Grundwissen 5. Jahrgangsstufe - Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
Werbung
MATHEMATIK
GRUNDWISSEN
5. KLASSE
LESSING GYMNASIUM
NEU-ULM
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
2/17
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
I. ZAHLEN
1. Natürliche und ganze Zahlen
1.1 Zahlenmengen
ℕ = { 1, 2, 3, 4, ...}
Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen mit der Null ℕ0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Ganze Zahlen
ℤ = { ... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Primzahlen
Das sind natürliche Zahlen, die genau zwei Teiler haben.
z.B.: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
a ∈ M, z.B. 4 ∈ ℕ
Wenn eine Zahl a zu einer Menge M gehört, schreibt man:
Wenn eine Zahl a nicht zu einer Menge M gehört, schreibt man: a ∉ M, z.B. -3 ∉ ℕ
1.2 Wichtige Stufenzahlen und Zehnerpotenzen
1T (Tausend)
= 1.000 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10
= 10³ (3 Endnullen)
1M (Million)
= 1.000.000
= 106
(6 Endnullen)
9
(9 Endnullen)
12
(12 Endnullen)
1 Md (Milliarde) = 1.000.000.000
1 B (Billion)
= 10
= 1.000.000.000.000
= 10
1.3 Betrag einer Zahl
Der Abstand einer Zahl a von der Null heißt Betrag der Zahl a, kurz |a|.
z.B. |+7| = 7 = |– 7|
|– 2| = 2 = |+2|
Es gilt immer: | a | > 0
1.4 Anordnung der ganzen Zahlen
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
4 < 7
–4 < 3
Die kleinere Zahl steht auf der Zahlengeraden weiter links.
–8 <–2
|– 8| > |+7|
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
3/17
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
2. Rechnen mit ganzen Zahlen
2.1 Addition und Subtraktion
Addition:
7
+
5
=
12
1. Summand 2. Summand Wert der Summe
Subtraktion:
5
–
3
=
2
Minuend
Subtrahend Wert der Differenz
Differenz
Summe
3 wird von 5 subtrahiert.
5 wird zu 7 addiert.
Vereinfachung der Schreibweise:
+ (+ a) = + a
– (– a) = + a
+ (– a) = – a
– (+ a) = – a
z.B.: (+ 5) + (–7) = 5 – 7
(– 4) – (+8) = – 4 – 8
(+5) – (–7)
= 5+7
Bei gleichen Rechenzeichen/ Vorzeichen gilt:
+a+b=+(a+b)
Die Beträge werden addiert.
–a –b =–(a+b)
Das Ergebnis hat das gemeinsame + oder – Zeichen
für alle a, b ∈ ℕ
Bei unterschiedlichen Rechenzeichen/ Vorzeichen gilt:
Der kleinere Betrag wird vom größeren Betrag subtrahiert. Das Ergebnis erhält das
Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.
z.B.: + 3 + 4 = + (3 + 4) = + 7
– 3 – 4 = – (3 + 4) = – 7
+ 5 – 3 = + (5 – 3) = + 2
+ 3 – 5 = – (5 – 3)
=–2
– 4 + 6 = + (6 – 4) = +2
– 4 + 1 = – (4 – 1)
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
=–3
4/17
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
2.2 Rechengesetze der Addition und Subtraktion
Für alle a, b ∈ ℤ gilt das Kommutativgesetz:
a+b=b+a
Vorsicht: Bei der Anwendung des Kommutativgesetzes müssen
die Vorzeichen/Rechenzeichen mitgenommen werden!
Für alle a, b, c ∈ ℤ gilt das Assoziativgesetz:
(a+b)+c=a+(b+c) =a+ b+c
z. B.:
– 3 + 21 = + 21 – 3
( 17 + 41 ) + 9 = 17 + ( 41 + 9 )
Anwendung beider Rechengesetze:
17 – 25 + 3 = – 25 + 17 + 3 = – 25 + (17 + 3) = – 25 + 20 = – 5
KG
AG
2.3 Multiplikation und Division
Multiplikation:
7
⋅
5
=
1. Faktor 2. Faktor
35
Wert des Produkts
Produkt
7 wird mit 5 multipliziert.
Division:
12
:
2
=
6
Dividend
Divisor
Wert des Quotienten
Quotient
12 wird durch 2 dividiert.
Bei der Multiplikation gilt:
Bei der Division gilt:
(+ a) ⋅ (+ b) = + (a ⋅ b)
(+ a) : (+ b) = + (a : b)
(– a) ⋅ (– b) = + (a ⋅ b)
(– a) : (– b) = + (a : b)
(+ a) ⋅ (– b) =
(+ a) : (– b) =
– (a ⋅ b)
(– a) ⋅ (+ b) = – (a ⋅ b)
– (a : b)
(– a) : (+ b) = – (a : b)
für a, b ∈ ℕ
Beachte: Division durch Null ist nicht erlaubt!
z.B.: (– 3) ⋅ (+ 5) = – 15
(–21) : (–3) = + 7
18 : (–2) = – 9
Potenz:
5
2
2:
5:
25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32
Potenz (lies: 2 hoch 5)
Basis
Exponent
Beachte: (– 2)4 = (–2) ⋅ (–2) ⋅ (–2) ⋅ (–2) = 16
– 24 = – (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2) = – 16
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
5/17
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
2.4 Rechengesetze der Multiplikation und Division
Für alle a, b ∈ ℤ gilt das Kommutativgesetz:
a⋅b = b⋅a
Für alle a, b, c ∈ ℤ gilt das Assoziativgesetz:
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c) =a⋅ b⋅c
Für alle a, b, c ∈ ℤ gilt das Distributivgesetz:
(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
(a + b) : c = a : c + b : c (c ist Teiler von a und b)
Klammern auflösen
Ausklammern
z.B.: Kommutativgesetz und Assoziativgesetz:
(25 83) (– 4) = (– 4 25) 83 = – 100 83 = – 8300
(–125) 217 (– 8) 3 = (125 8) (2173) = 1000 651 = 651000
z.B.: Klammern auflösen:
3 416 = 3 (400 + 16) = 3 400 + 3 16 = 1200 + 48 = 1248
17 298 = 17 (300 – 2)= 17 300 – 17 2 = 5100 – 34 = 5066
378 : 7 = (350 + 28) : 7 = 350 : 7 + 28 : 7 = 50 + 4 = 54
882 : 9 = (900 – 18) : 9 = 900 : 9 – 18 : 9 = 100 – 2 = 98
z.B.: Ausklammern:
26 47 + 26 253 = 26 (47 + 253) = 26 300 = 7800
768 18 – 618 18 = (768 – 618) 18 = 150 18 = 2700
516 : 12 – 156 : 12 = (516 – 156) : 12 = 360 : 12 = 30
348 : (–4) + 568 : 4 = (–348 + 568): 4 = 220 : 4 = 55
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
6/17
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
2.5 Terme
Eine sinnvolle Zusammenstellung von Zahlen, Platzhaltern, Rechenzeichen und Klammern
nennt man Term.
z.B.:
314 + 2 (500 – 250)
ist ein Term
Aufstellen von Termen:
z.B.: Subtrahiere die dreifache Summe der Zahlen 12 und 17 vom Produkt der Zahlen 15 und 8!
15 8 – 3 (12 + 17)
Multipliziere den Quotienten der Zahlen 35 und 7 mit der Summe der Zahlen 9 und 14!
(835 : 7) (9 + 14)
Dividiere die Summe der Zahlen 25 und 11 durch die Differenz der Zahlen 12 und 8!
(25 + 11) : (12 – 8)
Regeln für das Berechnen von Termen:
-
Klammern vor allem.
Treten mehrere Klammern auf, so wird der Inhalt der innersten Klammer zuerst
berechnet.
-
Potenzen werden vor Punktrechnungen ausgeführt, wenn nicht Klammern
eine andere Reihenfolge vorgeben.
-
Die Regel Punkt vor Strich bedeutet, dass Punktrechnungen (Multiplikation
und Division) vor Strichrechnungen (Addition und Subtraktion) ausgeführt
werden, wenn nicht Klammern eine andere Reihenfolge vorschreiben.
-
Was noch nicht zum Rechnen dran, das schreibe unverändert an.
(kein Missbrauch des Gleichheitszeichens!)
z.B.:
15 – 3 4 = 15 – 12 = 3
24 + 12 : 6= 24 + 2 = 26
5 24 – 52 (3 – 5) = 5 16 – 25 (–2) = 80 + 50 = 130
18 + 5 (30 - 82) = 8 + 5 30 – 16) = 18 + 5 14 = 18+ 70 = 88
[– 4 – (– 12)] [2 + 18 : (– 3)] = [ – 4 + 12] [2 + (– 6)] = 8 (– 4) = – 32
2 32 – 4(12 – 17)2 = 2 9 – 4 (–5)2 = 18 – 4 25 = 18 – 100 = – 82
3 42 = 3 16 = 48
(3 4)2 = 122 = 144
Gliedern von Termen:
Die Rechenart, die zuletzt ausgeführt wird, bestimmt die Art des Terms.
z.B.: 25 – 12 : 4
Der Term ist eine Differenz. Der Minuend ist die Zahl 25. Der Subtrahend ist ein Quotient. Der
Dividend ist die Zahl 12. Der Divisor ist die Zahl 4.
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
7/17
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
2.6 Teilbarkeit und Faktorisieren
Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0, 2, 4, 6, oder 8 ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die aus den beiden letzten Ziffern gebildete Zahl durch 4
teilbar ist.
z.B.:
343248
ist durch 2 teilbar, da die letzte Ziffer 8 ist.
212527
ist nicht durch 2 teilbar, da die letzte Ziffer eine 7 ist.
8751
ist durch 3 teilbar, da die Quersumme (8 + 7 + 5 + 1 = 21) durch 3 teilbar ist.
4133
ist nicht durch 3 teilbar, da die Quersumme (4 + 1 + 3 + 3 = 11) nicht durch 3 teilbar ist.
2333250 ist durch 5 teilbar, da die Zahl auf 0 endet.
34272
ist durch 9 teilbar, da die Quersumme (3 + 4 + 2 + 7 + 2 = 18) durch 9 teilbar ist.
4319
ist nicht durch 9 teilbar, da die Quersumme (4 + 3 + 1 + 9 = 17) nicht durch 9 teilbar ist.
37912
ist durch 4 teilbar, da 12 durch 4 teilbar ist.
5234
ist nicht durch 4 teilbar, da 34 nicht durch 4 teilbar ist.
21852
ist durch 6 teilbar, da 21852 durch 2 und durch 3 teilbar ist.
57243
ist nicht durch 6 teilbar, da 57243 nicht durch 2 teilbar ist.
7846
ist nicht durch 6 teilbar, da 7846 nicht durch 3 teilbar ist.
23724
ist durch 12 teilbar, da 23724 durch 3 und durch 4 teilbar ist.
6438
ist nicht durch 12 teilbar, da 6438 nicht durch 4 teilbar ist.
7324
ist nicht durch 12 teilbar, da 7324 nicht durch 3 teilbar ist.
Die Primfaktorzerlegung einer Zahl erhält man, indem man die Zahl
als Produkt darstellt, in dem alle Faktoren Primzahlen sind.
z.B:
72 = 2 ⋅ 36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 18 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 9 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 23 ⋅ 32
4500 = 10045 = 2525335 = 223253
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
8/17
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
II. Größen und ihre Einheiten
1. Längeneinheiten
Millimeter
1 mm
Zentimeter
1 cm
= 10
mm
Dezimeter
1 dm
= 10
cm
Umrechnungsfaktor 10
Umrechnung
Meter
von Längeneinheiten
1m
= 10
dm
Kilometer
1 km
= 1.000 m
Umrechnen von Längeneinheiten:
3040802 cm = 30 km 408 m 2 cm
8,2 km = 8 km 200 m
7,06003 km = 7 km 60 m 3 cm
Rechnen mit Längeneinheiten
9km 200m – 3km 850m = 8km 1200m – 3km 850m = 5km 350m = 5,35km
17,3m – 5m 45cm = 16m 130cm – 5m 45cm = 11m 85cm = 11,85m
24m 60cm 4 = 96m 240cm = 98m 40cm = 98,4m
12m : 40 cm = 1200 cm : 40cm = 30
3m : 8 = 3000mm : 8 = 375mm = 37,5cm
2. Maßstab
Ein Maßstab 1 : 50000 bedeutet, dass 1 cm auf der Karte 50000 cm in Wirklichkeit
entsprechen.
z.B.: - 3,2 cm auf der Karte entsprechen also
32 mm 50000 = 1600000 mm = 1600 m = 1,6 km in Wirklichkeit.
- 3,8 km in Wirklichkeit entsprechen 380000 cm : 50000 = 7,6 cm auf der Karte.
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
9/17
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
3. Flächeneinheiten
Quadratmillimeter
1 mm²
Quadratzentimeter
1 cm² = 100 mm²
Quadratdezimeter
1 dm² = 100 cm²
Quadratmeter
1 m²
= 100 dm²
Ar
1a
= 100 m²
Hektar
1 ha
= 100 a
Quadratkilometer
1 km² = 100 ha
Umrechnungsfaktor 100
Umrechnen von Flächeneinheiten
753000 cm2 = 75m2 30dm2 = 75,3m2
80004 m2
= 8ha 4m2
2030,075 m2= 20a 30m2 7dm2 50cm2
709,302 ha = 7km2 9ha 30a 20m2
Rechnen mit Flächeneinheiten
18ha 25a – 3a 65m2 = 18ha 24a 100m2 – 3a 65m2 = 18ha 21a 35m2
38m2 : 20
= 3800dm2 : 20 = 190dm2 = 1,9m2
12a : 40m2 = 1200m2 : 40m2 = 30
2m2 : 80cm = 200dm2 : 8dm = 25dm
56 ha : 70m = 560000m2 : 70m = 8000m = 8 km
4. Masseneinheiten
Milligramm
1 mg
Gramm
1g
Kilogramm
1 kg = 1.000 g
Tonne
1t
= 1.000 mg
Umrechnungsfaktor 1000
= 1.000 kg
Umrechnung von Masseneinheiten
30900 g
= 30 kg 900 g = 30,9 kg
72003000 mg =
72 kg 3 g
= 72,003 kg
4,0807 kg
= 4 kg 80 g 700 mg
2,30005 t
= 2 t 300 kg 50 g
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
10/17
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
5. Zeiteinheiten
Sekunde
1s
Minute
1 min = 60 s
Stunde
1h
= 60 min = 3600 s
(h: hour, englisch: Stunde)
Tag
1d
= 24 h
(d: day, englisch: Tag)
Rechnen mit Zeiteinheiten
385 min = 6h 25 min
4h 35 min = 275 min
0,1 h = 6 min
0,3 h = 18 min
2,5 min = 2 min 30s
3h 20 min : 8 = 200 min : 8 = 25min
1h 5 min : 20s = 3900s : 20s = 195
Zeitdauer von 8.47 Uhr bis 13.18 Uhr:
13 h 18 min – 8 h 47 min = 12 h 78 min – 8 h 47 min = 4 h 31 min
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
11/17
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
III. Geometrie
y
4
1. Koordinatensystem
3
II. Quadrant
Punkte im Koordinatensystem:
I. Quadrant
2
Die Lage eines Punktes P wird durch ein
Zahlenpaar (x|y) angegeben.
P
1
x
z.B. P(2|1), Q(– 3|– 4)
Die x-Koordinate ist der Rechtswert,
-4
-3
-2
O
-1
die y-Koordinate ist der Hochwert.
1
2
3
-1
Die Koordinatenachsen teilen die Zeichenebene
-2
in vier Quadranten ein.
III. Quadrant
Q
IV. Quadrant
-3
x
-4
2. Strecken, Halbgeraden, Geraden
Die Strecke [AB] ist die kürzeste Verbindung der Punkte A und B.
Die Länge der Strecke wird mit AB bezeichnet.
z.B.
A
xB
x
AB = 1,5 cm
Die Halbgerade [AB besitzt den Anfangspunkt A
und verläuft durch den Punkt B.
x
x
x
x B
x
xB
A
Die Gerade AB verläuft durch die Punkte A und B.
Eine Gerade besitzt keinen Anfangs- und keinen Endpunkt.
A
Wenn ein Punkt P auf der Geraden AB liegt, schreibt man P ∈ AB
A
A
Wenn ein Punkt Q nicht auf der Geraden AB liegt, schreibt man Q ∉ AB
g⊥h
xP
x
x
B
x
h
Senkrechte Geraden:
B
Q
l
•
•
g
Parallele Geraden:
g h
Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie ein
gemeinsames Lot besitzen.
d(g;h)
h
•
g
x
Abstand paralleler Geraden: d(g;h) = Länge der Lotstrecke zwischen g und h
Abstand eines Punktes P von einer Geraden g:
d(P;g) = Länge der Lotstrecke von P zum Lotfußpunkt F
F
P
x•
g
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
12/17
4 x
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
3. Besondere Vierecke
Parallelogramm: Bei einem Parallelogramm sind die
gegenüberliegenden Seiten parallel und
gleich lang.
Rechteck:
Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem
gegenüberliegende Seiten gleich lang sind
und die Seiten senkrecht aufeinander
stehen.
Raute:
Eine Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier
Seiten gleich lang sind.
Quadrat:
Ein Quadrat ist ein Viereck, bei dem alle vier
Seiten gleich lang sind und senkrecht
aufeinander stehen.
4. Flächeninhalt und Umfang von Quadrat und Rechteck
Quadrat:
s
Flächeninhalt:
AQu = s s
Umfang:
UQu = 4 s
s
Beispiele:
a)
Ein Quadrat besitzt einen Umfang von 32 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt?
s = 32cm:4 = 8cm
A = 8cm8cm = 64cm2
b)
Ein Quadrat besitzt einen Flächeninhalt von 9 ha. Wie groß ist sein Umfang?
ss = 90000m2 ; s = 300m
U = 4300m = 1200m = 1,2 km
Rechteck:
Breite b
Flächeninhalt
AR = l b
Umfang
UR = 2(l + b)
Länge l
Beispiele:
a)
Ein Rechteck ist 75m lang und besitzt einen Umfang von 280m. Wie breit ist das Rechteck?
2 (75m + b) = 280m
75m + b = 140m
b = 140m – 75m = 65m
b)
Ein Rechteck ist 250m lang und besitzt einen Flächeninhalt von 3 ha. Welchen Umfang besitzt
das Rechteck?
b = 3 ha : 250 m = 30000 m2 : 250 m = 120m
U = 2(250m + 120m)= 740m
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
13/17
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
5. Winkel
Ein Winkel wird durch zwei Halbgeraden [SA und [SB festgelegt.
Die Halbgeraden sind die Schenkel des Winkels, S ist der Scheitel des Winkels.
Winkel werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet.
z.B.:
α: alpha
β: beta
γ: gamma
δ: delta
ε: epsilon
S
B
x
α
x
A
Die Schreibweise α = ∡ ASB bedeutet, dass A ein Punkt auf dem 1. Schenkel, S der Scheitel und B ein
Punktwerden
auf demin2.
Schenkel
ist.
Winkel
der
Winkeleinheit
Grad ( °) angegeben.
0o < α < 90o:
spitzer Winkel
α = 90o:
rechter Winkel
α
α
90o < α < 180o: stumpfer Winkel
α
α
180 < α <360 : überstumpfer Winkel
o
o
α = 180o:
gestreckter Winkel
α = 360o:
Vollwinkel
α
α
x
Messen von Winkeln:
Ablesen: 59°
Nullpunkt des Geodreiecks
an den Scheitel anlegen
Geodreieck auf Schenkel 1
anlegen
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
14/17
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
6. Kreis
Alle Punkte P auf der Kreislinie k(M; r) besitzen vom
r
Mittelpunkt M die gleiche Entfernung r (Radius).
d = 2r ist der Durchmesser des Kreises.
x
M
k Kreislinie
7. Achsensymmetrie
Sind die Punkte P und P’ symmetrisch zur Achse a,
so ist die Strecke [PP’] senkrecht zur Symmetrieachse a.
P
x
S
P’
Punkt P und Spiegelpunkt P’ besitzen den gleichen Abstand
von der Symmetrieachse.
Es gilt:
PS = P’S
[PP’] ⊥ a
Symmetrieachse a
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
15/17
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
8. Geometrische Körper
8.1 Geometrische Grundkörper
Würfel
Quader
5-seitiges Prisma 3-seitiges Prisma Zylinder
Kegel
Kugel
Pyramide
8.2 Würfel und Quader
Würfel:
s
s
s
Oberfläche
OW = 6ss
s
z.B. a) Welche Oberfläche besitzt ein Würfel mit einer Kantenlänge von 1,2m ?
OW = 612 dm12 dm = 6144 dm2 = 864 dm2 = 8,64 m2
b) Welche Kantenlänge besitzt ein Würfel mit einer Oberfläche von 150 cm2?
s s = 150 cm2 : 6 = 25 cm2 => s = 5 cm
Quader:
Höhe h
Oberfläche
OQu = 2(lb + lh + bh)
Breite b
Länge l
z.B. Welche Oberfläche besitzt ein Quader, der 1,5m lang, 4cm breit und 3dm hoch ist?
OQu = 2(150 cm4 cm + 150 cm30 cm + 4 cm30 cm) =
= 2(600 cm2 + 4500 cm2 + 120 cm2) =
= 25220 cm2 = 10440 cm2 = 104,4 dm2 = 1,044 m2
Zusammengesetzte Körper:
z.B:
Welche Oberfläche besitzt der folgende zusammengesetzte Körper?
8 cm
2 cm
1 cm
4 cm
1 cm
3 cm
OKörper = 28 cm2 cm + 22 cm1 cm + 28 cm1 cm – 1 cm3 cm +
+ 23 cm4 cm + 24 cm1 cm + 3 cm1 cm =
= 32 cm2 + 4 cm2 + 16 cm2 – 3 cm2 + 24 cm2 + 8 cm2 + 3 cm2 = 84 cm2
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
16/17
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
IV. Stochastik
z.B.
Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen können aus den Ziffern 2,3,4,5 gebildet werden,
wenn sich die Ziffern nicht wiederholen dürfen?
Baumdiagramm
1. Stelle:
2
2. Stelle:
3
3
4
2
5
4
4
2
5
5
5
3
2
3
4
3. Stelle:
4
5 3
5 3
4
4
5 2
5 2
4
3
5 2
5 2
3
3
4 2
4 2
3
4. Stelle:
5
4
3 4
3
5
4 5
2
2
5
3 5
2
2
4
3 4
2 3
2
5
4
3
Es gibt 4 Belegungsmöglichkeiten für die 1. Stelle,
3 Möglichkeiten für die 2. Stelle,
2 Möglichkeiten für die 3. Stelle und
1 Möglichkeit für die 4. Stelle,
also können 4321 = 24 Zahlen gebildet werden.
z.B. Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen können aus den Ziffern 2, 3, 4 und 5 gebildet
werden?
Für jede Stelle gibt es 4 Belegungsmöglichkeiten, also gibt es 444 = 43 = 64 Zahlen.
z.B. Auf einer Speisekarte werden für ein Menü 2 Vorspeisen, 4 Hauptgerichte und 3 Nachspeisen
angeboten. Wie viele verschiedene Menüs aus je einer Vorspeise, einem Hauptgericht und einer
Nachspeise können zusammengestellt werden?
Es gibt 243 = 24 verschiedene Zusammenstellungen.
Zählprinzip:
Gibt es für die 1. Stelle n1 Belegungsmöglichkeiten,
für die 2. Stelle n2 Belegungsmöglichkeiten,
…
für die k. Stelle nk Belegungsmöglichkeiten,
so gibt es insgesamt n1 n2 … nk Möglichkeiten.
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm
17/17
