →
R
4
α
0 0
4
0
0
δt,~
f (x)d4 x = 1,
x , etwa Fn (x )α = δαα n f (n(x − x )), dabei sei f ∈ S IR ) positiv mit
dann gilt
Φ, Ψint (Fn )X → hΦ|Ψint (x)α |X i
(60)
Achtung: die Datei bdelta.tex fehlt!
Als nächstes wird gezeigt, daß man das Feld am Punkt auch differenzieren kann. Das kann
in manchen Anwendungen ein Vorteil gegenüber dem Arbeiten mit Wightmanfeldern sein.
An dieser Stelle sieht man auch, daß der Definitionsbereich beim Ableiten um eine Potenz
schrumpft.
4
EIGENSCHAFTEN DES FELDES AM PUNKT
22
Lemma 10: (Ableitung des Feldes am Punkt)
7/2
Es seien Φ, X ∈ DH0 , dann gilt
∂j hΦ|Ψint (x)|X i
∂0 hΦ|Ψint (x)|X i
= −ihΦ|Φ̂ Û ∗ (t, −∞)P̂j τ (·, t, ~x) |X i j = 1, 2, 3
= ihΦ|Φ̂ Û ∗ (t, −∞)(ĥ0 − Ô(t))τ (·, t, ~x) |X i
(61)
(62)
9/2
Für Φ, X ∈ DH0 sind die partiellen Ableitungen x 7→ ∂µ hΦ|Ψint (x)|X i stetig.
Beweis: Die zeit- und die raumartigen Ableitungen von τ kann man direkt aus der Definition
von τ ablesen, da die Raum-Zeit-Koordinaten nur in Exponentialfaktoren auftauchen.
∂j τ (·, t, ~x)
= −iP̂j τ (·, t, ~x) ∈ P 1 IR3
∂t τ (·, t, ~x)
= iĥ0 τ (·, t, ~x)
4
4
Sie liegen in P 1 IR3 und die Abbildungen x 7→ P̂j τ (·, t, ~x) und x 7→ ĥ0 τ (·, t, ~x) sind in
4
4
4
P 2 IR3 stetig, da P̂j und ĥ0 stetige Operatoren von P k IR3 nach P k+1 IR3 sind.
Als erstes werden jetzt die raumartigen Ableitungen des Feldes am Punkt betrachtet.
hΦ|Φ̂ Û ∗ (t, −∞)(−iP̂j )τ (·, t, ~x) |X i
(Ableitung von τ einsetzen)
= hΦ|Φ̂ Û ∗ (t, −∞)∂j τ (·, t, ~x) |X i
(Lemma 5: Stetigkeit von f 7→ Û ∗ (t, −∞)f )
= hΦ|Φ̂ ∂j Û ∗ (t, −∞)τ (·, t, ~x) |X i
(Lemma ??: Stetigkeit von v 7→ hΦ|Φ̂(v)|X i)
= ∂j hΦ|Φ̂ Û ∗ (t, −∞)τ (·, t, ~x) |X i
(Definition 5: das Feld am Punkt)
= ∂j hΦ|Ψint (t, ~x)|X i
Mit der zeitartigen Ableitung verfährt man genauso: nach Produktregel gilt, falls die einzelnen
Ableitungen existieren,
∂t Û ∗ (t, −∞)τ (·, t, ~x) = ∂t Û ∗ (t, −∞) τ (·, t, ~x) + Û ∗ (t, −∞)∂t τ (·, t, ~x)
4
EIGENSCHAFTEN DES FELDES AM PUNKT
23
(Ableitung von Û ∗ (t, −∞) aus Lemma ?? und von τ einsetzen)
= −iÛ ∗ (t, −∞)Ô(t)τ (·, t, ~x) + iÛ ∗ (t, −∞)ĥ0 τ (·, t, ~x)
= iÛ ∗ (t, −∞) ĥ0 − Ô(t) τ (·, t, ~x)
Für die Stetigkeit der partiellen Ableitungen des Feldes braucht man die Stetigkeit der Abbil4
dung x 7→ Pj τ (·, t, ~x). Diese ist in P 2 IR3 gewährleistet, daß heißt: man muß nach Definition
9/2
3 als Definitionsbereich für die Sesquilinearform DH0 wählen.
Die Diracgleichung und die Lokalität sollte das Feld am Punkt natürlich auch erfüllen. Um
die Beweise kurz zu halten, wird auf Ergebnisse für das ausgeschmierte Feld zurückgegriffen,
die sich aber auch unabhängig von diesem Formalismus für das Feld am Punkt nocheinmal
nachvollziehen ließen.
Satz 11:
(Diracgleichung)
Das Feld am Punkt erfüllt die gestörte Diracgleichung im Sinne der Sesquilinearform, d.h.
9/2
für alle Φ, X ∈ DH0 gilt
(−i∂/x + m − B(x)) hΦ|Ψint (x)|X i = 0
(63)
Beweis: In [3] zeigt Ruijsenaars, daß das ausgeschmierte Feld die Diracgleichung im Sinne
4
operatorwertiger Distributionen erfüllt, d.h. für alle F ∈ S IR4 gilt
Ψint ((i∂/T + m − B T )F ) = 0
9/2
Diese Operatorgleichung wird in Matrixelementen Φ, X ∈ DH0 ausgewertet.
Φ, Ψint ( i∂/T + m − B T F )X = 0
Mit Lemma 8 gilt
Z
d4 x i∂/Tx + m − B T F (x) · hΦ|Ψint (x)|X i = 0
Wegen Lemma 10 kann partiell integriert werden.
Z
d4 xF (x) · (−i∂/x + m − B(x)) hΦ|Ψint (x)|X i = 0
Setzt man für F wie im Beweis von Lemma 9 eine Deltafolge ein, so folgt die Behauptung.
Lemma 12: Sei A ein beschränkter Operator auf dem Fockraum mit der Eigenschaft
7/2
7/2
A, A∗ : DH0 → DH0
5
GLEICHHEIT DER VON-NEUMANN-ALGEBREN
24
Wenn A die Relation
A, Ψint (F ) ± = 0,
∀F ∈ S IR4
4
,
suppF ⊂ O offen
erfüllt, dann (anti)vertauscht A mit dem Feld am Punkt im Sinne von Sesquilinearformen,
d.h.
hΦ|Ψint (x)|AX i ± hA∗ Φ|Ψint (x)|X i = 0
(64)
7/2
für alle Φ, X ∈ DH0 und x aus O.
Umgekehrt, wenn A mit dem Feld am Punkt für alle x in einem offenen Gebiet O (anti)vertauscht, so (anti)vertauscht A auch mit dem ausgeschmierten Feld Ψint (F ), wenn suppF ⊂
O.
Beweis: Die erste Behauptung folgt aus Lemma 9, indem man die (Anti)kommutatorrelation
für A in Matrixelementen auswertet und den Träger der Testfunktionen auf den Punkt x zusammenzieht. Dabei ist es wichtig, daß A und A∗ den Definitionsbereich der Sesquilinearform
invariant lassen und daß x ∈ O ist.
Die zweite Behauptung folgt aus Lemma 8, indem man die (Anti)kommutatorrelation mit
einer Testfunktion ausschmiert. Der Definitionsbereich der Sesquilinearform liegt dicht in F.
Somit vertauscht A mit Ψint (F ) in Matrixelementen auf einer dichten Menge. Da es sich um
beschränkte Operatoren handelt, ist die (Anti)kommutatorrelation eindeutig festgelegt.
Satz 13:
(Lokalität)
Das Feld am Punkt erfüllt die Lokalität im Sinne von Sesquilinearformen:
4
7/2
Es seien Φ, X ∈ DH0 , G ∈ S IR4 , x ∈ (suppG)0 , dann gilt
hΦ|Ψint (x)|Ψint (G)∗ X i + hΨint (G)Φ|Ψint (x)|X i = 0
(65)
4
Beweis: Seien Φ, X , G, x wie im Satz, F ∈ S IR4 mit suppF ⊂ (suppG)0 . In [3] zeigt
Ruijsenaars die Lokalität für das ausgeschmierte Feld, d.h.
Ψint (F ), Ψint (G)∗ = 0
7/2
Nach Lemma ?? läßt Ψint (G) den Definitionsbereich DH0 invariant. Aus Lemma 12 folgt
dann die Behauptung.
5
Gleichheit der von-Neumann-Algebren
In den vorangegangenen Kapiteln wurde das Feld am Punkt als Sesquilinearform definiert
und bewiesen, daß es lokal ist, die Diracgleichung erfüllt und aus dem ausgeschmierten Feld
gewonnen werden kann, indem man mit den Testfunktionen eine Deltafunktion approximiert.
Hier wird nun gezeigt, wie man, ohne Testfunktionen zu verwenden, direkt über das Feld am
5
GLEICHHEIT DER VON-NEUMANN-ALGEBREN
25
Punkt von-Neumann-Algebren definieren kann, die mit den üblichen, mit Hilfe des ausgeschmierten Feld definierten, Algebren übereinstimmen.
Im folgenden werden mit O immer offene Doppelkegel im Minkowskiraum M4 bezeichnet und
mit O deren Basen (Kugeln). M steht entweder für einen Doppelkegel (M = O) oder für
das kausale Komplement eines Doppelkegels (M = O0 ), intM ist das Innere von M.
5.1
Definitionen
Definition 6: Hier wird die vom Feld am Punkt erzeugte von-Neumann-Algebra R̃ (M)
und die vom ausgeschmierten Feld erzeugte von-Neumann-Algebra R (M) definiert.
:= {S ∈ B (H) : S, S ∗ : C ∞ (H0 ) → C ∞ (H0 ) ,
hΦ|Ψint (x)|SX i − hS ∗ Φ|Ψint (x)|X i = 0,
hΦ|Ψint (x)|S ∗ X i − hSΦ|Ψint (x)|X i = 0, ∀Φ, X ∈ C ∞ (H0 )
\
S(M) :=
Sx
Sx
(66)
(67)
x∈M
R̃ (M) := S(M)0
T (M) :=
T ∈ B (H) : T, Ψint (F ) = 0 = T ∗ , Ψint (F ) ,
o
4
∀F ∈ C0∞ IR4 , suppF ⊂ intM
R (M)
0
:= T (M)
(68)
(69)
(70)
Lemma 14: (Kleintransformation)
Auf F wird der Operator V := eiπQ definiert, Q ist der Ladungsoperator. V hat folgende
Eigenschaften:
1.
VΩ=Ω
(71)
2.
V Ψint (F ) = −Ψint (F )V
(72)
3.
V 2 = I,
4.
V : C ∞ (H0 ) → C ∞ (H0 )
(74)
5.
V antikommutiert mit Ψint (x) für alle x
(75)
V =V∗
(73)
Beweis: Die Eigenschaften (1.)–(4.) sind offensichtlich, wenn man V auf einen Vektor aus
F anwendet und diesen explizit hinschreibt. Im übrigen legen sie V eindeutig fest, so daß
man diese Eigenschaften auch als Definition für den Kleinoperator hätte nehmen können.
(5.) folgt aus (2.) und (4.) unter Anwendung von Lemma 12.
Der Kleinoperator V dient dazu, Operatoren mit Fermistatistik von Operatoren mit Bosestatistik zu trennen. Sei F ein beschränkter Operator auf F, dann setze
F+
:=
1
(F + V F V )
2
(76)
5
GLEICHHEIT DER VON-NEUMANN-ALGEBREN
F−
:=
1
(F − V F V )
2
26
(77)
Damit gilt
F
V F+
V F−
= F+ + F−
= F+ V
= −F− V
(78)
(79)
(80)
Mit Hilfe von V wird die Twisted von-Neumann-Algebra definiert.
Definition 7:
t
R (M) := {F+ + iF− V : F ∈ R (M) }
(81)
Da die Feldoperatoren, die R (M) erzeugen, mit V antivertauschen (siehe Lemma 14), gilt
Ψint (F ) = Ψint (F )− und daher
00
t
R (M) = V Ψint (F ), V Ψint (F )∗ : suppF ⊂ intM kompakt
(82)
Für die Bildung der twisted von-Neumann-Algebra kann man leicht zeigen (siehe [7])
R (M)
R (M)
5.2
tt
t0
R (M)
=
R (M)
=
(83)
0t
(84)
Satz über die Gleichheit
Achtung: die Datei srr.tex fehlt!
Beweis: Der Beweis gliedert sich in drei Teilschritte, von denen die ersten beiden relativ leicht
zu zeigen sind, während der letzte auf den Beweis der Twisted Dualität für das Fermifeld im
äußeren Feld hinausläuft.
1.
R (O)
⊂
R̃ (O)
2.
R̃ (O)
⊂
R (O0 )
t0
3.
R (O)
=
R (O0 )
t0
zu 1. S(O) ⊂ T (O) folgt aus Lemma 12, da jeder Operator, der mit dem Feld am Punkt für
alle x aus einem offenen Gebiet vertauscht, auch mit dem ausgeschmierten Feld vertauscht,
sofern der Träger der Testfunktion nur in diesem offenen Gebiet liegt.
Bildet man von dieser Relation die Kommutante, folgt T (O)0 ⊂ S(O)0 und damit, nach
obiger Definition, R (O) ⊂ R̃ (O) .
zu 2. Seien nun F Testfunktionen mit kompaktem Träger in O0 . Nach Satz 13 und Lemma
14 antikommutieren Ψint (F ) und V mit dem Feld am Punkt für x ∈ O, das Produkt dieser
6
TWISTED DUALITÄT
27
Operatoren kommutiert also im Sinne der Sesquilinearformen: V Ψint (F ) ∈ S(O) Darum gilt,
V Ψint (F ), V Ψint (F )∗ : suppF ⊂ O1 ⊂ O0
00
V Ψint (F ), V Ψint (F )∗ : suppF ⊂ O1 ⊂ O0
R (O0 )
t
0 t0
R (O )
0 t0
R (O )
⊂ S(O)
⊂ S(O)00
⊂
R̃ (O)
⊃
R̃ (O)
⊃
R̃ (O)
0
(mit Gleichung (82) )
00
t0
zu 3. Die Twisted Dualität R (O) = R (O0 ) im Fermifall ist das Gegenstück zur Dualität
im Bosefall und eine stärkere Forderung als die Lokalität. Aus ihr folgt die Dualität der
Observablenalgebra, d.h. Observablen, die mit allen in O0 lokalisierten Observablen vertauschen, müssen in O selbst lokalisiert sein. Diese Forderung ist zum Beispiel in Theorien mit
gebrochener Symmetrie nicht unbedingt erfüllt.
Im folgenden werden Ideen von Foit [7] und Dimock [8] aufgegriffen, um für das ausgeschmierte Feld die Twisted Dualität zu zeigen (vergl. Satz 31).
6
Twisted Dualität
Die bisherige Notation für die ausgeschmierten Felder ist, im Hinblick auf die Twisted Dualität, unpraktisch. Wie man später sieht, ist es günstiger, Felder als Operatoren auf einem
Fockraum über einem Einteilchenhilbertraum K zu definieren, der eine antilineare Involution
Γ trägt. Das Paar (K, Γ) nennt man einen (Fermi-)Phasenraum. Die Involution Γ hängt mit
dem adjungierten Feld über die Relation Ψ(k)∗ = Ψ(Γk) zusammen. Die adjungierten Felder
werden also mit zu den Feldern gezählt.
Im folgenden wird ein solcher Phasenraum mit den zugehörigen Feldern konstruiert, indem
man den Testfunktionenraum verdoppelt, den Unterraum der Lösungen der gestörten Diracgleichung abdividiert und dann mit der Antikommutatorfunktion des ausgeschmierten Feldes als Skalarprodukt vervollständigt. Dabei gewinnt man auch automatisch die gewünschte
Involution. Außerdem hat man lokale Unterräume, die nach dem gleichen Prozeß aus den
Testfunktionen mit Träger in einem Teilgebiet der vierdimensionalen Raum-Zeit resultieren.
Es ist möglich, den Beweis der Twisted Dualtität auf ein Problem auf der Ebene dieser lokalen
Unterräume des Einteilchenraums zurückzuführen.
Da die Diracgleichung eine hyperbolische Differentialgleichung ist, sind ihre Lösungen durch
Angabe von Anfangsdaten auf einer Cauchyfläche bereits eindeutig bestimmt. Dies nutzt man
dazu aus, das Problem noch eine Stufe weiter auf die Ebene des Raumes der Anfangsdaten
der Diracgleichung zurückzuschrauben. Dieser Raum kann durch einen dreidimensionalen
Phasenraum mit einem einfachen Skalarprodukt beschrieben werden, in dem das Problem
dann leicht zu lösen ist.
6
TWISTED DUALITÄT
6.1
28
Konstruktion der Phasenräume: vierdimensional
4
Lemma 15: Sei f ∈ C0∞ IR4 , dann existieren Abbildungen
S± : C0∞ IR4
4
→ C ∞ IR4
4
(85)
mit
D
/ S ± f = f = S± D
/ f,
suppS± f ⊂ J± (suppf )
(86)
Setzt man S := S+ − S− , so folgt sofort
D
/ Sf = 0 = SD
/ f,
suppSf ⊂ J(suppf )
(87)
(88)
wobei
J± (x)
:=
J± (G)
:=
y :y−x∈V±
[
J± (x)
(89)
x∈G
J
:= J+ ∪ J−
(90)
V ± ist der abgeschlossene Vorwärts- bzw. Rückwärtslichtkegel im Minkowskiraum. D
/ ist der
Diracoperator für das Problem mit äußerem Feld:
D
/ := [−i∂/x + m − B(x)]
(91)
S gibt einem also zu jeder Testfunktion eine Lösung der gestörten Diracgleichung.
Beweis: Dieses Lemma ist im wesentlichen eine Folge von Ergebnissen, zu denen Ruijsenaars
in [2] kommt. Nach Satz (3.2) in [2] hat die gestörte Diracgleichung zweiseitige temperierte
retardierte und avancierte Fundamentallösungen, die gegeben sind durch
[GI ] (x, y) =
∞ Z
X
dx1 ..dxn SI (x − x1 )B(x1 )..B(xn )S(xn − y) I = R, A
n=0
Dabei sind SI (x − y), I = R, A die fundamentalen avancierten und retardierten Lösungen der
freien Diracgleichung und B(x) = γ 0 V (x) das äußere Feld multipliziert mit einer γ-Matrix.
Nach Ruijsenaars Gleichung (3.64) in [2] gilt
h
i
h←
i
−
→
−
−i∂/x + m − B(x) [GI (x, y)] = δ(x − y) = [GI (x, y)] i∂/y + m − B(y)
und nach (3.63) in [2]
h
i
supp G R (x, y) ⊂ (x, y) : x − y ∈ V ±
A
6
TWISTED DUALITÄT
Nach Satz (3.2) in [2] gibt es Abbildungen S± : C0∞ IR4
Z
[S± f ] (x) :=
29
4
→ C ∞ IR4
4
mit
h
i
dy G A (x, y)f (y)
R
und es folgt daher
S± D
/f = f = D
/ S± f
Mit den Trägereigenschaften der Fundamentallösungen folgen die Behauptungen.
4
R
Lemma 16: Seien f, g ∈ C0∞ IR4 und hf, gi := fˆ(x)g(x)d4 x, fˆ(x) := f (x)γ 0 , dann gilt
für den Antikommutator des wechselwirkenden Feldes
{Ψint (fˆ), Ψint (ĝ)∗ } = ihf, Sgi
(92)
Beweis: Ruijsenaars zeigt in [3], Gleichung (2.44)
Ψint (f ), Ψint (g)∗ = (−i [GR ] + i [GA ]) f, γ 0 g
[GI ](f, g) bezeichnet die Fundamentallösung, ausgeschmiert mit zwei Testfunktionen. Also
gilt
n
o
Ψint (fˆ), Ψint (ĝ)∗
= i ([GA ] − [GR ]) (fˆ, γ 0 ĝ)
Z
= i dx dy fˆ(x) ([GA ] − [GR ]) (x, y)g(y)
Z
=
dxfˆ(x)(Sg)(x)
= i hf, Sgi
Definition 8: (Verdopplung des Testfunktionenraums und der Felder)
Es sei T der Raum der Testfunktionen mit kompaktem Träger in vier Raum-Zeitdimensionen,
4
T := C0∞ IR4 . Dieser Testfunktionenraum wird verdoppelt:
T := T × T̂
f = f1 , fˆ2 ∈ T
Sei A ein Operator auf T , dann definiert
d2
Af := Af1 , Af
/ zu verstehen).
einen Operator auf T (insbesondere ist so D
(93)
(94)
6
TWISTED DUALITÄT
30
Über dem verdoppelten Testfunktionenraum werden neue Felder Ψ(·) mit Hilfe der alten
Ψint (·) definiert. Sei f ∈ T
Ψ(f ) := Ψ̂int (f1 ) + Ψint (fˆ2 )
(95)
Für Rechnungen ist die Identität Ψ̂int (f ) = Ψint (fˆ)∗ von Nutzen.
Lemma 17: Seien f , g ∈ T , dann gilt
Ψ(f )∗ , Ψ(g) = ihf1 , Sg1 i + ihg2 , Sf2 i
Beweis:
Ψ(f )∗ , Ψ(g)
(96)
n
o
Ψint (fˆ1 ) + Ψint (fˆ2 )∗ , Ψint (ĝ1 )∗ + Ψint (ĝ2 )
n
o n
o
=
Ψint (fˆ1 ), Ψint (ĝ1 )∗ + Ψint (fˆ2 )∗ , Ψint (ĝ2 )
=
= i hf1 , Sg1 i + i hg2 , Sf2 i
mit Lemma 16.
Definition 9: (Involution und Antikommutatorfunktion)
Seien f , g ∈ T , dann definiere
Jf := f2 , fˆ1
(97)
σ f , g := Ψ(f )∗ , Ψ(g)
(98)
Lemma 18: Seien f , g ∈ T , dann gilt
∗
1. Ψ Jf = Ψ f
2.
σ Jf , Jg = σ g, f
3. Ψ D
/f = 0
4.
/g
σ D
/ f, g = 0 = σ f, D
Beweis:
1. Ψ f
2.
∗
∗
= Ψint (fˆ1 )∗ + Ψint (fˆ2 ) = Ψint (fˆ2 )∗ + Ψint (fˆ1 ) = Ψ Jf
σ Jf , Jg = Ψ(Jf )∗ , Ψ(Jg) = Ψ(f ), Ψ(g)∗ = Ψ(g)∗ , Ψ(f ) = σ g, f
(99)
(100)
(101)
(102)
6
TWISTED DUALITÄT
31
d
d
3. Ψ D
/ f = Ψint (D
/ f1 )∗ + Ψint (D
/ f2 )
4
Da fˆ ∈ S IR4 , gilt mit Gleichung 26 (siehe [3])
d
Ψint (D
/ f ) = Ψint ((−i∂/ + m − B)f γ 0 ) = Ψint ((i∂/t + m − B t )fˆ) = 0
4. Die Behauptung folgt aus (3.) und Definition von σ.
Lemma 19: α sei die kanonische Quotientenabbildung
/T
α : T → T /D
(103)
Seien f , g ∈ T , dann definiert
(α(f ), α(g))K := σ(f , g) = i hf1 , Sg1 i + i hg2 , Sf2 i
(104)
ein Skalarprodukt auf dem Quotientenraum und damit durch Vervollständigung einen Hilbertraum K. Auf K wird ein antiunitärer Operator ΓK definiert über
ΓK α(f ) := α(Jf )
Das Paar (K, ΓK ) wird als Fermiphasenraum bezeichnet.
Beweis: Es ist zu zeigen, daß (·, ·)K positiv definit und eindeutig definiert ist.
1. Positivität:
(α(f ), α(f ))K = σ(f , f ) = Ψ(f )∗ , Ψ(f ) ≥ 0
da der letzte Term eine Summe aus positiven Operatoren ist.
2. Eindeutigkeit:
/ g))K
(α(D
/ f ), α(g))K = 0 = (α(f ), α(D
da hf, SD
/ gi = 0 nach Lemma 18.
3. Definitheit: zu zeigen ist
(α(f ), α(f ))K = 0
⇒
∃h ∈ T mit f = D
/h
Sei also (α(f ), α(f ))K = 0. Da die Cauchy-Schwarz-Ungleichung auch für nur positiv-semidefinite Bilinearformen gilt, folgt für alle g ∈ T
2
(α(g), α(f ))K ≤ (α(g), α(g))K · (α(f ), α(f ))K = 0
Es genügt daher zu zeigen:
hg, Sf i = 0 ∀g ∈ T
⇒
∃h ∈ T mit f = D
/h
6
TWISTED DUALITÄT
32
Sei also f ∈ T mit hg, Sf i = 0 für alle g ∈ T , dann folgt
hg, (S+ − S− )f i = 0
und wegen der Stetigkeit von (Sf )(x) gilt
S+ f = S− f
Aufgrund der Trägereigenschaften von S± (siehe Lemma 15), muß suppS+ f kompakt sein,
also S+ f ∈ T . Aus Lemma 15 folgt
D
/ S+ f = f
Wähle h = S+ f , dann gilt f = D
/ h.
Bemerkung: K hat lokale Unterräume, die mit K(M) bezeichnet werden. M ist in Anwendungen entweder ein Doppelkegel oder das raumartige Komplement davon. K(M) erhält
man durch Abschluß des Bildes von
T (M) := f ∈ T : suppf ⊂ O1 ⊂ M
(105)
Definition 10: Wegen kΨ(f )k ≤ kα(f )kK (vergl. (145)) kann man Feldoperatoren ΨK (k),
k ∈ K, definieren durch
ΨK (α(f )) := Ψ(f ),
6.2
f ∈T
(106)
Konstruktion der Phasenräume: Anfangsdaten
Wenn man die Twisted Dualität für eine von-Neumann-Algebra R (O) beweisen will, so
zeichnet die Basis O von O eine raumartige Hyperebene und damit auch eine Zeitachse aus.
Analog zum vierdimensional ausgeschmierten Feld kann man mit Hilfe der Felder zu fester
Zeit verfahren, um einen Fermiphasenraum (L, ΓL ) zu definieren. Dieser hat die Bedeutung
eines Raumes von Anfangsdaten für die gestörte Diracgleichung.
Definition 11:
Tt := C0∞ IR3
Als Testfunktionenraum zu fester Zeit hat man
4
(107)
Der Testfunktionenraum wird verdoppelt mittels
F = F1 , F̂2 ∈ T t
T t := Tt × T̂t
(108)
Die antilineare Involution ist
ΓL F = F2 , F̂1
(109)
6
TWISTED DUALITÄT
33
Als Skalarprodukt hat man
(F , G)L := (F1 , G1 ) + (G2 , F2 ),
(F, G) =
4 Z
X
d~xF α (~x)Gα (~x)
(110)
α=1
L sei der Hilbertraum, den man durch Abschluß von T t erhält. ΓL ist zum antiunitären
Operator auf ganz L fortsetzbar.
Bemerkung: Man kann auch hier wieder lokale Unterräume L(O (C) ) durch Abschluß von
n
o
(111)
T t (O (C) ) := F ∈ T t : suppF ⊂ O 1 ⊂ O (C)
definieren. O C bezeichnet das Komplement von O in IR3 .
6.3
Isomorphie der Phasenräume
Definition 12: (Phasenraumisomorphismus Bt )
ρt : T → Tt
(ρt f )(~x) := f (t, ~x)
βt : T → Tt
βt f := iγ 0 ρt Sf
βt : T → T t
β t f := (βt f1 , βd
t f2 )
Bt : K → L
Bt α(f ) := α(β t f )
Offensichtlich gilt ρt : T (O) → Tt (O ).
Bemerkung: Diese Definition und die folgenden drei Lemmata dienen der Vorbereitung eines Satzes über die Isomorphie lokaler Unterräume von K und L; die Beweise werden analog
zu Ideen von Dimock geführt, die dieser für den Bose-Fall entwickelt hat. Es können dann
Eigenschaften lokaler Unterräume von K auf Eigenschaften lokaler Unterräume von L zurückgeführt werden. Physikalisch ist dies durch die eindeutige Lösbarkeit der Diracgleichung bei
gegebenen glatten Anfangsdaten mit kompaktem Träger begründet. L ist unabhängig von
der Wechselwirkung und aufgrund seiner daraus resultierenden einfachen Struktur wesentlich
leichter zu handhaben als K, was dann beim Beweis der Twisted Dualität ausgenutzt wird.
4
Lemma 20: Es seien f, g ∈ C ∞ IR4 , G ⊂ IR4 , suppf ∩ G oder suppg ∩ G kompakt, dann
gilt
Z Z
4
d
ˆ
f (x) (D
/ g) (x) − D
/ f (x)g(x) d x = i
fˆ(x)γ µ g(x)ηµ dσ(x)
(112)
G
∂G
∂G ist die Oberfläche von G mit ηµ als Oberflächennormalen.
Beweis:
Z fˆ(x) ([−iγ µ ∂µ + m − B(x)] g) (x) − ([−iγ µ ∂µ + m − B(x)] f )(x)γ 0 g(x) d4 x
G
6
TWISTED DUALITÄT
34
(B(x) = B(x)∗ )
Z =
−ifˆ(x)γ µ (∂µ g) (x) − i ∂µ f (x)γ µ ∗ γ 0 g(x) d4 x
G
(γ µ ∗ = γ 0 γ µ γ 0 , Produktregel)
Z
= −i ∂µ fˆ(x)γ µ g(x) d4 x
G
(Gaußscher Satz)
Z
=i
fˆ(x)γ µ g(x)ηµ dσ(x)
∂G
4
4
Lemma 21: Sei g ∈ C ∞ IR4 mit D
/ g = 0, dann gilt für alle f 0 ∈ C0∞ IR4
Z
hf 0 , gi = −i (ρt Sf 0 )(~x) (ρt g) (~x)d~x
(113)
Beweis: Wähle G = D+ := {x ∈ IR4 : x0 > t} und f = S− f 0 in Lemma 20, dann wird über
ein kompaktes Gebiet integriert und es gilt einerseits wegen D
/ S− f 0 = f 0 und D
/g = 0
Z
Z
0
(Sd
/ g)(x) − (D
/d
S− f 0 )(x)g(x)d4 x = −
fˆ0 (x)g(x)d4 x
− f )(x)(D
D+
D+
und dies ist andererseits wegen Lemma 20 identisch mit
Z
µ
0
=i
(Sd
− f )(x)γ g(x)ηµ dσ(x)
∂D +
(da der Träger von f 0 kompakt ist, wird S− f 0 für genügend große, positive Zeiten verschwinden; zum Integral trägt also nur die Fläche zur Zeit x0 = t bei)
Z
0
0
= −i
(Sd
− f )(x)γ g(x)dσ(x)
x0 =t
(die Integration über die Fläche kann als Integral im IR3 ausgedrückt werden, dabei kommt
noch ein Vorzeichenwechsel hinzu, der die Richtung der Flächennormalen berücksichtigt)
Z
= −i (ρtd
S− f 0 )(x)γ 0 (ρt g)(x)d~x
Wiederholt man diese Rechnung unter Ersetzung von S− durch S+ und D+ durch D− , so
bekommt man die beiden Gleichungen
Z
Z
0
4
ˆ
f (x)g(x)d x = ±i (ρtd
S∓ f 0 )(x)γ 0 (ρt g)(x)d~x
D±
6
TWISTED DUALITÄT
35
wobei das Vorzeichen durch die Richtung der Flächennormalen, je nach Integrationsgebiet,
bestimmt wird. Addition beider Gleichungen gibt dann
Z
0
0
hf 0 , gi = −i (ρd
x
t Sf )(x)γ (ρt g)(x)d~
Bemerkung: Aus diesem Lemma folgt die Eindeutigkeit der Lösung der gestörten Diracgleichung mit kompakten Anfangsdaten: Es seien g, g 0 zwei Lösungen mit ρt g = ρt g 0 , dann
4
gilt für alle f 0 ∈ C0∞ IR4
Z
0
0
hf , g − g i = i
ρt Sf 0 (~x) (ρt (g − g 0 )) (~x)d~x = 0 ⇒ g = g 0
Die Lösung ist also eindeutig.
Lemma 22: Sei u eine Lösung der gestörten Diracgleichung mit kompakten Anfangsdaten
4
zur Zeit t, supp(ρt u) ⊂ N ⊂ IR3 , N offen, ρt u ∈ C0∞ IR3 . Dann gibt es zu jeder offenen
4
Umgebung O ⊂ IR4 von N ein f ∈ C0∞ IR4 mit suppf ⊂ O und u = Sf .
Beweis: O sei eine offene Umgebung von N . Wähle die folgende offene Überdeckung des
IR4 :
O±
O0
IR4
:= O ∪ {x ∈ IR4 : x0
:= (J(N ))0
= O+ ∪ O− ∪ O0
>
<
t}
Zu dieser Überdeckung wähle eine C ∞ -Zerlegung ϕi , i = 0, +, −, der Eins mit suppϕi ⊂ Oi .
Aufgrund der Kausalität gilt suppu ⊂ J(N ), also u = ϕ+ u + ϕ− u. Da u eine Lösung der
Diracgleichung ist, folgt aus D
/u = 0
D
/ ϕ+ u = −D
/ ϕ− u =: f
Für den Träger von f gilt: suppf ⊂ O+ ∩ O− = O. Aus Lemma 15 folgt daher
S+ f = S+ D
/ ϕ + u = ϕ+ u
und analog
S− f = −S− D
/ ϕ− u = −ϕ− u
Subtraktion der beiden Gleichungen liefert Sf = u und damit die Behauptung.
Satz 23:
(Isomorphie der Phasenräume)
Es sei O ein Doppelkegel mit Basis O zur Zeit t. Die in Definition 12 definierte Abbildung
Bt : K → L ist ein Bogoliubovisomorphismus der Fermiphasenräume (K, Γk ) und (L, ΓL ),
d.h. Bt ist bijektiv und es gilt
1.
Bt ΓK = ΓL Bt
(114)
6
TWISTED DUALITÄT
2. (Bt k, Bt k 0 )L = (k, k 0 )K
36
∀k, k 0 ∈ K
(115)
Weiter gilt für die lokalen Unterräume K(O) bzw. K(O0 ) und L(O ) bzw. L(O C )
3.
Bt (K(O)) = L(O )
(116)
4.
Bt (K(O0 )) = L(O C )
(117)
Beweis: Bt ist dicht auf dem Testfunktionenraum über βt definiert. Daher lassen sich die
Behauptungen mit Hilfe von βt zeigen.
• Vertauschen von Bt und Involution:
Jβt = βt ΓL ist offensichtlich richtig; damit folgt (1.).
• Isometrie: zu zeigen ist
Es seien f , g ∈ T , dann gilt (α(f ), α(g))K = (β t f , β t g)L
Beweis: Wähle g = Sh in Lemma 21, dann folgt
Z
(ρt Sf )(~x) (ρt Sh) (~x)d~x
ihf, Shi =
Z
=
(iγ 0 ρt Sf )(~x) iγ 0 ρt Sh (~x)d~x
=
(βt f, βt h)
Damit gilt für alle f , g ∈ T
(α(f ), α(g))K
= ihf1 , Sg1 i + ihg2 , Sf2 i
= (βt f1 , βt g1 ) + (βt g2 , βt f2 )
= (βt f , βt g)L
• Injektivität: folgt aus der Isometrie und der Linearität von Bt ;Bt (K(O)) ⊂ L(O ) und
Bt (K(O0 )) ⊂ L(O C ) wird durch die Ausbreitungseigenschaften von S begründet
• Surjektivität: zu zeigen ist
F ∈ T t (O ) ⇒ ∃f ∈ T (O) mit β t f = F
G ∈ T t (O C ) ⇒ ∃g ∈ T (O0 ) mit β t g = G
Beweis: Sei u die, wegen der Bemerkung zu Lemma 21 eindeutige, Lösung der gestörten
Diracgleichung zu den Anfangsdaten H ∈ Tt (O ), d.h. ρt u = H. Wähle N = O in Lemma
22. Dann existiert ein h ∈ T (O) mit u = Sh, also
H = ρt u = ρt Sh
Hieraus folgt die Surjektivität für Testfunktionen mit Träger in O. Das analoge Ergebnis
erhält man für solche mit Träger in O0 , wenn man beachtet, daß auch diese kompakten
Träger in einem Doppelkegel O1 ⊂ O0 haben und dann die Ausbreitungseigenschaften von S
berücksichtigt.
6
TWISTED DUALITÄT
6.4
37
Der Satz von Foit
J. J. Foit hat einen nützlichen Satz über die abstrakte Twisted Dualität von Fermifeldern
bewiesen, der hier angewendet werden soll.
Definition 13: (Fockdarstellung der CAR bei Foit, Anhang in [7])
L∞
Sei H ein komplexer Hilbertraum, Γ(H) = n=0 Γn (H) der Fockraum über H. Γn (H) ist
| Die Erzeuger A(h)∗
das n-fache antisymmetrische Tensorprodukt von H mit Γ0 (H) := C.
und Vernichter A(h) sind in der üblichen Weise auf Γ(H) definiert und erfüllen die CAR,
insbesondere
{A(h), A(k)∗ } = (h, k)
(118)
Das Fermifeld ist als selbstadjungierter Operator auf Γ(H) definiert:
1
ΨF (h) := √ (A(h)∗ + A(h))
2
(119)
Es gilt
{ΨF (h), ΨF (k)} = <(h, k)
(< = Realteil)
(120)
In seiner Doktorarbeit über Twisted Dualität für freie Fermifelder“ beweist Foit den folgen”
den Satz.
Satz 24: (von J. J. Foit)
Sei M ⊂ H ein reeller abgeschlossener Unterraum von H und ΨF (h) das oben definierte
Fermifeld auf dem Fockraum Γ(H),
RF (M ) := {ΨF (h) : h ∈ M }00
(121)
die durch ΨF (h) erzeugte von-Neumann-Algebra und
M ⊥ := {h ∈ H : <(h, m) = 0, ∀m ∈ M }
(122)
das reelle Orthogonalkomplement von M . Dann gilt
0
RF (M )t = RF (M ⊥ )
(123)
Beweis: siehe [7]
Das Feld ΨK (k), k ∈ K, hat leider noch nicht die Eigenschaften von ΨF (h), da K nicht der
Einteilchenraum von F = Γ(H) ist. Es ist also noch etwas Arbeit notwendig, bis der obige
Satz seine Anwendung findet.
6
TWISTED DUALITÄT
6.5
38
Anschluß an Foit’s Notation
Aus den Zweipunktfunktionen von ΨK (k) erhält man zwei Skalarprodukte (·, ·)± mittels
(k, h)+
(k, h)−
:= ω (ΨK (k)∗ ΨK (h))
:= ω (ΨK (h)ΨK (k)∗ )
k, h ∈ K
(124)
(125)
mit ω(A) := (Ω, AΩ). Ω ist der Vakuumvektor in F. Es gilt offensichtlich
(k, h)K
(k, h)+
= (k, h)+ + (k, h)−
= (ΓK h, ΓK k)−
(126)
(127)
Wegen |(k, h)+ |2 ≤ (k, k)K (h, h)K folgt aus dem Riesz’schen Darstellungssatz die Existenz
eines Operators P mit (k, h)+ = (k, P h)K . Daß P hier sogar ein Projektor ist, wird in Anhang
C bewiesen.
Es gilt ΓK P = (I − P )ΓK , da
(k, ΓK P h)K = (P h, ΓK k)K = (h, ΓK k)+ = (k, ΓK h)− = (k, (I − P )ΓK h)K
Definition 14: Zu K kann man die folgenden Unterräume definieren:
K+ := P K
<K := {k ∈ K : k = ΓK k}
<K(M) := <K ∩ K(M)
(128)
(129)
(130)
K+ wird nachher der Hilbertraum sein, der mit Foits H identifiziert wird, während praktische
Rechnungen besser in <K ausgeführt werden. Daß dies möglich ist, rechtfertigt das folgende
Lemma.
Lemma
√ 25: Es existiert ein Isomorphismus reeller Hilberträume O : <K → K+ mit
Ok := 2P k, k ∈ <K. Man definiert dann lokale Unterräume von K+ durch
K+ (M) := O (<K(M))
(131)
Beweis: (der Index K wird hier unterdrückt)
• Isometrie:
(Ok, Ok)
= 2(P k, P k) = (P k, P k) + (P Γk, P Γk) = (P k, P k) + ((I − P )k, (I − P )k)
= (k, k)
Da sich das Skalarprodukt mit Hilfe der Parallelogrammgleichung als Summe von Normen
schreiben läßt, folgt (Ok, Ok 0 ) = (k, k 0 ).
• Injektivität: folgt aus Isometrie und Linearität von O.
• Surjektivität: sei h ∈ K+ , setze k :=
√1 (P h
2
+ ΓP h), es ist dann k ∈ <K und es gilt
Ok = P (P h + ΓP h) = P h + P (I − P )Γh = P h = h
6
TWISTED DUALITÄT
39
Definiert man nun die folgenden Feldoperatoren auf Γ(K+ )
Ξ(k) := A(P k)∗ + A(P ΓK k),
k∈K
(132)
dann kann man für diese mit Hilfe der Eigenschaften der Erzeuger und Vernichter, die folgenden Eigenschaften nachrechnen:
Ξ(ΓK k) = Ξ(k)∗
(133)
Antikommutatorrelation:
{Ξ(k)∗ , Ξ(k 0 )} = (k, k 0 )K
(134)
Zweipunktfunktion:
ω (Ξ(k)∗ Ξ(k 0 )) = (k, k 0 )+
(135)
Ξ(k) ist eine zyklische Fockdarstellung der CAR auf Γ(K+ ), während ΨK (k) eine zyklische
Fockdarstellung auf F = Γ(H) ist (vgl. Lemma ??). Sie haben dieselben algebraischen Eigenschaften und dieselben Zweipunktfunktionen, daß heißt beide Darstellungen sind wegen
der Eindeutigkeit der GNS-Darstellung isomorph.
Lemma 26:
{Ξ(k) : k ∈ K(O0 )}00
{ΨK (k) : k ∈ K(O0 )}00
= {Ξ(k)V : k ∈ K(O)}0
m
= {ΨK (k)V : k ∈ K(O)}0
(V ist der Kleinoperator, einmal auf Γ(K+ ) und einmal auf Γ(H))
Beweis: folgt aus obiger Isomorphie
Ferner gilt
Lemma 27:
{ΨK (k) : k ∈ K(O0 )}00
R (O0 )
= {ΨK (k)V : k ∈ K(O)}0
m
=
R (O)
t0
Beweis: Aus der Normstetigkeit von k 7→ ΨK (k) und ΨK (α(f )) = Ψ(f ) folgt
{ΨK (k) : k ∈ K(M)}00 = {Ψ(f ) : f ∈ T , suppf ⊂ O1 ⊂ M}00
(Definition 8)
= {Ψint (f ), Ψint (f )∗ : f ∈ T , suppf ⊂ O1 ⊂ M}00
6
TWISTED DUALITÄT
40
(Definition 6)
= R (M)
Gleiches gilt, wenn man den Kleinoperator mit in Betracht zieht, für die Twisted vonNeumann-Algebren.
Um den Anschluß an Foit’s Notation zu finden, wählt man also H = K+ , und es folgt
1
1
ΨF (h) = √ (A(h)∗ + A(h)) = √ Ξ(h + ΓK h),
2
2 | {z }
h ∈ K+
(136)
∈<K
Damit kann man daß nächste Lemma beweisen:
Lemma 28:
RF (K+ (O0 ))
{Ξ(k) : k ∈ K(O0 )}00
0
= RF (K+ (O))t
m
= {Ξ(k)V : k ∈ K(O)}0
Beweis: Da eine von-Neumann-Algebra von ihren selbstadjungierten Elementen erzeugt
wird, gilt
{Ξ(k) : k ∈ K(M)}00 = {Ξ(k) : k ∈ <K(M)}00
Wegen der Isomorphie von <K und K+ (Lemma 25) und da ΨF (h) = Ξ(h + ΓK h) ist
(Gleichung (136)), folgt
{Ξ(k) : k ∈ K(M)}00 = {ΨF (h) : h ∈ K+ (M)}00
Die Definition von RF (M ) (Gleichung (121)) gibt die Behauptung.
Man kommt zu dem Ergebnis, daß die Twisted Dualität der vom ausgeschmierten Feld erzeugten von-Neumann-Algebren äquivalent zur Twisted Dualität der von den Feldern ΨF (h),
h ∈ K+ erzeugten von-Neumann-Algebren ist:
Lemma 29:
RF (K+ (O0 ))
R (O0 )
= RF (K+ (O))t
m
=
R (O)
0
t0
Beweis: folgt durch Hintereinandersetzen von Lemma 26 bis 28
6
TWISTED DUALITÄT
6.6
41
Satz über die Twisted Dualität
Lemma 30:
K+ (O0 ) = K+ (O)⊥
(137)
Beweis: Der Hilbertraum L der Anfangsdaten (siehe Abschnitt 6.2) trägt ein einfaches Skalarprodukt (vergl. Gleichung (110)). Es ist daher klar, daß
<L(O C ) = <L(O )⊥
ist. Diese Identität läßt sich auch so interpretieren: das Feld zu fester Zeit ist im freien und
im wechselwirkenden Fall dasselbe, da die Anfangsdaten hier unabhängig von der Differentialgleichung gewählt werden können. Für das freie Fermifeld gilt die Twisted Dualität für
Doppelkegel aber bereits (vergl. [7]).
Aufgrund der Bogoliubov-Isomorphie von K(M) und L(M) (Satz 23) folgt
<K(O0 ) = <K(O)⊥
Die Isomorphie von K+ und <K über den Operator O, der reelle Skalarprodukte erhält
(Lemma 25), liefert
K+ (O0 ) = K+ (O)⊥
Der nächste Satz über die Twisted Dualität des Fermifeldes im äußeren Feld ist das Hauptergebnis dieses Kapitels. Mit seinem Beweis ist auch der Beweis der Gleichheit der vonNeumann-Algebren des ausgeschmierten Feldes und des Feldes am Punkt (Satz ??) abgeschlossen.
Satz 31:
(Twisted Dualität)
Es sein O ein Doppelkegel, dann gilt mit den Bezeichnungen aus Definition 6
R (O) = R (O0 )
t0
(138)
Beweis: Aus Lemma 30 folgt
RF (K+ (O0 )) = RF (K+ (O)⊥ )
ΨF (k), k ∈ K+ , erfüllt die Voraussetzungen des Satzes von Foit (Satz 24). Dieser kann also
hier angewendet werden. Er besagt:
0
RF (K+ (O))t = RF (K+ (O)⊥ )
Damit folgt
RF (K+ (O0 )) = RF (K+ (O))t
0
6
TWISTED DUALITÄT
42
Das ist nach Lemma 29 äquivalent zu
R (O0 ) = R (O)
t0
Bildet man davon die Twisted Kommutante, so erhält man wegen Gleichung (83) die Behauptung.
A
A
ABSCHÄTZUNGEN
43
Abschätzungen
Lemma 32: Sei k ∈ ZZ, dann gilt für alle p~, ~q ∈ IR3
|k|
1
k
(1 + |~
p − ~q|)
≤
(1 + |~q|)
(139)
k
(1 + |~
p|)
Beweis: i) Für k = 0 ist nichts zu zeigen.
ii) Sei nun k > 0. Für |~
p| ≥ |~q| gilt
|~
p − ~q| ≥ |~
p| − |~q| ≥ 0
Da a, b, c > 0 und a < b ⇒ a/b < (a + c)/(b + c) folgt durch Addition von |~q| in Zähler und
Nenner die Ungleichung
1
1 + |~q|
1
≤
≤
1 + |~
p − ~q|
1 + |~
p| − |~q|
1 + |~
p|
Wenn |~
p| < |~q| ist, gilt
|~
p − ~q| ≥ |~q| − |~
p| > 0
und damit hat man
1
1
1 + |~
p|
1 + |~q|
≤
≤
<1<
1 + |~
p − ~q|
1 + |~q| − |~
p|
1 + |~q|
1 + |~
p|
Wenn man positive Potenzen dieser Ungleichung nimmt und |k| = k ausnutzt, folgt
1
k
(1 + |~
p − ~q|)
≤
1 + |~q|
1 + |~
p|
|k|
k
≤
(1 + |~q|)
k
(1 + |~
p|)
Das Lemma ist damit für positive k bewiesen.
iii) Für negative k folgt die Behauptung unter Anwendung der Dreiecksungleichung aus
1 + |~
p − ~q| ≤ 1 + |~
p| + |~q| ≤ (1 + |~
p|) (1 + |~q|)
und potenzieren mit |k|, |k| = −k liefert das Lemma für negative k:
|k|
1
|k|
k
(1 + |~
p − ~q|)
= (1 + |~
p − ~q|)
|k|
≤ ((1 + |~
p|) (1 + |~q|))
Lemma 33: Sei k ∈ ZZ, dann gilt
Z
1
1

·
d~
p0
≤
k
k
|k|+4
0
(1 + |~
p |)
(1 + |~
p|)
(1 + |~
p − p~0 |)
=
(1 + |~q|)
k
(1 + |~
p|)
Z
mit  :=
d~q
1
4
(1 + |~q|)
(140)
OPERATOREN, DIE C ∞ (H0 ) INVARIANT LASSEN
B
44
Beweis:
Z
1
1
d~
p0
·
k
|k|+4
(1 + |~
p0 |)
(1 + |~
p − p~0 |)
(Substitution ~q := p~ − p~0 , ⇒ p~0 = p~ − ~q))
Z
1
1
= d~q
·
|k|+4 (1 + |~
p
− ~q|)k
(1 + |~q|)
(Lemma 32 anwenden, um
Z
≤
=
d~q
|k|+4
(1 + |~q|)
Z
k
(1 + |~
p|)
abzuschätzen)
|k|
1
1
1
(1+|~
p−~
q |)k
d~q
·
(1 + |~q|)
k
(1 + |~
p|)
1
4
(1 + |~q|)
Operatoren, die C ∞ (H0 ) invariant lassen
B
Lemma 34: (Operatoren, die C ∞ (H0 ) invariant lassen)
k
Es seien V (k) : DH
→ H, k ∈ IN, H0 k -beschränkte Operatoren mit der Eigenschaft
0
αt (V (k) )Φ − V (k) Φ
k+1
(k+1) lim
−V
Φ = 0 ∀Φ ∈ DH
0
t→0 t
(141)
Dann gilt
m
m
V (0) ≡ V : DH
→ DH
0
0
∀m ∈ IN
(142)
insbesondere
V : C ∞ (H0 ) → C ∞ (H0 )
(143)
und
V (m) Φ = (i)m [H0 , .. [H0 , V ] ..] Φ
|
{z
}
m
∀Φ ∈ DH
0
(144)
m-mal
Beweis: Im Verlauf des Beweises wird gebraucht, daß die Abbildung t 7→ αt (V (n) )Ψ stetig ist
n
n
für alle Ψ ∈ DH
. Dies wird zunächst bewiesen. Sei Ψ ∈ DH
, dann gilt folgende Abschätzung
0
0
kαt (V (n) )Ψ − V (n) Ψk
B
OPERATOREN, DIE C ∞ (H0 ) INVARIANT LASSEN
45
(Einsetzen von αt (A) = U (t)AU (−t), Einfügen eines Terms U (t)V (n) Ψ und Dreiecksungleichung)
≤ kU (t) V (n) U (−t)Ψ − V (n) Ψ k + kU (t)V (n) Ψ − V (n) Ψk
(kU (t)k = 1 und Ausklammern)
≤ kV (n) (U (−t) − I) Ψk + k(U (t) − I) V (n) Ψk
(nach Voraussetzung ist V (n) in folgender Weise beschränkt: es existieren positive reelle
n
Zahlen an und bn , so daß kV (n) X k ≤ an kH0 n X k + bn kX k ∀X ∈ DH
)
0
≤ an kH0 n (U (−t) − I) Ψk + bn k(U (−t) − I) Ψk + k(U (t) − I) V (n) Ψk
(H0 kommutiert mit U (t))
= an k(U (−t) − I) H0 n Ψk + bn k(U (−t) − I) Ψk + k(U (t) − I) V (n) Ψk
Es ist sowohl H0 n Ψ ∈ H als auch V (n) Ψ ∈ H, und die Abbildung t 7→ U (t)Φ ist stetig für
n
stetig.
alle Φ ∈ H, und damit ist dann auch t 7→ αt (V (n) )Ψ, wie behauptet, für alle Ψ ∈ DH
0
Der weitere Beweis wird durch Induktion nach m durchgeführt.
0
0
0
(m = 0): Es ist DH
= D(I) = H, nach Voraussetzung gilt also V : DH
→ DH
.
0
0
0
(m → m+1): Das Lemma sei für alle k ≤ m bewiesen. Betrachtet wird nun folgende Identität:
m+1
sei Φ ∈ DH
0
U (t) − I (m)
V
Φ
t
αt (V (m) )U (t)Φ − V (m) Φ
t
U
(t)
−I
αt (V (m) )Φ − V (m) Φ
Φ+
= αt (V (m) )
t
t
=
Gezeigt wird, daß der Limes t → 0 der rechten Seite existiert und wohldefiniert ist.
Nach Voraussetzung gilt für den zweiten Term
lim k
t→0
αt (V (m) )Φ − V (m) Φ
− V (m+1) Φk = 0
t
Für den ersten Term gilt
lim kαt (V (m) )
t→0
U (t) − I
Φ − V (m) iH0 Φk = 0
t
wegen folgender Abschätzung:
kαt (V (m) )
U (t) − I
Φ − V (m) iH0 Φk
t
B
OPERATOREN, DIE C ∞ (H0 ) INVARIANT LASSEN
46
(Einfügen von αt (V (m) )iH0 Φ und Dreiecksungleichung)
U (t) − I
(m)
≤ kU (t)V
U (−t)
Φ − iH0 Φ k + kαt (V (m) )iH0 Φ − V (m) iH0 Φk
t
U (t) − I
≤ V (m) U (−t)
Φ − iH0 Φ k + αt (V (m) ) − V (m) iH0 Φ k
| {z }
t
m
|
{z
}
∈DH
0
m
∈DH
0
(H0 m -Beschränktheit von V (m) )
U (t) − I
U (t) − I
≤ am kH0 m U (−t)
Φ − iH0 Φ k + bm kU (−t)
Φ − iH0 Φ k
t
t
+ k αt (V (m) ) − V (m) iH0 Φk
(H0 U (t) = U (t)H0 und kU (t)k = 1)
≤ am k
U (t) − I
U (t) − I m
H0 Φ − iH0 H0 m Φk + bm k
Φ − iH0 Φk
t
t
+ k αt (V (m) ) − V (m) iH0 Φk
Die ersten beiden Terme gehen gegen Null für t → 0 nach Definition von H0 , der letzte, da
m
wie oben gezeigt, t 7→ αt (V (m) )Φ stetig ist für alle Φ ∈ DH
.
0
Der Limes t → 0 von der obigen Identität kann also gebildet werden. Dabei ist die rechte
Seite per Definition von H0 gegeben durch
lim
t→0
U (t) − I (m)
V
Φ = iH0 V (m) Φ
t
und der Limes der Identität gibt die Gleichung
iH0 V (m) Φ = V (m) iH0 Φ + V (m+1) Φ
oder als Kommutatorgleichung
h
i
V (m+1) Φ = i H0 , V (m) Φ
In diese Gleichung wird für V (m) die Induktionsannahme
V (m) Ψ = (i)m [H0 , .. [H0 , V ] ..] Ψ
|
{z
}
m
∀Ψ ∈ DH
0
m-mal
eingesetzt und es folgt
V (m+1) Φ = (i)m+1 [H0 , .. [H0 , V ] ..] Φ
|
{z
}
m+1-mal
m+1
∀Φ ∈ DH
0
B
OPERATOREN, DIE C ∞ (H0 ) INVARIANT LASSEN
47
Insbesondere ist H0 m+1 V Φ wohldefiniert, daß heißt
m+1
m+1
V : DH
→ DH
0
0
Achtung: die Datei lpsiinv.tex fehlt!
Beweis: Der Beweis gliedert sich in zwei Schritte.
1. Sei v ∈ C ∞ (h0 ), dann erfüllt Φ(v) die Voraussetzung von Lemma 34, wobei Φ(v)(k) =
Φ(h0 k v), k ∈ IN, zu wählen ist. Mit diesem Lemma gilt dann Φ(v) : C ∞ (H0 ) → C ∞ (H0 ).
2. G(F ) ∈ C ∞ (h0 ), denn dann gilt wegen (1.)
Ψint (F ) = Φ(G(F )) : C ∞ (H0 ) → C ∞ (H0 )
zu 1.: Sei v ∈ C ∞ (h0 ), dann gilt, da Φ(·) ein beschränkter Operator ist, daß
k
Φ(h0 k v) : H ⊃ DH
→H
0
Ferner gilt für alle Ψ ∈ F
k
1 αt Φ(h0 k v) Ψ − Φ(h0 k v)Ψ − Φ(h0 k+1 v)Ψk
t
(die Zeittranslation auf dem Fockraum ist mit der auf dem Einteilchenraum verknüpft durch
αt (Φ(v)) = Φ(vt ))
=k
1 k Φ [h0 v]t Ψ − Φ(h0 k v)Ψ − Φ(h0 k+1 v)Ψk
t
(Antilinearität von Φ ausnutzen)
= kΦ
1
[h0 k v]t − h0 k v − h0 k+1 v Ψk
t
(kΦ(v)k = kvkH )
≤k
1 k
[h0 v]t − h0 k v − h0 k+1 vkH kΨk
t
Da v ∈ C ∞ (h0 ) ist, existiert der Limes t → 0 der Abschätzung und die Norm geht per
Definition von h0 gegen Null. Damit sind die Vorraussetzungen von Lemma 34 erfüllt.
4
zu 2.: Sei F ∈ S IR4 , dann gibt es nach Lemma 7 ein λ, so daß für alle m ∈ ZZ gilt
[G(F )]i (~
p) ≤
λ
(1 + |~
p|)m
C
P ALS PROJEKTOR
48
Da h0 auf H durch Multiplikation mit Ep wirkt, gilt
XZ 2
k
2
kh0 G(F )k =
d~
p (Ep )k [G(F )]i (~
p)
i,
≤
XZ
i,
2
λ
k
d~
p (Ep )
(1 + |~
p|)m Wähle m = k + 2, dann ist die Norm endlich abgeschätzbar und es gilt G(F ) ∈ D(h0 k ) für
alle k ∈ IN, also G(F ) ∈ C ∞ (h0 ).
C
P als Projektor
Hier wird gezeigt, daß der Operator P des Skalarprodukts (h, k)+ = (h, P k)K ein Projektionsoperator ist. G sei der in Lemma 7 definierte Operator G : T → H, α die in Lemma 19
definierte kanonische Involution α : T × T̂ → K. Das Skalarprodukt auf K läßt sich dann
wie folgt als Summe von Skalarprodukten auf H schreiben. Seien f , g ∈ T
(α(f ), α(g))K = Ψ(f )∗ , Ψ(g)
(es gilt Ψ(f ) = Ψint (fˆ1 )∗ +Ψint (fˆ2 ) = Φ(Gγ 0 f1 )∗ +Φ(Gγ 0 f2 ) nach Definition 8 und Definition
des ausgeschmierten Feldes)
= Φ(Gγ 0 f1 ) + Φ(Gγ 0 f2 )∗ , Φ(Gγ 0 g1 )∗ + Φ(Gγ 0 g2 )
(Vertauschungsrelationen von Φ(v) anwenden)
= (Gγ 0 f1 , Gγ 0 g1 )H + (Gγ 0 g2 , Gγ 0 f2 )H
(es gilt (g, f )H = (fˆ, ĝ)H )
d
d
0 f , Gγ
0g )
= (Gγ 0 f1 , Gγ 0 g1 )H + (Gγ
2
2 H
(α(f ), α(g))K = (Gγ 0 f , Gγ 0 g)H⊕Ĥ
(145)
Gγ 0 ist also abschließbar zu einer Isometrie V : K → H ⊕ Ĥ, insbesondere wegen der Linearität also injektiv. Nach Lemma ?? liegt GT dicht in H, daher ist V auch surjektiv. K
und H ⊕ Ĥ sind also isomorphe Phasenräume, denn analog zu K kann auch auf H ⊕ Ĥ eine
antilineare Involution definiert werden, die dann auch mit V vertauscht. Es gilt daher
(k, k 0 )K = (V k, V k 0 )H⊕Ĥ ,
k, k 0 ∈ K
Nun kann man zeigen, daß P ein Projektor ist:
(α(f ), P α(g))K = (α(f ), α(g))+
(146)
C
P ALS PROJEKTOR
49
= (Ω, Ψ(f )∗ Ψ(g)Ω)
= (Ω, Φ(Gγ 0 f1 ) + Φ(Gγ 0 f2 )∗
Φ(Gγ 0 g1 )∗ + Φ(Gγ 0 g2 ) Ω)
(Φ(v) = a(P+ v) + b(P− v)∗ ; der Vakuumerwartungswert ist nur dann von Null verschieden,
wenn ein Vernichter und ein Erzeuger gleicher Sorte aufeinanderfolgen)
= (Ω, a(P+ Gγ 0 f1 ) + b(P− Gγ 0 f2 ) a(P+ Gγ 0 g1 )∗ + b(P− Gγ 0 g2 )∗ Ω)
= (Gγ 0 f1 , P+ Gγ 0 g1 )H + (Gγ 0 g2 , P− Gγ 0 f2 )H
d
0f , P d
0
= (Gγ 0 f1 , P+ Gγ 0 g1 )H + (Gγ
2
− Gγ g2 )H
Es folgt also
(k, P k 0 )K = (V k, P+ ⊕ P− V k 0 )H⊕Ĥ ,
k, k 0 ∈ K
P = V −1 P+ ⊕ P− V ist also eine Projektion.
(147)
LITERATUR
50
Literatur
[1] Ruijsenaars, S.N.M.: On Bogoliubovtransformations for Systems of Relativistic Charged
Particles, J. Math. Phys. 18, 517-526 (1977)
[2] Ruijsenaars, S.N.M.: Charged Particles in External Fields. I, J. Math. Phys. 18, 720-737
(1977)
[3] Ruijsenaars, S.N.M.: Charged Particles in External Fields. II, Commun. Math. Phys.
52, 267-294 (1977)
[4] Wightman, A.S., Gårding, L.: Fields as Operator-Valued Distributions in Relativistic
Quantum Theory, Arkiv för Fysik 28, 129-184 (1965)
[5] Hertel, J.: Lokale Quantentheorie und Felder am Punkt, Interner Bericht, DESY T81/01, Januar 1981
[6] Fredenhagen, K., Hertel, J.: Local Algebras of Observables and Pointlike Localized
Fields, Commun. math. Phys. 80, 555-561 (1981)
[7] Foit, J.J.: Twisted-Dualität für freie Fermifelder, Dissertation, Osnabrück (1983)
[8] Dimock, J.: Scalar Quantum Field in an External Gauge Field, J. Math. Phys. 20(8),
1791-1796 (1979)
Danksagung
Herrn Prof. J. E. Roberts und Herrn Dr. C. Lüders möchte ich besonders herzlich für die
vielen Gespräche und die itensive Betreuung meiner Diplomarbeit danken.