5 Harmonische Funktionen

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Harmonische Funktionen
Generell kann man die allgemeine Lösung des elektrostatischen Randwertproblems
auch als Summe einer speziellen Lösung der Poisson-Gleichung und einer Lösung
der Laplace-Gleichung schreiben, wobei die Lösung der Laplace-Gleichung für die
Erfüllung der Randbedingungen Sorge trägt:
φ(r) = φspeziell (r) + φhomogen (r).
Als spezielle Lösung kann das Helmholtz-Integral herhalten:
Z
ρ(r 0 )
φspeziell =
dV 0 .
0
V |r − r |
Die homogene Lösung muss dann neben der Laplace-Gleichung
∆φhomogen = 0
die Randbedingung
φhomogen |∂V = φ0 − φspeziell |∂V
bzw.
erfüllen.
5.1
∂φhomogen σ(r) ∂φspeziell =
−
−
∂n0
0
∂n0
∂V
∂V
Harmonische Funktionen
Es ist offensichtlich, dass die Lösungen der Laplace-Gleichung eine wichtige Rolle in
der Elektrostatik spielen.
Man bezeichnet die Lösungen der Laplace-Gleichung
∆φ = 0
als harmonische Funktionen.
5.1.1
Eindimensionale Laplace-Gleichung
d2 φ
=0
dx2
Lösung: Gerade
φ(x) = mx + b
Eigenschaften der Geraden:
An jedem Punkt x ist φ(x) durch den Mittelwert von φ an zwei benachbarten Punkten
gegeben:
1
φ(x) = [φ(x + R) + φ(x − R)].
2
φ hat keine lokalen Maxima oder Minima. Extrema von φ gibt es höchstens an den
Endpunkten des betrachteten Intervals (eindimensionales Volumen).
5.1.2
Zweidimensionale Laplace-Gleichung
∂2φ ∂2φ
+ 2 =0
∂x2
∂y
Zweidimensionale Potentialprobleme entstehen, wenn ein dreidimensionales System
in einer Richtung translationsinvariant ist.
Zur Lösung zweidimensionaler Probleme bedient man sich oftmals differenzierbarer
komplexer Funktionen. Zu diesem Zweck wird die xy-Ebene mittels
z = x +iy
auf die komplexe Zahlenebene abgebildet.
Eine komplexe Funktion
f (z) = f (x + i y) = u(x, y) + i v(x, y)
läßt sich als Summe aus Realteil u(x, y) und Imaginärteil i v(x, y) darstellen mit reellen
Funktionen u und v.
Eine komplexe Funktion ist differenzierbar in z0 , wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten
f (z) − f (z0 )
lim
z→0
z − z0
für jede beliebige Annäherung an z0 existiert und den gleichen Wert hat.
Insbesondere muss dann gelten






wobei ux =
∂u
, etc.
∂x
df
=
dz 




f (z0 + ∆x) − f (z0 )
= ux + ivx
∆x→0
∆x
,
f (z0 + i ∆y) − f (z0 )
= −i uy + vy
lim
∆y→0
i∆y
lim
Daraus ergeben sich für die partiellen Ableitungen von u und v die Cauchy-Riemann’schen
Differentialgleichungen
ux = v y
und
uy = −ux .
(Beachte: die Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen entsprechen der Bedingung verschwindender Rotation des elektrischen Feldes in drei Dimensionen.)
Nach zweifacher Differentiation folgt unter Berücksichtigung der Vertauschbarkeit
der partiellen Ableitungen:
∆u = uxx + uyy = 0
und
∆v = vxx + vyy = 0,
d.h. jede komplex differenzierbare Funktion f (z) stellt eine Lösung der LaplaceGleichung dar.
Wegen
∇u · ∇v = ux vx + uy vy = 0
stehen die Linien u =const und v =const senkrecht aufeinander.
Betrachtet man den Realteil u des komplexen Potentials f als elektrostatisches Potential, dann bilden die Linien konstanten u Äquipotentiallinien. Entsprechend repräsentieren die Linien konstanten v in diesem Fall die Feldlinien des Problems.
Betrachte als Beispiel das komplexe Potential
f (z) = −
λ
ln(z).
2π0
In Polarkoordinaten ist
z = reiϕ
und
ln(z) = ln(r) + iϕ.
Das Potential
λ
ln(r)
2π0
ist das Potential eines unendlich langen Drahtes in z-Richtung, dessen Ladung pro
Längeneinheit λ beträgt. Der Imaginärteil ist
u=−
v=−
λ
ϕ.
2π0
Dem entsprechend repräsentieren die Linien ϕ = const die Feldlinien des Drahtes.
Der Betrag des elektrischen Feldes ist durch
E=
λ 1
= |f 0 (z)|
2π0 r
gegeben.
Randwertproblem in zwei Dimensionen
Beispiel: Streufeld eines Plattenkondensators
y
yo
x
−yo
Wenn y = ±y0 für x < 0 Äquipotentiallinien sein sollen, ist es zweckmäßig, einen
impliziten Ansatz für das Potential zu machen:
z = 1 + i f + ei f .
Dieser Ansatz begründet sich darauf, dass für einen Draht (hier die Kante des Kondensators) f = ln(z) gilt und das Potential eines homogenen elektrischen Feldes in
y-Richtung durch das komplexe Potential f = iE0 z beschrieben werden kann.
Trennung nach Real- und Imaginärteil liefert
x = 1 − v + e−v cos(u)
y = u + e−v sin(u).
Die Spannung u auf den Kondensatorplatten betrage ±π. Dies ist für
x = 1 − v − e−v
und
y = ±π
erfüllt.
Da e−v > 1 − v für alle v, sind diese Äquipotentialflächen in der Tat zwei parallele
Halblinien x < 0, y = ±π.
Man kann nun v eliminieren und erhält:
x = 1 + ln(y − u) − ln(sin(u)) + (y − u) cot(u).
x = x(y) gibt dann die Äquipotentiallinien für die Spannungen −π < u < π an.
5.1.3
Dreidimensionale Laplace-Gleichung
Die harmonischen Funktionen in drei Dimensionen haben ähnliche Eigenschaften wie
wie die Gerade.
Mittelungseigenschaft:
Der Wert von φ an einem Punkt P ist der Mittelwert von φ über eine Kugeloberschale,
die um P zentriert ist.
Beweis:
Benutze ein Koordinatensystem, welches seinen Ursprung in P hat.
∆φ = 0 impliziert, daß ρ = 0 innerhalb einer Kugel vom Radius R.
Auswertung der formalen Lösung der Poisson-Gleichung mit r = 0 liefert:
1
⇒ φ(0) =
4π
I
df
S
0
"
#
1 ∂
∂ 1
φ(r 0 ) − φ(r0 ) 0 0 .
0
0
r ∂n
∂n r
Nun ist:
I
1 ∂
1
df 0 · (∇φ(r 0 ))
df 0 0 φ(r0 ) =
r ∂n
R S
S
Z
1
dV 0 ∇ · (∇φ(r 0 ))
=
R V
Z
1
dV 0 ∆φ(r 0 ) = 0
=
R V
0
I
1
⇒ φ(0) = −
4π
I
S
df 0 φ(r 0 )
∂ 1
∂n0 r 0
∂ 1
1
∂ 1
= 0 0 = − 02
0
0
∂n r
∂r r
r
1
⇒ φ(0) =
4πR2
I
S
df 0 φ(r 0 ).
Aus dieser Mittelungseigenschaft folgt sofort, daß φ im Innern des betrachteten
Volumens keine Extrema aufweisen kann.