Lösungen - Goethe

Prof. Dr. M. Bleicher
Institut für Theoretische Physik
J. W. Goethe-Universität Frankfurt
Theoretische Physik I/II
Aufgabenzettel I
http://th.physik.uni-frankfurt.de/∼baeuchle/tut
Aufgabe I.1:
18. April 2011
Lösungen
Vektoren im Kreis
(8 Punkte)
Gegeben sei ein Kreis des Radius r (siehe Abbildung). In diesem befinden sich die
drei Vektoren ~a, ~b und ~c mit der Länge |r|.
a) Schreiben Sie die Vektoren ~a, ~b und ~c in
der Komponentendarstellung auf.
Für ~a ergibt sich aus der Zeichnung
y
~a = (r cos 45◦ , r sin 45◦ )
1 1
=r √ ,√
2 2
~c
~a
r
= √ (1, 1)
2
45◦
x
und
für ~b entsprechend (mit sin 60◦ =
√
3/2, cos 60◦ = 1/2)
120◦
~b
√
~b = r (−1, − 3)
2
Bei ~c muss man noch die Richtung beachten:
~c = (0, −r)
b) Berechnen Sie folgende Skalarprodukte unter Benutzung der Komponentendarstellung:
~a · ~b, ~a · ~c und ~b · ~c.
Nach den Ergebnissen
aus der ersten Teilaufgabe kann man die Skalarprodukte
PN
mit ~r · ~p = i=1 ri pi einfach ausrechnen:
√
√
r2
r2
2 3
~
~
~a · b = − √ (1 + 3), ~a · ~c = − √ , b · ~c = r
2
2 2
2
c) Berechnen Sie unter Benutzung der Skalarprodukte die Winkel zwischen ~a und
~c sowie ~b und ~c.
Für das Skalarprodukt gilt außerdem: ~r · ~p = |r| |p| cos 6 (~r; p~). Daraus ergeben
sich mit |a| = |b| = |c| = r die Winkel
1
3π
cos 6 (~a; ~c) = − √ ⇒ 6 (~a; ~c) =
= 135◦
sowie
4
2
1
Aufgabenzettel I
Aufgabe I.2:
Lösungen
√
3
π
⇒ 6 (~b; ~c) = = 30◦ .
cos 6 (~b; ~c) = +
2
6
Vektor- oder Kreuzprodukt
Seite 2
(10 Punkte)
Gegeben seien die Vektoren ~a = (1, 2, 0) und ~b = (2, −1, 1).
a) Berechnen Sie die Vektoren ~a × ~b und ~b × ~a.


 
2
2· 1 −0·2
~a × ~b =  0· 2 −1·1  =  −1 
−5
1·(−1)−2·2
und ~b × ~a = −~a × ~b.
b) Berechnen Sie mittels der Definition des Vektorproduktes den Winkel zwischen
den Vektoren ~a und ~b. Berechnen Sie zur Probe ebenfalls den Winkel mittels
des Skalarproduktes.
√
√ √
|~a × ~b| = |~a||~b| sin φ ⇒ sin φ = |~a×~b|/|~a||~b| = 30/ 5 6 = 1 ⇒ φ = π/2.
~a · ~b = 0 → cos φ = 0 → φ = π/2.
c) Zeigen sie, dass die Beziehung
~c × (~a × ~b) = (~c · ~b)~a − (~c · ~a)~b
für beliebige 3-dimensionale Vektoren gilt (Tipp: Benutzen sie die Komponentendarstellung).
Da das Kreuzprodukt zyklisch ist, brauchen wir die Beziehung nur für eine
Komponente beweisen, der Rest ergibt sich durch Umbenennen der Indizes.
~c × (~a × ~b) = cy (~a × ~b)z − cz (~a × ~b)y
x
= cy (ax by − ay bx ) − cz (az bx − ax bz )
= ax (by cy + bz cz ) − bx (ay cy + az cz )
= ax (by cy + bz cz ) − bx (ay cy + az cz ) + ax bx cx − ax bx cx
= ax (ax bx + by cy + bz cz ) − bx (ax cx + ay cy + az cz )
= ax (~b · ~c) − bx (~a · ~c)
= ~a(~b · ~c) − ~b(~a · ~c)
x
Der Beweis lässt sich etwas eleganter durch den vollständig antisymmetrischen
Tensor dritter Stufe ǫijk führen, dieser wird später im Semester eine Rolle spielen.
Aufgabe I.3:
Boot im Fluss
(10 Punkte)
Ein Fluss hat eine Breite von 60 m und das Wasser fließt mit einer Geschwindigkeit von vF = 3 m/s. Der Bug eines Ruderbootes am Ufer ist direkt auf das
Aufgabenzettel I
Lösungen
Seite 3
gegenüberliegende Ufer gerichtet. Die Geschwindigkeit des Bootes quer zur Flussrichtung beträgt vB = 4 m/s.
Wie lange dauert es, bis das Boot den Fluss überquert hat und wie weit treibt es
bei der Überquerung ab?
Die Bahngleichung des Bootes lautet ~r = ~v t mit ~v = (4, 3) m/s.
Gesucht ist die Zeit t, in der das Boot in x-Richtung 60 m zurücklegt.
Für die x-Koordinate gilt also: 60 m = 4m/s · t ⇒ t = 15 s. Die Zeit zum Überqueren
ist unabhängig von der Fließgeschwindigkeit des Flusses!
In dieser Zeit legt das Boot in y-Richtung die Strecke y = 3m/s · 15s ⇒ y = 45 m
zurück.
Aufgabe I.4:
Taylorentwicklung
(12 Punkte)
Die meisten interessanten“ Funktionen1 kann man durch ihre Taylorreihe aus”
drücken:
∞
X
f (n) (x0 )
(x − x0 )n ,
f (x) =
n!
n=0
wobei f (n) die n-te Ableitung von f bedeutet und f (0) = f gilt. Berechnen Sie die
Taylorreihe für folgende Funktionen an der Stelle x0 = 0:
a) f (x) = cos x
Die Ableitungen des Kosinus wiederholen sich alle vier Mal: d cos(x)/dx = − sin(x),
d(− sin(x))/dx = − cos(x), d(− cos(x))/dx = sin(x) und d sin(x)/dx = cos(x). An der
Entwicklungsstelle x0 = 0 ergeben sich damit die Ableitungen 1, 0, −1, 0, . . .
und daher kann man die Taylorreihe schreiben als
cos(x) =
∞
X
(−1)n
n=0
(2n)!
x2n = 1 −
x2 x4
+
∓ ...
2
24
Durch die Verwendung von 2n in Fakultät und Exponent ist Sorge getragen,
dass nur die Terme mit geradem Exponenten beitragen.
b) f (x) = e−x
Die Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion
selbst, allerdings muss man die innere Ableitung beachten, die bei jedem Schritt
einen Faktor (−1) bringt. Die Ableitungen an der Stelle x0 = 0 alterniert daher
zwischen −1 und +1:
−x
e
=
∞
X
(−1)n
n=0
1
n!
Stetig und beliebig oft differenzierbar.
xn = 1 − x +
x2 x3
−
± ...
2
6