Physik I Klausur 2009

Klausur Physik I
Studiengang Biomedizinische Technik
Sommersemester 2009
26.8.2009
2
Für alle Berechnungen gilt: die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s !
1. (7 Punkte) Ein rechtwinklig zur Fahrtrichtung unter einem Winkel von 30° zur Horizontalen (schräg
nach oben) aus einem fahrenden Zug geworfener Gegenstand fällt auf eine h = 5 m unter dem
Abwurfpunkt gelegene Wiese und schlägt l = 40 m (in Fahrtrichtung des Zuges gemessen) vom
Abwurfpunkt und b = 10 m vom Bahnkörper entfernt (quer zur Fahrtrichtung) auf.
a) Wie groß ist die Abwurfgeschwindigkeit v0 des Gegenstandes?
b) Mit welcher Geschwindigkeit vx fährt der Zug?
c) Mit welcher Geschwindigkeit v schlägt der Gegenstand auf?
Geben Sie die Bewegungsgleichungen für alle 3 Bewegungsrichtungen an und skizzieren Sie grob die
Weg-Zeit-Diagramme sowie die Bahnkurve!
2. (6 Punkte) Ein Kraftwagen der Masse m = 1700 kg beschleunigt auf einer Steigung von 4% in
t = 10 s gleichförmig aus dem Stand auf eine Geschwindigkeit von v = 90 km/h .
Luftwiderstand, Rollreibung etc. seien vernachlässigt.
a) Welche Kraft wird benötigt?
b) Welche Arbeit wird geleistet?
c) Wie groß muß die erreichbare Motorleistung sein?
d) Um welchen Betrag ändert sich die Energie des Fahrzeugs?
3. (2 Punkte) Die Federn eines Autos (Masse m = 1900 kg) werden um 7 cm komprimiert, wenn die
Karosserie von einer Hebebühne auf die Räder abgelassen wird. Bestimmen Sie die Federkonstante!
4. (4 Punkte) Der Trog eines Schiffshebewerks mit m1 = 850 t
wird, wie in der Skizze gezeigt, über einen Seilzug von einem
Gegengewicht mit m2 = 900 t eine schiefe Ebene mit einer
Steigung von 41% herauf gezogen.
a) Wie groß ist die Beschleunigung des Trogs, wenn man die
Reibung vernachlässigt?
b) Beschreiben und begründen Sie kurz, wie sich bei der
Beschleunigung die Wasseroberfläche im Trog einstellt!
Zeichnen Sie die Kräfte und Beschleunigungen richtig ein!
5. (5 Punkte) Ein PKW mit der Masse m1 = 2,4 t fährt auf einen stehenden Wagen mit der Masse
m2 = 1,7 t auf. Nach dem Aufprall rutscht der gestoßene Wagen vollgebremst (d.h. ohne zu rollen, nur
durch die Gleitreibung bestimmt) s2 = 11 m weit. Die Bremsspur des auffahrenden Wagens
(vollgebremst vom Moment des Aufpralls an) ist s1 = 9 m lang. Bei den Straßenverhältnissen beträgt
die Gleitreibungszahl µG = 0,85.
a) Wie groß war die Geschwindigkeit des auffahrenden Fahrzeugs?
b) Handelt es sich um einen elastischen Stoß? Begründen Sie Ihre Antwort!
6. (5 Punkte) Ein Würfel mit der Kantenlänge a = 10 cm und der Masse m = 1 kg rotiert mit einer
Umdrehung pro Sekunde. Berechnen Sie den Betrag des Drehimpulses
a) wenn die Rotationsachse eine der Kanten des Würfels ist.
b) wenn die Rotationsachse eine Raumdiagonale (durch Mittelpunkt und zwei Ecken) ist.
7. (3 Punkte) Berechnen Sie den Radius der Bahn des Mondes um die Erde mit folgenden Annahmen:
Masse der Erde mE = 6·1024 kg, Umlaufzeit 28 Tage, kreisförmige Bahn!
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Lösungen
1. (8 Punkte) Ein rechtwinklig zur Fahrtrichtung unter einem Winkel von 30° zur Horizontalen (schräg
nach oben) aus einem fahrenden Zug geworfener Gegenstand fällt auf eine h = 5 m unter dem
Abwurfpunkt gelegene Wiese und schlägt l = 40 m (in Fahrtrichtung des Zuges gemessen) vom
Abwurfpunkt und b = 10 m vom Bahnkörper entfernt (quer zur Fahrtrichtung) auf.
a) Wie groß ist die Abwurfgeschwindigkeit v0 des Gegenstandes?
b) Mit welcher Geschwindigkeit vx fährt der Zug?
c) Mit welcher Geschwindigkeit v schlägt der Gegenstand auf?
Geben Sie die Bewegungsgleichungen für alle 3 Bewegungsrichtungen an und skizzieren Sie grob die
Weg-Zeit-Diagramme sowie die Bahnkurve!
Weg-Zeit: x- und y-Bewegung Geraden, z-Bewegung Parabel, aber nicht symmetrisch,
Bahnkurve Parabel
x = vx ⋅ t
v x = vx
y = v 0 ⋅ cos a ⋅ t
vy = v 0 ⋅ cos a
1
z = v 0 ⋅ sin a ⋅ t - g ⋅ t 2
2
vz = v0 ⋅ sin a - g ⋅ t
Ende der Bewegung
x (t1 ) = 40 m = l = vx ⋅ t1
y(t1 ) = 10 m = b = v 0 ⋅ cos a ⋅ t1
1
z (t1 ) = -5 m = -h = v0 ⋅ sin a ⋅ t1 - g ⋅ t12
2
Die Zeit für die Bewegung berechnet sich aus dem Fall, also der Bewegung in z-Richtung:
(Weg-Zeit-Diagramm: Parabel)
Es muss aber zuerst noch t1 eliminiert werden; dies geht mit der y -Bewegung:
t1 =
b
v 0 ⋅ cos a
a) Damit ist
2
b
b
1 æ
÷÷ö
- g ⋅ çç
v0 ⋅ cos a 2 çè v0 ⋅ cos a ÷÷ø
ö2
b
1 æç
÷
÷
-h = b ⋅ tan a - g ⋅ çç
2 è v ⋅ cos a ÷÷ø
-h = v0 ⋅ sin a ⋅
0
ö2
b
1 æç
÷
÷
g ⋅ç
= b ⋅ tan a + h
2 çè v0 ⋅ cos a ÷÷ø
1
cos a 2 (b ⋅ tan a + h )
=
v0 ⋅
b
g
b
g
10 m
9, 81m
m
v0 =
=
= 7,79
2
cos a 2 (b ⋅ tan a + h ) 0, 866 2 ( 10 m⋅ 0,57735 + 5 m ) s
s
b) Schließlich ist
b
10 m
t1 =
=
= 1, 482 s
v 0 ⋅ cos a
7, 79 m/s ⋅ 0, 866
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und
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vx =
l
40 m
m
km
=
= 27 = 97,16
t1
1, 482 s
s
h
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c) Berechnung der Einzelgeschwindigkeiten:
vx 1 = 27
m
s
m
m
⋅ 0, 8660 = 6, 74
s
s
m
m
m
vz 1 = v 0 ⋅ sin a - g ⋅ t = 7, 79 ⋅ 0, 5 - 9, 81 ⋅ 1, 482 s = -10, 6434
s
s
s2
Berechnung der Gesamtgeschwindigkeit
vy 1 = v 0 ⋅ cos a = 7, 79
v =
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vx2 + vy2 + vz2 = 29, 8
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m
s
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2. (5 Punkte) Ein Kraftwagen der Masse m = 1700 kg beschleunigt auf einer Steigung von 4% in
t = 10 s gleichförmig aus dem Stand auf eine Geschwindigkeit von v = 90 km/h .
Luftwiderstand, Rollreibung etc. seien vernachlässigt.
a) Welche Kraft wird benötigt?
b) Welche Arbeit wird geleistet?
c) Wie groß muß die erreichbare Motorleistung wenigstens sein?
d) Welche Energie hat das Fahrzeug danach?
a) Die benötigte Kraft ergibt sich aus der Überwindung der Hangabtriebskraft und der eigentlichen
Beschleunigung (positive Richtung bergauf):
F = -FH + FB
= m ⋅ g ⋅ sin a + m ⋅ a
Dabei ist α der Neigungswinkel:
tan a = 0, 04
a = 0, 03998
sin a = 0, 03997
Die zu erreichende Geschwindigkeit beträgt
vmax =
90 km
m
= 25
3600 s
s
Die Beschleunigung beträgt hier
a =
Dv
25 m
m
=
= 2, 5
Dt
s⋅ 10 s
s2
Insgesamt ist damit
æ
m
mö
F = 1700 kg çç 9, 81 ⋅ 0, 04 + 2, 5 ÷÷ = 4917 N
çè
s2
s2 ø÷
b) Da die Kraft hier konstant sein soll, ist die Arbeit das Produkt aus der Kraft und dem
zurückgelegten Weg, dieser beträgt bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung:
1
1
25 m⋅ 10 s
s = at 2 = v maxt =
= 125 m
2
2
2s
Damit ist die Arbeit
W = F ⋅ s = 4917 N⋅ 125 m = 614, 625 kJ
c) Die benötigte Leistung ist nicht konstant, sondern von der Geschwindigkeit abhängig:
P = F ⋅v
damit ist die Leistung am Ende der betrachteten Bewegung am größten:
90 km
⋅ 4917 N = 122, 925 kW
3600 s
d) Entspricht der geleisteten Arbeit, zur Kontrolle:
Pmax = vmax ⋅ F =
1
E = m ⋅ g ⋅ s ⋅ sin a + mv 2
2
m
1
m
m
m2
E = 1700 kg⋅ 9, 81 ⋅ 125 m⋅ 0, 04 + 1700 kg⋅ 25 ⋅ 25 = 614635 kg
2
s
s
s2
s2
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3. (2 Punkte) Die Federn eines Autos (Masse m = 1900 kg) werden um 7 cm komprimiert, wenn die
Karosserie von einer Hebebühne auf die Räder abgelassen wird. Bestimmen Sie die Federkonstante!
Die Federkonstante, eine Eigenschaft der Federn, berechnet sich aus dem Hooke’schen Gesetz
(FS95).
F = -D ⋅ x
F
x
m ⋅g
=
x
1900 kg ⋅ 9, 81 m
N
=
= 266271
2
m
0, 07 m ⋅ s
D =
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4. (4 Punkte) Der Trog eines Schiffshebewerks mit m1 = 850 t
wird, wie in der Skizze gezeigt, über einen Seilzug von einem
Gegengewicht mit m2 = 900 t eine schiefe Ebene mit einer
Steigung von 41% herauf gezogen.
a) Wie groß ist die Beschleunigung des Trogs, wenn man die
Reibung vernachlässigt?
b) Beschreiben und begründen Sie kurz, wie sich bei der
Beschleunigung die Wasseroberfläche im Trog einstellt!
Zeichnen Sie die Kräfte und Beschleunigungen richtig ein!
a) Das System Trog—Seil—Gegengewicht bewegt sich in positiver Richtung, wenn sich der Trog
aufwärts und das Gegengewicht abwärts bewegt.
Schiefe Ebene:
tan a = 0, 41
a = 22, 3
sin a = 0, 379
Atwood-Ansatz mit Seilkraft
Kraft auf Trog
m1 ⋅ a1 = -m1 ⋅ g ⋅ sin a + FS
Kraft auf Gewicht
m2 ⋅ a2 = m2 ⋅ g ⋅ sin a - FS
Beschleunigungen müssen gleich sein
a1 = a2 = a
F
F
-g ⋅ sin a + S = g ⋅ sin a - S
m1
m2
æ 1
ö÷
1
÷÷ = 2g ⋅ sin a
+
FS ççç
è m1 m2 ÷ø
æ m + m1 ö÷
÷÷ = 2g ⋅ sin a
FS ççç 2
è m1m2 ø÷
2m1m2
FS =
g ⋅ sin a
m2 + m1
æ
2m1 ÷ö
÷ g ⋅ sin a
a = çç 1 çè
m2 + m1 ÷÷ø
æ m - m1 ö÷
÷÷ g ⋅ sin a
a = ççç 2
è m2 + m1 ø÷
Ergibt 0,106 m/s2
Oder einfach:
Gesamtkraft
F = (m2 - m1 )·g·sin a
Gesamtmasse
m = m1 + m2
Beschleunigung damit
a =
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æ m - m1 ö÷
F
÷÷ g ⋅ sin a
= ççç 2
m
è m2 + m1 ø÷
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b) Zusätzliche Scheinkraft im beschleunigten System:


FS = -ma . (FS 99)
Damit scheinbare Erdbeschleunigung im im beschleunigten System:

 
g ' = g -a
Dies zeigt, auf die Skizze bezogen, etwas nach unten links, damit ist die Wasseroberfläche so
gekippt (senkrecht dazu), dass sie auf der linken Seite etwas höher als rechts ist.
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5. (5 Punkte) Ein PKW mit der Masse m1 = 2,4 t fährt auf einen stehenden Wagen mit der Masse
m2 = 1,7 t auf. Nach dem Aufprall rutscht der gestoßene Wagen vollgebremst (d.h. ohne zu rollen, nur
durch die Gleitreibung bestimmt) s2 = 11 m weit. Die Bremsspur des auffahrenden Wagens
(vollgebremst vom Moment des Aufpralls an) ist s1 = 9 m lang. Bei den Straßenverhältnissen beträgt
die Gleitreibungszahl µG = 0,85.
a) Wie groß war die Geschwindigkeit des auffahrenden Fahrzeugs?
b) Handelt es sich um einen elastischen Stoß? Begründen Sie Ihre Antwort!
a) Beides gleichmäßig verzögerte Bewegungen mit a = 0,85 · g. vi' =
v1' = 12, 25
2asi
m
km
m
km
, v2' = 13, 54 = 48, 74
,
= 44,1
s
h
s
h
Impulserhaltung
p1' = m1v1' = 2400 kg⋅ 12, 25
m
kg m
,
= 29400
s
s
p2' = m2v2' = 1700 kg⋅ 13, 54
m
kg m
,
= 23018
s
s
p = p'
p1 + p2 = p1' + p2'
m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ 0 = p1' + p2'
v1 =
p1' + p2'
m1
=
52418 m
m
km
= 21, 84 = 78, 63
2400 s
s
h
b) Energiebetrachtung
Vor dem Stoß
1
m v 2 = 572382 J
2 11
1
E2 = m2v22 = 0 J
2
E1 + E2 = 572382 J
E1 =
Nach dem Stoß
1
m v ' 2 = 180075 J
2 1 1
1
E2' = m2v2' 2 = 155831J
2
E1' + E2' = 335906 J
E1' =
Energien sind nicht gleich, also kein elastischer Stoß.
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6. (5 Punkte) Ein Würfel mit der Kantenlänge a = 10 cm und der Masse m = 1 kg rotiert mit einer
Umdrehung pro Sekunde. Berechnen Sie den Betrag des Drehimpulses
Ein Würfel ist ein Quader mit gleichen Kantenlängen, also a = b = c !
a) Wenn die Rotationsachse eine der Kanten des Würfels ist.
Trägheitsmoment für Quader + Steinerscher Satz
æ a ÷ö2
æ1 1ö
1
2
2
J = ma + m çç
÷ = çç + ÷÷ ma 2 = ma 2
ç
ç
÷
÷
è 2ø
è6 2ø
6
3
2
2
Nm
L = J w = ma 2 w = kg 0, 01 m2 ( 2p ) s -1 = 0, 0419
3
3
s
b) Wenn die Rotationsachse eine Raumdiagonale (durch Mittelpunkt und zwei Ecken) ist.
Trägheitsmoment für Quader für alle Richtungen gleich, also für beliebige Richtungen gleich,
kein Steinerscher Satz! (Schwieriger)
J =
1
ma 2
6
L = Jw =
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1
1
Nm
ma 2 w = kg 0, 01 m2 ( 2p ) s -1 = 0, 0105
6
6
s
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7. (3 Punkte) Berechnen Sie den Radius der Bahn des Mondes um die Erde mit folgenden Annahmen:
Masse der Erde mE = 6·1024 kg, Umlaufzeit 28 Tage, kreisförmige Bahn!
Lösungsansatz: Fliehkraft + Gravitationskraft = 0, Masse des Mondes fällt heraus
m M ⋅ rBahn ⋅ w 2 = G
3
rBahn
=G
rBahn
mE ⋅ mM
2
rBahn
mE
w2
m
= 3G E
w2
Umlaufzeit 28 Tage:
w=
2p
= 2, 597 ⋅ 10-6 s -1
28 ⋅ 24 ⋅ 3600 s
also zusammen
rBahn =
6, 6142 ⋅ 10-11 Nm2
3
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kg
2
⋅
6 ⋅ 1024 kg
2
( 2, 597 ⋅ 10 )
-6
=
s
3
5, 884 ⋅ 1025 m 3 = 3, 8895 ⋅ 108 m
-2
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