Additionstheoreme 1 Herleitung: Additionstheoreme Gesucht sind

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Additionstheoreme
Herleitung: Additionstheoreme
Gesucht sind die Strecken im Dreieck ABC:
sin(α + β) = BC = BG + CG und cos(α + β) = AC = AF − CF
(i) Zeichne ein rechtwinkliges ∆ABC mit Hypothenuse 1 und teile den Gesamtwinkel in α, β.
(ii) Auf die Teilungsgerade des Winkels zeichnen wir von B aus den Normalabstand ein (das
ergibt Punkt E), so haben wir das rechtwinklige ∆ABE mit β. Von E normal auf die Trägergerade
AC ergibt Punkt F, so erhalten wir das rechtwinklige ∆AF E mit α.
(iii) Im ∆ABE ist BE = sin(β) und AE = cos(β). Weiters ist das ∆BGE ähnlich zum ∆AF E ,
wodurch der Winkel α bei A gleich bei B ist! (vgl. Normalwinkel)
(iv) Somit gilt mit dem ∆BGE :
BG = cos(α) · sin(β) und mit dem ∆AF E : GC = EF = sin(α) · cos(β) ⇒
sin(α + β) = EF + BG = sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β)
Wenn wir den negativen Winkel auftragen (gegen den Uhrzeigersinn) verändert sich das Vorzeichen beim Cosinus nicht, aber beim Sinus im IV. Quadranten: also mit (−β) erhalten wir mit
sin(−β) = − sin β und cos(−β) = cos β für die Differenz
sin(α + (−β)) = sin(α) · cos(−β) + cos(α) · sin(−β) = sin(α) · cos(β) − cos(α) · sin(β)
(v) Mit dem ∆BGE : GE = CF = sin(α) · sin(β) und mit dem ∆AF E : AF = cos(α) · cos(β) ⇒
cos(α + β) = AF − CF = cos(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β)
Wieder mit dem negativen Winkel für beta: cos(α − β) = cos(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β)
Zusammenfassend können wir also schreiben:
sin(α ± β) = sin(α) · cos(β) ± cos(α) · sin(β)
cos(α ± β) = cos(α) · cos(β) ∓ sin(α) · sin(β)