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Übung zur Vorlesung PNII
“Physik für Chemiker”
Wintersemester 2007/08
Nadja Regner und Thomas Schmierer, Department für Physik, LMU München
Weihnachten, Zeit der Liebe, der Besinnlichkeit und des Physiktutoriums
Ein bedeutender Teil des Semsters ist bereits vorbei und nach Weihnachten stehen nur noch
vier Übungsblätter auf dem Programm. Ein guter Zeitpunkt um das bisher vollbrachte noch
einmal Revue passieren zu lassen!
Lineare Bewegungen (eindimensional)
Die Änderung des Ortes mit der Zeit nennt man Geschwindigkeit v = dx
. Die Änderung der
dt
dv
Geschwindigkeit mit der Zeit heisst Beschleunigung a = dt .
Oder anderst herum ausgedrückt:
Die Geschwindigkeit ergibt sich durch Integration der Beschleunigung im betrachteten Zeitintervall plus die Anfangsgeschwindigkeit. Ist die Beschleunigung konstant, also nicht von der
Zeit abhängig, gilt der einfache Zusammenhang ∆v = a · ∆t (Linear beschleunigte Bewegung).
Ist die Beschleunigung 0 ändert sich die Geschwindigkeit nicht.
Der Ort ergibt sich durch Integration der Geschwindigkeit plus den Anfangsort. Ist die Geschwindigkeit konstant, d.h. wenn keine Beschleunigung vorliegt, so gilt die einfache Form
∆x = v · ∆t.
Beachte: Von der Beschleunigung zum Ort muss zwei mal über die Zeit integriert werden. Ist
die Beschleunigung zeitlich konstant, so gelten folgende Formeln:
∆v = a0 · ∆t
1
∆x = v0 · ∆t + a0 · ∆t2
2
2
(∆v) = 2a0 · ∆x
Allgemein handelt es sich bei Geschwindigkeit und Beschleunigung um Vektoren!. Die Bewegungen in x-,y- und z-Richtung beeinflußen sich nicht! Da die Geschwindigkeit die Ableitung
des Ortsvektors ist, bildet sie die Tangente an die Wegfunktion. Ebenso verhält es sich mit der
Beschleunigung. Sie ist die Ableitung der Geschwindigkeit und bildet somit die Tangente an
die Geschwindigkeitsfunktion.
Aufgabe:
Ein Ball der Masse m = 500 g wird unter dem Winkel Φ = 60◦ zur Horizontalen geworfen.
Seine horizontale Anfangsgeschwindigkeit beträgt v = 10 ms . Wie hoch fliegt der Ball und in
welcher Entfernung vom Werfer landet er auf dem Boden? Der Ball fliegt in einer Höhe von
h = 1, 80 m los.
Kräfte
Im Abschnitt “Lineare Bewegung” haben wir bereits gesehen, dass ohne Beschleunigung keine
Geschwindigkeitsänderung auftritt. Der Körper behält seine Anfangsgeschwindigkeit bei. Um
einen Körper zu beschleunigen bedarf es einer Kraft. Den Proportionalitätsfaktor zwischen
Kraft F~ und Beschlunigung ~a bildet die Masse m:
F~ = m · ~a
Beachte, die Masse ist nicht gleichbedeutend mit Gewicht. Die Masse ist eine universelle Eigenschaft eines Körpers. Das Gewicht hängt von der Gravitationskraft ab die auf einen Körper
wirkt (Auf dem Mond “wiegt” man weniger, die Masse ist aber die gleiche).
Das dritte Axiom für Kräfte heisst “actio=reactio”. Jeder Körper der eine Kraft auf einen zweiten Körper ausübt erfährt selbst die entgegengesetzte Kraft (Zieht man eine Kiste an einem
Seil wird man selbst Richtung Kiste gezogen. Deshalb muss man sich beim Ziehen nach hinten
lehnen.).
Kräfte addieren sich vektoriell! Die resultierende Kraft, die durch Addition aller Kräfte entsteht
beschleunigt den Körper. Die beiden in dieser Vorlesung wichtigsten Kräfte sind
die Gewichtskraft
F~ = m · ~g
und die Kraft einer Feder
F~ = −D · ~x
Die Gravitationskraft in der obigen Form gilt nur in der Nähe der Erdoberfläche, die allgemeine
Form kommt im nächsten Abschnitt.
Die Kraft einer Feder wirkt immer entgegengesetzt zur Auslenkung da die Feder in ihre Ruheposition zurück möchte. Deshalb auf keinen Fall das “−” vergessen. D ist die sogenannte
Federkonstante.
Aufgabe:
Ein Hundeschlitten der Masse m = 200 kg wird von zwölf Huskies gezogen. Jeder Husky zieht
in eine etwas andere Richtung an seinem Geschirr. Die Kraftvektoren der Huskies (in 10 N)
sind:
!
!
!
!
!
!
1, 5
2, 8
2
2, 1
0, 5
2, 2
,
,
,
,
,
,
2, 8
−1
2, 1
−2
3
−2
1, 4
2, 7
!
,
3
−0, 7
!
,
1, 6
1, 9
!
,
2, 5
2, 1
!
,
2, 1
2, 3
!
,
2, 6
−1, 1
!
Wie ist die Beschleunigung des Schlittens? Wie lange dauert es bis er eine Geschwindigkeit von
10 ms hat?
Gravitation
Massen ziehen sich aufgrund der Gravitationskraft gegenseitig an. Die Kraft wirkt jeweils entlang der Verbindungslinie der Körper (Beachte: auch hier gilt natürlich dass sich Kräfte vektoriell addieren!). Die Formel für die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern mit den Massen
m1 und m2 lautet
m1 m2
F~G = −G 2 e~r
r
Das Minus kommt daher dass die Gravitationskraft immer anziehend ist, die Koordinate ~r aber
üblicherweise nach außen zeigt. G heisst die Gravitationskonstante.
In der Nähe der Erdoberfläche ändert sich r und damit Gravitationskraft kaum. Deshalb wird
für solche Probleme normalerweise die Erdbeschleunigung g verwendet
g = −G
mErde
r2
Die Kraft (Gewichtskraft) die auf einen Körper wirkt kann damit relativ einfach als
F =m·g
geschrieben werden (Auf die Vektorpfeile wurde der Übersichtlichkeit wegen verzichtet, die Erdbeschleunigung muss aber natürlich in Richtung Erdmittelpunkt zeigen). Da nach Einstein die
schwere Masse gleich der trägen Masse ist wird ein Körper im freien Fall (und ohne Luftwiderstand) mit a = g beschleunigt.
Reibung
Berührt ein beschleunigter Körper den Untergrund, so wird die Beschleunigung aufgrund der
Reibung zwischen beiden verringert. Die wirkende Reibungskraft wirkt immer der Bewegung
und damit der beschleunigenden Kraft entgegen. Ihr Betrag hängt von der materialspezifischen
Reibungszahl µ und dem Betrag der Normalkraft ab. Die Normalkraft ist die Kraft die den
Körper auf die Fläche presst.
F~R = −µ · e~x · |F~N |
Hierbei ist e~x die Richtung in die beschleunigt wird. Unter Beachtung der oben genannten
Eigenschaften der Reibungskraft genügt es mit den Beträgen zu rechnen:
FR = µ · FN
Aufgabe:
Zwei Holzklötze liegen auf einem Tisch und sind miteinander durch eine Schnur verbunden.
Nun rutscht der eine Klotz mit m1 = 100 g über die Tischkante und fällt nach unten. Sein Fall
wird durch den zweiten Klotz mit m2 = 250 g, der noch auf dem Tisch liegt, gebremst. Die
Reibungszahl beträgt µ = 0, 2. Wie groß ist die Beschleunigung der beiden Holzklötze?
Arbeit bzw. Energie
Die Energie ist eine Erhaltungsgröße. Das bedeutet Energie geht nicht verloren und entsteht
nicht, es können nur verschiedene Energieformen ineinander umgewandelt werden. Arbeit und
Energie dürfen in dieser Vorlesung analog verwendet werden. Arbeit ist definiert als:
W (a, b) =
Z b
F~ (~r) · d~r
a
Verschiedene Kräfte haben wir schon kennengelernt, für diese wollen wir jetzt noch die zugehörigen Energien suchen:
Die Gravitationskraft in der allgemeinen sowie der vereinfachten Form für die Erdoberfläche
liefert die potentielle Energie:
Z b
m1 m2
1 1
F~G = −G 2 e~r ⇒ E =
F~G · d~r = G · M · m( − )
r
b a
a
F~g = m · g ⇒ Epot = m · g · h
Außerdem die Bewegungs- oder kinetische Energie:
Z
Z
dx
dv
dv
1
F = m · a = m · 2 ⇒ Ekin = m ·
· dx = m · v · dt = m · v · dv = m · v 2
dt
dt
dt
2
Und zu guter letzt noch die Energie einer gespannten Feder:
1
F = −D · x ⇒ E = Dx2
2
Dies sind nur einige der vielen verschiedenen Energien. Wie schon gesagt ist die Energie eine
Erhaltungsgröße. Dennoch kann nicht in jeder Aufgabe mit Energieerhaltung gerechnet werden.
Energie kann zwar nicht verschwinden, sie kann jedoch in Energien umgewandelt werden die
für uns nicht messbar sind wie Wärme, Deformierung, etc. Ein Beispiel hierfür sind inelastische
Stöße. Das bedeutet, nur bei elastischen Stößen können wir mit Energieerhaltung rechnen! Auch
Reibung ist ein typisches Phänomen durch das Energie “verloren” geht.
Aufgabe:
Ein Bungee-jumper der Masse m = 75 kg steht auf einer 60 m hohen Brücke. Als er sich nach
unten fallen lässt befindet er sich zunächst im freien Fall. Nach 30 m beginnt sich das Seil mit
der Federkonstanten D = 185 kg
zu dehnen. Geben sie an welche Energieformen ineinander
s2
umgewandelt werden. In welcher Enternung vom Boden befindet sich der Umkehrpunkt? In
welcher Höhe befindet sich die Gleichgewichtslage in der der Springer nach dem Abklingen der
Schwingung hängen bleibt?
Impuls
Der Impuls ist ebenfalls eine Erhaltungsgröße. Im Gegensatz zur Energieerhaltung können
wir die Impulserhaltung sowohl beim inelastischen als auch beim elastischen Stoß verwenden.
Der Impuls ist außerdem eine vektorielle Größe. Dies bedeutet auch dass der Impuls in jede
Raumdimension erhalten ist ! ! ! Der Impuls ist definiert als:
p~ = m~v
Eine Impulsänderung kann nicht nur durch einen Stoß erfolgen, sondern auch durch eine über
einen Zeitraum anliegende Kraft:
Z
∆~p = F~ (t)dt
Drehbewegungen
Für jede Größe der linearen Bewegung gibt eine analoge Größe der Drehbewegung. Ersetzt man
die Größen in den Gleichungen die für lineare Bewegungen gelten, so erhält man die korrekten
Gleichungen für die Drehbewegung.
Für einen Punkt der um ein Zentrum rotiert gilt:
2πr
2π
= ωr ← ω =
T
T
v=
Er muss in der Umlaufdauer T den Umfang der Kreisbahn 2πr auf der er sich befindet zurücklegen.
ω, die Winkelgeschwindigkeit ist eigentlich eine vektorielle Größe die senkrecht auf der Rotationsebene steht und diese somit festlegt.
Damit sich ein Körper auf einer Kreisbahn bewegt muss die Zentripetalkraft F~Z aufgewendet
werden:
v2
F~Z = m = mω 2 r
r
Der Drehimpuls ist nach Energie und Impuls eine weitere wichtige Erhaltungsgröße, die sogar
(wie schon in der Übung gesehen) bei linearen Bewegungen erhalten ist:
~l = m · ~r × ~v
Die analoge Größe zur Masse bei linearen Bewegungen ist das Trägheitsmoment. Dies ist ein
Tensor der jedem Rotationsvektor ω
~ einen Drehimpulsvektor ~l zuordnet:
~l = Θ~ω
Das Trägheitsmoment ergibt sich durch Summation beziehungsweise Integration über alle Massepunkte gewichtet mit dem Quadrat des Abstands:
Θ=
X
mi ri2 ↔ Θ =
i
Z
r2 dm
m
Betrachten wir einfache Rotationen in einer Ebene, so können wir von den Vektoren zu Skalaren
übergehen. Aus dem Trägheitsmomenttensor wird dann ebenfalls ein Skalar:
lx = Θx · ω
Das Trägheitsmoment ist dann einfach gegeben als Θx = m · x2 .
Bei linearen Bewegungen führt eine Kraft zu einer Beschleunigung des Schwerpunkts, also zu
~ = ~rx~F zu einer Änderung
einer Impulsänderung. Bei Drehbewegungen führt ein Drehmoment D
der Rotationsgeschwindigkeit, also zu einer Drehimpulsänderung. Wie Kräfte können natürlich
auch Drehmomente addiert werden, nur das resultierende Drehmoment ändert den Drehimpuls.
Auch die Energie die in einem rotierenden Körper steckt kann durch Korrespondenz zur linearen
Bewegung ermittelt werden:
1
1
Ekin = mv 2 ⇔ Erot = Θω 2
2
2
Hydrodynamik
Wichtige Größen in der Hydrodynamik sind die Dichte ρ =
Flüssigkeiten ist der Druck isotrop.
Der Druck einer Flüssigkeitssäule ist:
m
V
und der Druck p =
F
.
A
In
p=ρ·g·h
Befindet sich ein Körper in einem umgebenden Medium erfährt er außer der Gewichtskraft
FG auch eine Auftriebskraft FA . Diese Auftriebskraft kommt durch die Verdrängung einer
bestimmten Masse des Mediums zustande. Damit ein Körper schwimmt, muss die Auftriebskraft
gleich groß sein wie seine Gewichtskraft. Dies bedeutet, wenn wir von einem Medium der Dichte
ρ ausgehen:
mK = ρ · V
Hierbei soll mK die Masse des Körpers sein, den wir schwimmen lassen wollen. Dann ist V
das Volumen des Mediums das vom Körper beim Schwimmen verdrängt wird. Das restliche
Volumen des Körpers ragt aus der Oberfläche heraus.
Die Bernoulligleichung ist wahrscheinlich “die” Gleichung der Hydrodynamik:
1
ρ · v 2 + ρ · g · h + p = konstant
2
Das bedeutet, der Gesamtdruck eines fließenden Systems ist überall gleich. p ist hier der statische Druck, 21 ρ · v 2 der dynamische Druck und ρ · g · h der Schweredruck. Entgegen der Intuition
nimmt der Druck also ab wenn sich die Fließgeschwindigkeit aufgrund einer Einengung erhöht!
Reibung wird dabei nicht berücksichtigt.
Für die Reibung von kugelförmigen Körpern in Flüssigkeiten gilt das Stokes’sche Reibungsgesetz F~R = −6πηr~v .
Aufgabe:
Ein Heissluftballon “fährt” in einer Höhe von h = 300 m über Grund. Das Gewicht der Hülle
und des Korbes zusammen mit der Besatzung beträgt m = 400 kg bei einem Volumen von
V = 4000 m3 . Bei betätigen des Brenners beginnt der Ballon mit einer Beschleunigung von
a = 0, 2 sm2 zu steigen. Dabei ändert sich natürlich das Volumen des Ballons nicht, warum steigt
kg
der Ballon dennoch? Die Dichte der umgebenden Luft beträgt ρL = 1, 2 m
3 , welche Dichte muss
die Luft im Ballon aufweisen?
Schwingungen
Wird ein an einer Feder hängender Körper ausgelenkt und losgelassen, so führt er eine Schwingung aus. Die Beschleunigung nach dem loslassen hängt natürlich von seiner Masse ab Fa = m·a.
Die Kraft die ihn beschleunigt ist durch die Federkraft gegeben FD = −D · x. Da die Federkraft
für seine Beschleunigung verantwortlich ist können wir beide gleichsetzen:
m · a = −D · x
2
Aus dem ersten Kapitel wissen wir bereits dass a = ddt2x . Setzen wir dies ein, so sehen wir das
in der Gleichung sowohl x vorkommt als auch die zweite Ableitung von x nach der Zeit. So
etwas nennt man Differentialgleichung. Die Aufgabe ist es nun eine Funktion x(t) zu finden,
die die Differentialgleichung erfüllt. Obige Differentialgleichung kann durch eine komplexe Exponentialfunktion sowie den Sinus oder Cosinus gelöst werden. Man nennt diesen Spezialfall
harmonische Schwingung.
x(t) = x0 · ei(ωt−φ)
x(t) = x0 · cos(ωt − φ) ↔ x(t) = x0 · sin(ωt − φ)
x0 ist hierbei die Amplitude der Schwingung, ω = 2π
die Kreisfrequenz und φ die PhasenverT
schiebung. Diese Größen hängen offensichtlich nicht voneinander ab! Wie weit der Körper am
Anfang ausgelenkt wird hat also keinen Einfluss auf die Schwingungsdauer. Setzt man nun eine
dieser Funktionen in die Differentialgleichung ein und führt die Ableitungen aus, so kommt man
auf folgende Formel für die Kreisfrequenz:
s
ω=
D
m
Die Energieverteilung bei einer solchen Schwingung osziliert zwischen kinetischer Energie und
Spannenergie. Ist der schwingende Körper Reibung ausgesetzt, so nennt man die Schwingung
gedämpft. In diesem Fall muss zur Differentialgleichung noch der entsprechende geschwindigkeitsabhängige Reibungsterm hinzugefügt werden:
m
dx
d2 x
+
2ρ
+ Dx = 0
dt2
dt
Hier ist ρ der Faktor der die Abhängigkeit der Reibungskaft von der Geschwindigkeit beschreibt.
Lösen lässt sich diese Differentialgleichung durch folgende Funktion:
−ρt
x(t) = x0 · e
q
· cos( ω02 − ρ2 · t − φ)
Es ergibt sich also wieder eine periodische Schwingung deren Amplitude mit der Zeit abnimmt.
Zu guter letzt wollen wir noch eine getriebene Schwingung betrachten. Hierzu muss die zeitabhängige
Antriebskraft F (t) = u0 · cos(ωt) auch noch zur Differentialgleichung hinzugefügt werden:
m
d2 x
dx
+ 2ρ + Dx = u0 · cos(ωt)
2
dt
dt
Die Lösung dieser Differentialgleichung ist etwas komplizierter als bisher:
ω02 u0
x(t) = q
cos(ωt − φ)
(ω02 − ω 2 )2 + (2ρω)2
Dies sieht sehr kompliziert aus, lässt sich ewas übersichtlicher gestalten wenn man den zeitunabhängigen Vorfaktor zu einer Amplitude A zusammenfasst:
ω02 u0
A= q
(ω02 − ω 2 )2 + (2ρω)2
Die Schwingung die sich ausbildet sieht also folgendermaßen aus:
x(t) = A · cos(ωt − φ)
Die Amplitude A ist abhängig von der antreibenden Frequenz ω. Die maximale Amplitude liegt
bei der sogenannten Resonanzfrequenz des Systems, dann wird der Körper genau mit seiner
natürlichen Frequenz angetrieben. Zu guter letzt noch etwas zur Phase, die sieht in diesem Fall
so aus:
2ρω
tanφ = 2
ω0 − ω 2