Zahlen

Zahlen
Chemische Rohinformation, gewonnen aus Experimenten, Spektrometern oder
theoretischen Berechnungen, liegt in aller Regel in Form von Zahlen vor.
Noch vor 30 Jahren war das anders. Die Strukturaufklärung organischer Substanzen zum Beispiel geschah mit Hilfe von Spektren, also grafischen Darstellungen der absorbierten oder emittierten Intensität als Funktion der Frequenz
der elektromagnetischen Strahlung (NMR, IR und VIS/UV) oder Massenzahl (Massenspektrometrie). Zahlen entstanden aus diesen Papierspektren“
”
durch Auswertung mit Hilfe des Lineals und des Rechenschiebers (oder der
Logarithmentafel).
Heute liefern die Spektrometer zunächst riesige Datenmengen in Form von
Zahlenfolgen, die in Computern mit Hilfe raffinierter mathematischer Verfahren aufgearbeitet und erst dann als verdauliches“ Ergebnis dem Chemiker
”
auf einem Computerbildschirm dargestellt werden. Es ist also nützlich, wenn
wir uns mit den verschiedenen Zahlenarten und ihrer Darstellung in Computern beschäftigen.
Algebra natürlicher Zahlen
Fakultät
Algebra reeller Zahlen
Potenzen von Zahlen
Algebra komplexer Zahlen
Summen- und Produktzeichen
Ungleichungen
Binomischer Satz
Primzahlen und Chemie
Zahlengenauigkeit - Zahlen im Rechner
Ganze Zahlen Z = [0, ±1, ±2, . . .]
Rationale Zahlen Q = [p/q|p, q ∈ Z, q 6= 0]
√
Irrationale Zahlen, z.B. 2
1
Transzendente Zahlen, z.B. e, π
Reelle Zahlen R = alle ganzen, rationalen, irrationalen
und transzendenten Zahlen
Imaginäre Zahlen, a · i, a ∈ R, i =
√
−1
Komplexe ZahlenR = [p + q · i|p, q ∈ R]
Natürliche Zahlen
Die einfachsten Zahlen begegnen uns beim Zählen von gleichen Dingen. Da
Zählen seit jeher eine der natürlichsten Tätigkeiten der Menschen war, heißen sie natürliche Zahlen. Mit der Null und dem Stellensystem sind mit nur
zehn Symbolen 0, 1, . . . , 9 Zahlen beliebiger Größe angebbar. Ohne die Null
ginge das nicht, sie wird deswegen als wichtigste Ziffer angesehen, obwohl sie
- für sich genommen - nur angibt, das ein Ding nicht vorhanden ist. Die betrachteten Zahlen heißen Dezimalzahlen, das Stellensystem dementsprechend
Dezimalsystem. Weiter unten werden wir andere Zahlenformen kennenlernen,
bei denen weniger (2 oder 8) oder mehr (16) Ziffernsymbole einschließlich der
Null verwendet werden. Hier spricht man dann vom Dual-, Oktal- bzw. Hexadezimalsystem.
Die Gesamtheit aller Zahlen
1, 2, 3, . . . , 24, . . . , 344, . . . , 1024, . . . , 2003456, . . .
ist die Menge der natürlichen Zahlen und wird mit dem Symbol N bezeichnet.
Die Schreibweise n ∈ N (sprich: n ist Element von N oder n ist enthalten in
N) besagt, daß n irgendeine natürliche Zahl ungleich null ist. Ist die Menge
so definiert, daß auch die Null enthalten ist, so lautet das Mengensymbol N .
Arithmetische Operationen
Bisher haben wir betrachtet, wieviel Dinge vor uns liegen oder in einem Haufen sind, d.h. wir haben uns nur mit dem Zählen beschäftigt. Nun verändern
2
wir die Zahl der Dinge, indem wir welche hinzufügen oder wegnehmen, d.h
wir führen Handlungen an Dingen aus und zählen vorher und nachher:
Addition:
Zu 3G fügen wir 2 G hinzu, es resultiert 5 G
⇒ 3+2=5
Subtraktion:
Von 5G entnehmen wir 2 G, es resultiert 3 G
⇒ 5-2=3
Multiplikation:
3-mal legen wir 2 G auf den Tisch, es resultiert 6 G ⇒ 3 · 2 = 6
Division:
8 G teilen wir in 2 gleiche Haufen mit je 4 G
⇒ 8/2=4
Die Zahlen 3 und 2 heißen Operanden.
Algebra natürlicher Zahlen
Für beliebige Operanden a, b ∈ N und die vier Operationen +, -, ·, / “
”
lassen sich die folgenden Gesetze beweisen. Operationen in Klammern werden
zuerst ausgeführt:
Kommutativgesetz
a+b = b+c a·b=b·a
Assoziativgesetz (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)
Distributivgesetz a · (b + c) = a · b + a · c
In den Gleichungen kann plus“ durch minus“ und mal“ durch geteilt“ be”
”
”
”
liebig ersetzt werden. Zur Schreibvereinfachung, also Vermeidung von Klammern, dient folgende Regel:
Die Multiplikation und Division haben Vorrang vor der Addition
und Subtraktion.
Danach ist 3 · 2 + 4 = 6 + 4 = 10 und nicht 3 · 2 + 4 = 3 · 6 = 18.
Oft benötigen wir nicht nur das Produkt von zwei Zahlen, sondern das Produkt aller Zahlen 1, 2, 3, . . . , n, also
x = 1 ·2 · 3 · ...· n
3
Dafür führen wir ein neues Operationssymbol ein: !, und nennen die Operation Fakultät.
x = 1 · 2 · 3 · . . . · n =: n!
Reelle Zahlen
Während die bisherigen Rechenoperationen uns als Ergebnis immer wieder
eine natürliche Zahl liefern, entstehen bei der Subtraktion oder Division auch
Zahlen, die nicht Element der natürlichen Zahlen sind. Daher brauchen wir
eine umfassendere Zahlenmenge. . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .
Die Menge der ganzen Zahlen (kurz mit Z bezeichnet) ist eine Untermenge
der reellen Zahlen, weitere Untermengen werden wir im folgenden kennenlernen.
Für die ganzen Zahlen gelten zusätzlich zu den obigen drei Gesetzen noch
folgende Regeln (m, n ∈ Z)
m + (−n) = m − n
m − (−n) = m + n
(−m) · (−n) = +(m · n)
(−m) · (+n) = −(m · n)
Die ganzen Zahlen reichen uns jedoch noch nicht, wenn wir auch fordern,
daß wir die Division zweier Zahlen immer ausführen können. Dazu gehen
wir über in die Menge der rationalen Zahlen, die aus allen Zahlen m/n
besteht, wobei m und n ganze Zahlen sind, allerdings ist der Fall n = 0
ausgeschlossen. Jede ganze Zahl m ist ebenfalls eine rationale Zahl, da wir
sie auch als m/1 schreiben können.
Auch für die rationalen Zahlen gelten Regeln (die Regeln der Bruchrechnung):
m
+
n
m
·
n
m
:
n
p
mq + np
=
q
nq
p
mp
=
q
nq
p
m q
mq
=
· =
q
n p
np
Auch wenn wir vieles durch rationale Zahlen ausdrücken können, gibt es
doch Fälle, in denen die rationalen Zahlen nicht ausreichen. Während wir
4
jede lineare Gleichung der Form
mx = n
durch eine rationale Zahl x = n/m lösen können, stoßen wir bei der Lösung
einer quadratischen Gleichung wie
x2 = 2
auf Probleme. Die Wurzel aus 2 können wir nicht durch den Bruch aus zwei
ganzen Zahlen darstellen, sie ist also keine rationale Zahl.
Solche Zahlen, die wir nicht als Bruch darstellen können, nennen wir irrationale Zahlen. Ein Spezialfall der irrationalen Zahlen sind zum Beispiel
die Zahlen π oder e. Diese lassen sich nicht durch eine endliche algebraische
Gleichung der Form
a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = 0
darstellen. Im Gegensatz zu den algebraischen Zahlen, die Lösung einer solchen Gleichung sind, bezeichnen wir π, e und ähnliche Zahlen als transzendente Zahlen.
Zusammnengenommen bilden die rationalen und die irrationalen Zahlen die
Menge der reelen Zahlen (kurz R genannt). Wir können uns auch vorstellen, daß die irrationalen Zahlen die Lücken zwischen den rationalen Zahlen
auf dem Zahlenstrahl auffüllen. Daher bilden beide zusammen eine kontinuierliche Menge.
Algebra reeller Zahlen
Wir wollen nun die Regeln zusammenfassen, die für das Rechnen mit reellen
Zahlen gelten. Diese Regeln bezeichnet man auch als Algebra der reellen
Zahlen. Zunächst gilt, das zwei reelle Zahlen a, b ∈ R immer eine der drei
Beziehungen
a<b
a=b
a>b
5
erfüllen. Die reelen Zahlen können also der Größe nach geordnet werden. Für
die Multiplikation und Addition gilt
a = −(−a)
−a = −1 · a
−0 = 0
−1 · −1 = 1
a·b =b·a
a+b=b+a
a(bc) = (ab)c
a + (b + c) = (a + b) + c
a(b + c) = ab + bc
a+0=0+a=a
a·0 =0·a = 0
a·1 =1·a = a
Eine weiter Operation, die wir öfters brauchen ist der Betrag einer Zahl.
Der Betrag von a ist definiert als die positive Wurzel aus a2 .
√
|a| = + a2
|a| = +a
|a| = −a
für a > 0
für a < 0
Zur Entwicklung der Dezimalzahlen
Zählen von Dingen
Betrachten wir einmal Ansammlungen von gleichen Geldstücken, symbolisiert durch den großen Buchstaben G, die jeweils um ein Geldstück anwachsen:
6
G
eins G
one G
1G
GG
zwei G
two G
2G
GGG
drei G three G
3G
...
...
...
...
GGGGG
fünf G
five G
5G
...
...
...
...
...
GGGGG GGGG
neun G
nine G
9G
GGGGG GGGGG
zehn G
ten G ? (A G)
GGGGG GGGGG G
elf G eleven G ? (B G)
...
Wir können den einzelnen, links gezeigten Mustern von Gs Zahlworte zuordnen, z.B. zwei bzw. two Gs. Jeder, der sie gelernt hat, weiss dann sofort - ohne
probieren zu müssen - wie oft er zulangen und ein G entnehmen kann. Nachteilig ist, dass diese Zahlworte in den verschiedenen Sprachen nicht gleich
sind. Für eine globale, über alle Sprachgrenzen hinweg- reichendes Verständnis ist es deswegen praktischer, universale Symbole zu verwenden. Wir haben
uns von Kind an daran gewöhnt, dass dies die Ziffern 1, 2, 3, ..., 5, ..., 9 sind.
Es verbleibt ein Problem. Was machen wir mit Ansammlungen mit mehr als
9 G? Solche Ansammlungen werden im weiteren als Haufen von Gs bezeichnet. Eine Möglichkeit wäre, mit dem ABC fortzufahren, also die Buchstaben
A und B für zehn bzw. elf G und so weiter zu verwenden. Davon wird in
der Computerwelt tatsächlich Gebrauch gemacht (Hexadezimalzahlen). Eine
generell Lösung ist dies aber nicht. Denn wir können beliebig oft fortfahren, ein weiteres G einem Haufen hinzuzufügen. Damit wird die Zahl der
erforderlichen Ziffernzeichen und somit die Anforderungen an unser Zeichenerkennungsvermögen beliebig hoch.
Zählen von Haufen
Irgendwann vor langer Zeit, wohl in Indien, ist dann jemand auf die Idee
gekommen, dass mit den Ziffern 1 ... 9 nicht nur gleiche Dinge, sondern auch
gleiche Haufen gleicher Dinge gezählt werden können. Dies ist die Grundidee
zur Lösung unserer Ziffernproblematik.
Wir beginnen mit dem Haufen mit zehn G, für den die Ziffer noch unbekannt
ist. Einen solchen Haufen bezeichnen wir einen Zehnerhaufen G oder kurz 1Z
G. Drei Zehnerhaufen G und neun G können wir dann kurz schreiben 3Z9
G. Fügen wir ein weiteres G hinzu, so gilt für die Zahl der Gs entsprechend
4Z. Dies können wir fortsetzen, bis die folgenden Zahl von Gs auf dem Tisch
7
liegen:
GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG
GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG
GGGGG GGGGG GGGGG GGGG
Dieser Haufen enthält 9Z 9 G. Addieren wir ein G, so erhalten wir zehn Zehnerhaufen G. Dieser Zahl von Gs ordnen wir das (sprachspezifische) Zahlwort
hundert zu und nennen den gesamten Haufen einen Hunderterhaufen G oder
kurz 1H G. Mit 1H 4Z 9 G ist demnach der folgende Haufen gemeint:
GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGG
GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG
GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG
GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG
GGGGG GGGGG GGGGG GGGGG
1H G
4Z
9G
Die maximale Zahl, die wir in dieser Weise erreichen, ist 9H9Z9 G. Fügen wir
ein weiteres G hinzu, so erhalten wir zehn Hunderterhaufen. Dieser Zahl von
Gs ordnen wir das Zahlwort tausend zu und nennen den gesamten Haufen
einen Tausenderhaufen G oder kurz 1T G zu.
Was haben wir bisher erreicht? Beachtliches. Mit nur zwölf Symbolen 1, ... ,9,
Z, H und T haben wir einen Zahlbegriff konstruiert, mit dem wir können wir
bis zu zehn Tausend G-Haufen kennzeichen können, nämlich von kein G bis
9T9H9Z9 G! Wir sind aber noch nicht am Ende der Möglichkeiten. Bevor wir
jedoch fortfahren, abstrahieren wir die Schreibweise. Für den Zählprozess ist
es nämlich unerheblich, welche Dinge wir zählen, solange sie nur gleich sind.
Bei den weiteren Betrachtungen zum Zahlbegriff können wir also getrost das
Symbol G fortlassen.
Die Null und das Stellensystem
Unser bisheriges Ergebnis sind Zahlen von der Form
(a) 2T 4H 3Z 4E (b) 2T 3Z (c) 4H 4E .
Neben den oben eingeführten Symbolen T, H und Z sind die ersten neun
Zahlen 1 ... 9 noch zusätzlich durch das Symbol E, abgeleitet von Einer,
gekennzeichnet. Bei Zahlen dieser Form ist es unerheblich, wie wir sie hinschreiben. So wird jeder die folgenden Schreibweisen für (a)
2T 4H 3Z 4E oder 4H 3Z 4E 2T oder 3Z 4E 2T 4H
als äquivalent ansehen, da sowohl die Art der Haufen (T, H, Z, E) als auch
ihre Zahl unabhängig von ihrer Position erkennbar ist. Fehlen die Hunderter
8
und Einer wie in (b), so tauchen die Symbole Z und E gar nicht erst auf,
ebenso wie die Tausender und Zehner in (c).
Es war vor langer Zeit in Indien, das erkannt wurde, wie sich die etwas
mühselige E,Z,H,..-Schreibweise deutlich abkürzen liess. Zunächst wurde eine
neue Ziffer 0, die Null, eingeführt. Sie diente dazu anzugeben, dass ein Ding
oder ein Haufen von Dingen nicht vorhanden war. Mit der Null schreiben
sich die obigen Zahlen wie folgt:
(a) 2T 4H 3Z 4E (b) 2T 0H 3Z 0E (c) 0T 4H 0Z 4E .
Es war kein grosser Schritt mehr zu bemerken, dass die Angabe der Art
des Haufens (E, ..) überflüssig wird, wenn verabredet wird, mit den Einern
beginnend von rechts nach links nur noch die Vielfachen der Haufentypen
horizontal nebeneinander hinzuschreiben. Für die Beispiele sieht das so aus:
(a) 2434 (b) 2030 (c) 0404 .
Der Vorteil dieser als Stellensystem bezeichneten Verabredung ist evident:
Addieren wir beispielsweise 1 zu 9999, so entsteht ein neuer Haufentypus
Zehntausend oder kurz 10 000, die Einführung eines neuen Symbols ist nicht
mehr nötig. Addieren wir fortwährend 1, so entsteht nach 99999 der nächst
größere Haufen Hunderttausend oder kurz 100 000.
Potenzrechnung
Das Produkt von fünf gleichen Zahlen definieren wir für eine kürzere Schreibweise wie folgt:
3 · 3 · 3 · 3 · 3 =: 35
Die Zahl 5 ist die Potenz zur Basis 3. Alternativ könnten wir schreiben:
(3 · 3 · 3) · (3 · 3) = 33 · 32 = 35
Diese Notierung läßt sich für jede reelle Zahl b (z.B. 2, 1/3 oder π) als Basis
und (zumindest bisher nur) für jede positive ganze Zahl n und m als Exponent
anwenden. Es folgt
bm · bn = bm+n
Betrachten wir nun die Operation, bei der sich die Zahl der Faktoren veringert, z.B. hier die Multiplikation von 35 mit f = 312
(3 · 3 · 3 · 3 · 3) ·
1
= 3 · 3 · 3 = 33 = 35 · f .
3·3
9
Die rechte Seite erfüllt die Gleichung, wenn f als 3−2 aufgefaßt wird. Die
Exponenten n, m können somit auch negative ganze Zahlen sein, wenn wir
folgende Definition einführen:
1
=: b−n .
bn
Für n = −m erhalten wir aus obiger Gleichung folgendes Ergebnis:
bm · b−m = bm−m = b0 = bm ·
1
bm
=
=1
bm
bm
b0 = 1
Daraus folgt allgemein:
Die 0. Potenz jeder beliebigen Basis ist gleich 1.
Betrachten wir nun, was passiert, wenn wir den Zahlenbereich, aus dem wir
den Exponenten wählen, erweitern. Angenommen x sei diejenige Zahl, welche
mit sich selbst multipliziert b ergibt, also x2 = b. Diese Zahl x könnte auch
als b1/2 geschrieben werden, da
x2 = b1/2
2
= x · x = b1/2 · b1/2 = b1/2+1/2 = b1
Allgemein gilt: b1/n ist die Zahl, die n mal mit sich selbst multipliziert b
ergibt:
n
b1/n = b|1/n · b1/n{z· . . . · b1/n} = b1 = b
n Faktoren
Aus der letzten Gleichung ergibt sich eine interesante Fragestellung. Da b0 =
1 unabhängig von b, welchen Wert hat dann b1/n für große Werte von n (in
diesem Fall nähert sich 1/n null an). Für n = 1000 erhalten wir mit einem
Taschenrechner für verschiedene Werte b:
b0,001 ∼
= 1 + a · 0, 001
Mit kleiner werdenden Werten für den Exponent 1/n wird diese Gleichung
immer genauer. Die Konstante a hängt vom Wert der Basis b ab. Für n =
1000 nimmt sie die folgenden Werte an:
b
10
8
4
3
2
a 2,3052 2,0816 1,3873 1,0992 0,6934
10
Aus der Tabelle ist ersichtlich, daß es einen zwischen 2 und 3 liegenden Wert
von b gibt, für den a den Wert 1 annimmt! Diese spezielle Zahl wird die
natürliche Basis genannt und mit dem Buchstaben e bezeichnet. Es ergibt
sich
e1/n = 1 + x
für 0 < 1/n 1
Diese Gleichung bleibt gültig, wenn beide Seiten n mal mit sich selbst multipliziert werden
n
e1/n = en/n = e1 = (1 + 1/n)n ,
so daß
e = (1 + 1/n)n
für n → ∞.
Zur Größenabschätzung kann man mit einem Taschenrechner oder durch ein
kurzes Computerprogramm den Wert von e für verschiedene Werte von n
berechnen:
n
(1 + 1/n)n
10
100
1000
10000
2,59374 2,70481 2,71692 2,71815
Der Grenzwert für große n ist
e = 2, 71828183 (gerundet)
Imaginäre Zahlen
Wir kommen nun zu einer weiteren interessanten Basis b, die sicher nicht
ohne einiges Nachdenken verdaut werden kann. Angenommen wir sollen ein
x finden, daß der folgenden Gleichung gehorcht:
x2 = −1 .
Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist. Also was für eine Zahl
ist es dann, die diese Gleichung erfüllt? Auf jeden Fall können wir ihr einen
Namen geben, auch wenn wir noch keine Ahnung haben, um was für eine
Zahl es sich handelt. Also definieren wir einfach eine Größe namens i, die die
Eigenschaft besitzt, daß ihr Quadrat gleich −1 ist.
i2 := −1
Ebenso wie wir Äpfel zählen können, z. B. drei Äpfel, können wir für i + i + i
kürzer 3i schreiben. Genauso gut geht es mit der Multiplikation, 4 · 3i ist
11
12i, oder der Division, d. h. i geteilt durch 10 ist i/10 und die Summe mit
i ergibt i + i/10 = 1, 1i. Alle diese Gebilde haben die allgemeine Form p · i
oder q · i, wobei p und q beliebige reelle Zahlen (3, 4/5 oder e, π)sind und i
die imaginäre Einheit darstellt. Wir bezeichnen diese Gebilde als imaginäre
Zahlen. Mit ihnen läßt sich eine “imaginäre Algebra” aufbauen, die genau
jener der reellen Zahlen entspricht, wenn alle Sumanden ein i enthalten, alle
Faktoren und Divisoren aber kein i enthalten. Wofür eine solche imaginäre
Algebra nützlich ist, werden wir weiter unten sehen.
Komplexe Zahlen
Interessant wird es, wenn wir z.B. 3 zu 4i adieren wollen. Wir können hier
nichts anderes tun, als dafür 3 + 4i zu schreiben, da wir nicht die reelle und
imaginäre Zahlenwelt miteinander mischen können. Genau so wie 3 Äpfel und
4 Birnen eben 3 Äpfel und 4 Birnen sind und nicht 7 Äpfel oder 7 Birnen
oder 7(Äpfel + Birnen).
Das Zahlengebilde 3 + 4i ist nur ein Beispiel für eine neue Art von Zahlen
der allgemeinen Form z = p + qi, die als komplexe Zahl bezeichnet werden.
Wir schreiben und definieren:
Komplexe Zahl: z = p + iq
p = Realteil von z = Re(z)
q = Imaginärteil von z = Im(z)
Komplexe Zahlen erscheinen auf den ersten Blick als ziemlich abstrakte Konstrukte für den Mathematiker, ihre Nützlichkeit für den Chemiker ist nicht
ohne weiteres erkennbar. Diese wird erst aber, nachdem wir uns mit den
Eigenschaften der komplexen Zahlen beschäftigt haben.
Konjugiert komplexe Zahlen
i und −i erfüllen i2 = −1 in gleicher Weise. Daraus leitet sich eine Besonderheit komplexer Zahlen ab: Zu jeder komplexen Zahl z = p + iq gibt es
eine ihr zugeordnete konjugiert komplexe Zahl z ∗ = p − iq, die einfach
dadurch entsteht, daß i durch −i ersetzt wird.
Eigentlich hätten wir auch sagen können, ersetze Im(z) = q durch Im(z) =
−q; was bei der einfache Form z = p + iq natürlich zum gleichen Ergebnis
führt. Die Regel “ersetze i durch −i” ist allerdings umfassender. Sie funktioniert nämlich auch, wenn z nur als algebraischer Ausdruck anderer komplexer
12
Zahlen, z. B. z = (z1 · z2 /z3 ) bekannt ist oder im Argument einer Funkton
auftritt, z. B. eiz . Das wird weiter unten deutlich!
Zu beachten ist schließlich
(z ∗ )∗ = z
Algebra komplexer Zahlen
Eine Algebra komplexer Zahlen läßt sich schlicht so durchführen, daß die
Algebra reeller und imaginärer Zahlen nebeneinander durchgeführt wird, mit
der zusätzlichen Regel, daß für Produkte von i’s gilt:
i · i = −1
Wir beginnen mit zwei komplexen Zahlen z1 und z2 !
Gegeben: z1 = p + i · q
und
z2 = u + i · v
Gleichheit:
z1 = z2
wenn Re(z1 ) = Re(z2 ), p = u
Im(z1 ) = Im(z2 ), q = v
Addition:
z1 + z2 = (p + u) + i(q + v) = z2 + z1
z1 und z2 können vertauscht werden!
Ebenso gilt:
z1∗ + z2∗ = (z1 + z2 )∗
z + z ∗ = 2 Re(z)
Subtraktion:
z1 − z2 = (p − u) + i(q − v)
z1∗ − z2∗ = (z1 − z2 )∗
z − z ∗ = i · 2 Im(z)
13
Multiplikation
z1 · z2 = (p + iq) · (u + iv) = pu + i(pv + qu) + i2 qv
= (pu − qv) + i(pv + qu) = z2 · z1
∗
∗
z1 · z2 = (z1 z2 )∗
Betrag (oder Modul):
Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl sind zwei Dinge, sie sind getrennt zu betrachten. Dennoch leuchtet es ein, daß die folgenden komplexen
Zahlen irgendwie verschiedene “Größe” besitzen:
1+i
1 + i · 10
10 + i
10 + i · 10
Ein präzises Maß, dessen geometrische Bedeutung später noch behandelt
wird, ist der Betrag oder Modul einer komplexen Zahl. Wir erhalten ihn
als Sonderfall der Multiplikation, bei dem z1 = p + iq =: z mit der komplex
konjugierten Zahl z ∗ multipliziert wird:
z · z ∗ = (p + iq) (p − iq)
= (p2 + q 2 ) + i(pq − qp) = p2 + q 2
und Bildung der Wurzel:
Betrag von z
√
|z| := | z z ∗ |
|z|2
= |z · z ∗ |
Division
Die Verknüpfung von z1 und z2 durch Addition, Subtraktion oder Multiplikation ist sehr einfach durchzuführen, es resultiert i. a. wieder eine komplexe
Zahl. Etwas komplizierte sieht es bei der Division aus:
z1
p + iq
=
= ?
z2
u + iv
z2 6= 0
Der Trick liegt hier in der Erweiterung des Bruches mit dem konjugiert komplexen Nenner. Mit 1 = z2∗ /z2∗ wird:
z1
(p + iq)(u − iv)
=
z2
(u + iv)(u − iv)
14
=
Ebenso gilt
z1∗
=
z2∗
pu + qv
qu − pv
+i 2
2
2
u +v
u + v2
z1
z2
∗
z2 6= 0
Für die Verknüpfung von drei oder mehr komplexen Zahlen gelten zusätzlich
zum
kommutativen Gesetz der
Addition
z1 + z2 = z2 + z1
Multiplikation z1 · z2 = z2 · z1
das assoziative Gesetz der
Addition
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 )
Multiplikation (z1 · z2 ) · z3 = z1 · (z2 · z3 )
und das distributive Gesetz (“Klammerauflösung”)
z1 (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3
Bei mehrfachen Produkten komplexer Zahlen ist zu beachten, daß gemäß
i2 = −1 gilt:
i1 = i; i2 = −1; i3 = i · i2 = −i;
i4 = i2 · i2 = 1;
und
i−1 = i/i2 = −i;
i5 = i · i4 = i; . . .
i−2 = 1/i2 = −1;
i−4 = 1/i4 = 1;
i−3 = i/i4 = i;
i−5 = i−1 i−4 = −i; . . .
Ebenso gilt
i0 = i/i = 1
Hinsichtlich konjugiert komplexer Zahlen gilt:
(z1 + z2 + . . . + zn )∗ = z1∗ + z2∗ + . . . + zn∗ , (z1 z2 . . . zn )∗ = z1∗ z2∗ . . . zn∗
und insbesondere
(z n )∗ = (z ∗ )n
15
Für den Betrag |z| eines Produktes z = z1 z2 gilt
|z1 z2 | = |z1 | · |z2 |
wegen
|z|2 = |z1 · z2 |2 = (z1 z2 ) (z1 z2 )∗ = (z1 z1∗ ) (z2 z2∗ )
= |z1 |2 · |z2 |2
Konjugiert komplexe Gleichungen
Am Beispiel der Division wollen wir noch eine allgemeine Eigenschaft von
Gleichungen mit komplexen Zahlen kennenlernen:
1−i
= x+ iy
1+i
Wie oben gezeigt ermitteln wir x und y durch Erweiterung mit dem konjugiert
komplexen Nenner:
1−i 1−i
1 − 1 + i(−1 − 1)
·
=
= −i
1+i 1−i
1+1
d. h. es gilt x = 0 und y = −1. Da −i die Definitionsgleichung i2 := 1
genauso erfüllt wie +i, ist zu vermuten, daß die komplexe Gleichung
1−i
= −i
1+i
auch dann gilt, wenn i durch −i ersetzt wird, wir also zur konjugiert komplexen Gleichung übergehen:
1+i
= +i
1−i
In der Tat erhalten wir durch Erweiterung mit dem konjugiert komplexen
Nenner:
1+i 1+i
1 + 2i − 1
·
=
=i
1−i 1+i
2
Allgemein gilt:
Gleichungen mit komplexen Zahlen bleiben auch dann gültig, wenn i durch
−i (oder alternativ −i durch i) ersetzt wird.
16
Geometrische Deutung komplexer Zahlen
Die komplexen Zahlen lassen sich geometrisch deuten. Eine komplexe Zahl z
wird durch ihren Realteil p und ihren Imaginärteil b beschrieben, also durch
zwei voneinander unabhängige Größen. Geometrisch anschaulich stellt man
diese Zahl auch durch einen Punkt z in einer Ebene dar, dessen Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem p und q sind. Wir können
uns z auch als Pfeil vom Nullpunkt des Koordinatensystems zum Punkt z
vorstellen:
6Imaginäre Achse
|z| =
p
*
-
p HH Φ
reelle Achse
HH
HHH ∗
j z = p − iq
−q
z = p + iq
q
p2 + q 2
Die zur Koordinate p gehörende Achse nennt man die reelle Achse, die zur
Koordinate q gehörende die imaginäre Achse. Für q = 0 ist z eine reelle
Zahl p. Diese liegt auf der reellen Achse. Für p = 0 ist z eine imaginäre Zahl
iq, die auf der imaginären Achse liegt. Der absolute Betrag |z| bezeichnet die
Länge des Pfeils z, d. h. den Abstand des Punktes z vom Nullpunkt.
Die zu z konjugiert komplexe Zahl z ∗ entsteht durch Spiegelung von z an der
reellen Achse.
Definition: Als Argument arg(z) der komplexen Zahl z 6= 0 bezeichnet
man den Winkel Φ (im Bogenmaß), zwischen dem Pfeil z und der positiven
Richtung der reellen Achse.
Achtung: Der Winkel Φ ist nur bis auf ein additives, ganzzahliges Vielfaches
von 2π bestimmt. Also
arg(z) = Φ + 2kπ ,
k = 0, ±1, ±2, . . .
Wenn man z.B. −π ≤ arg(z) ≤ +π verlangt, so ist das Argument eindeutig.
17
Die trigonometrische Darstellung einer komplexen Zahl
Sei z = p + qi 6= 0. Wir setzen r = |z| und Φ = arg(z) dann ist p = r cosΦ,
q = r sinΦ. Daraus folgt:
z = r(cosΦ + i sinΦ)
r und Φ sind die Polarkoordinaten von z. r ist der Polarabstand und Φ
der Polarwinkel. z = r (cosΦ + i sinΦ) heißt die trigonometrische Form
der komplexen Zahl z, während p + qi die algebraische Form ist.
Es ist natürlich:
z = r {cos(Φ + 2kπ) + i sin(Φ + 2kπ)}
k = 0, ±1, ±2, . . .
Wenn p und q bekannt sind, kann man daraus r und Φ bestimmen:
√
r = |z| = a2 + b2
q
p
q
tanΦ =
(da cosΦ =
und sinΦ = ).
p
r
r
Die Vorzeichen von p und q entscheiden, in welchem Quadranten Φ zu wählen
ist.
p, q
Φ
p, q ≥ 0
im I. Quadranten
p≤0
im II. Quadranten
q≥0
p, q ≤ 0 im III. Quadranten
p≥0
im IV. Quadranten
q≤0
Komplexe Potenzen
Nachdem wir einiges über Potenzen von e und über komplexe Zahlen gelernt
haben, stellt sich eine neue interessante Frage. Wie sind komplexe Potenzen
einer Basis, sagen wir e, zu berechnen?
er+is = ?
Es gibt keinen Grund, warum die schon bekannten Rechenregeln nicht auch
für komplexe Zahlen gelten sollten. Daher schreiben wir:
er+is = er · eis
18
Da wir wissen, wie man mit er umgeht, besteht das Problem nur in der Berechnung von eis . Es ist zu vermuten, daß das Ergebnis wieder eine komplexe
Zahl x + iy sein wird. Also müssen die x und y, die zu einem bekannten s
gehören gefunden werden.
eis = x + iy
Wie oben gesehen, muß auch das konjugiert Komplexe dieser Gleichung wahr
sein, also
e−is = x − iy.
Eine Multiplikation beider Gleichungen führt uns zu folgendem interessanten
Ergebnis:
eis · e−is = e+is−is = e0 = (x + iy) · (x − iy)
1 = x2 + y 2
Wenn wir x finden, kennen wir damit auch y 2 . Trotzdem besteht noch das
Problem, wie wir eine imaginäre Potenz von e zu berechnen haben. Aus den
Rechenregeln für Potenzen wissen wir immerhin, daß sobald wir das Ergebnis
für ein bestimmtes s kennen, wir das Ergebnis für 2 · s durch Quadrieren
des ersten Ergebnises erhalten. Aber wie gelangen wir zu einem Startwert?
Zunächst machen wir eine etwas gewagte Annahme, die jedoch zu sinnvollen
Ergebnissen führt. Diese erweisen sich besonders in der Analyse von Spektren
als sehr nützlich. Wir nehmen an, daß ex = 1 + x für x 1 nicht nur für
reelle, sondern auch für Exponenten der Form i · s gilt, solange s klein gegen
1 ist:
eis = 1 + i · s 0 < s 1
Im nächsten Schritt multiplizieren wir diese Gleichung mit eis und erhalten
als Ergebnis:
eis · eis = (1 + i · s) · (1 + i · s) oder
ei2s = (1 − s2 ) + i · 2s
= x2 + i · y2
Ebenso
ei3s = (x2 + iy2 ) · (1 + i · s)
= (x2 − y2 s) + i · (y2 + x2 s)
= x3 + i · y3
19
Das Ergebnis nach n − 1 wiederholten Multiplikationen läßt sich durch folgende Rekursions-Formel angeben:
eins = (xn−1 − yn−1 s) + i · (yn−1 + xn−1 s)
= xn + i · yn
Mit zunehmendem n verringert sich der Realteil xn und geht durch null. Der
Imaginärteil yn hingegen nimmt zu. Um ein detaillierteres Bild zu bekommen
berechenen wir sukzessiv die Werte von xn und yn für ein gegebenes s und
n = 0, 1, 2, 3, . . . , N nach obiger Gleichung. Am besten geht dies mit einem
programierbaren Taschenrechner oder direkt am Computer. Zu Beginn setzen
wir für s = 0, 2 und für N = 50, dabei erwarten wir nur ein genähertes
Ergebnis, da s nicht sehr klein gegen 1 ist. Die erzielten Werte sind in der
folgenden Tabelle wiedergegeben.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
+1,00
+1,00
+0,96
+0,88
+0,726
+0,608
+0,424
+0,216
-0,01
-0,244
-0,477
-0,701
-0,906
-1,083
-1,223
-1,320
-1,368
-1,364
xn
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
i·0
i · 0, 2
i · 0, 4
i · 0, 592
i · 0, 768
i · 0, 92
i · 1, 042
i · 1, 127
i · 1, 17
i · 1, 168
i · 1, 119
i · 1, 024
i · 0, 883
i · 0, 702
i · 0, 486
i · 0, 241
i · 0, 023
i · 0, 297
n
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
-1,304
-1,191
-1,025
-0,811
-0,556
-0,269
+0,040
+0,360
+0,679
+0,983
+1,260
+1,497
+1,685
+1,812
+1,872
+1,859
+1,772
+1,610
xn
+
+
+
+
i · 0, 569
i · 0, 830
i · 1, 068
i · 1, 273
i · 1, 435
i · 1, 547
i · 1, 601
i · 1, 592
i · 1, 520
i · 1, 385
i · 1, 188
i · 0, 936
i · 0, 637
i · 0, 300
i · 0, 063
i · 0, 437
i · 0, 809
i · 1, 163
Für n = 8, also wenn der Exponent von e gleich 8 · 0, 2 · i = 1, 6i ist, schneidet
der Realteil Null und der Imaginärteil hat ein Maximum. Für n = 16 befinden
sich Real- und Imaginärteil nahe am Minimum bzw. nahe bei Null. Bei n = 24
werden Null und ein Minimum erreicht. Schließlich nähert sich der Realteil
20
für n = 32 (wie schon für n = 0) einem Maximum, während der Imaginärteil
nahe bei Null liegt. Der Verlauf von x ist im folgenden Bild dargestellt.
Wenn man die Berechnungen mit s = 0, 01 und n = 1000 wiederholt ähneln
die Verläufe des Real- und des Imaginärteils sehr stark einer Sinus- bzw.
Cosinus-Periode (siehe Abbildung). Das zweite Minimum bei n ∼
= 942 weicht
∼
etwas stärker von −1 ab als das erste Minimum bei n = 314, da die Gleichung
für das verwendete s nicht exakt gilt. Trotzdem bekommen wir einen guten
Eindruck vom Verhalten des Real- und Imaginärteils. Der Realteil von eins
sieht wie eine Cosinus-, der Imaginärteil wie eine Sinus-Funktion aus. Daher
können wir schreiben
eiθ = cosθ + i · sinθ
θ := n · s
Wie oben gesehen muß die Summe der Quadrate von Real- und Imaginärteil
21
1 ergeben,
1 = cos2 θ + sin2 θ,
was mit unserem Wissen über das Verhalten der Sinus- und Cosinus-Funktion
übereinstimmt. Die Übereinstimmung zwischen geometrischem und algebraischem Sinus und Cosinus ist perfekt, wenn s → 0 und N → ∞. Wir
müssen es nicht so weit treiben, um festzustellen, daß wir gewissermaßen
die Quadratur des Kreises auf eine algebraische Weise erreicht haben. Aus
der Geometrie wissen wir, daß cos90◦ = 0 bzw. cos(π/2) = 0 wenn wir
den Winkel ϕ im Bogenmaß (= Länge des Kreisumfangs des Einheitskreises) angeben. Überprüfen wir nun, ob dies auch auf dem algebraischen Weg
herauskommt. Mit s = 0, 01 erhalten wir für den Realteil von eisn 0,0008553
(n = 157) bzw. -0,009 (n = 158). Durch lineare Interpolation erhalten wir
ϕ = n · s = 157, 087 · 0, 01 = 1, 57087. Dieser Wert liegt ziemlich nahe bei
π/2 = 1, 570796. Wählt man kleinere Werte für s und größere für N, so kann
man die Zahl π beliebig genau bestimmen:
π = 3, 14159265 gerundet
Die Exponentialdarstellung der komplexen Zahlen
Im Vorangehenden haben wir gelernt, daß die Gleichung
eix = cosx + isinx
das Bindeglied zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen
Funktionen darstellt. Sie wird als Eulersche Gleichung bezeichnet. Entsprechend gilt für eine allgemeine komplexe Zahl:
z = p + iq = r(cosΦ + isinΦ) = reiΦ
reiΦ heißt die Exponentialdarstellung von z.
Seien z1 = |z1 |eiΦ1 , z2 = |z2 |eiΦ2 , dann ist
z3 = z1 z2 = |z1 | · |z2 |ei(Φ1 +Φ2 ) = |z3 |eiΦ3

 |z3 | = |z1 | · |z2 |
⇒

Φ3 = Φ1 + Φ2
22
also
|z1 z2 | = |z1 | · |z2 | und arg z1 z2 = arg z1 + arg z2
Komplexe Zahlen lassen sich in der Exponentialdarstellung sehr einfach potenzieren:
z n = rn · einΦ
Satz von De Moivre
Es ist eiΦ = cosΦ + i sinΦ, d. h.
n
eiΦ
= (cosΦ + i sinΦ)n
oder
ei(Φn) = (cosΦ + i sinΦ)
ei(Φn) = cosnΦ + i sinnΦ
Durch Vergleich der beiden letzten Gleichungen ergibt sich
(cosΦ + i sinΦ)n = cos n Φ + i sin n Φ
Periodizität von eiΦ
Die Graphen von sinΦ und cosΦ zeigen unmittelbar, daß die Bilder in den
Intervallen 0 ≤ Φ ≤ 2π, 2π ≤ Φ ≤ 4π,. . . , usw. und ebenso zu negativen Φ-Werten gleich sind. Deswegen werden die sin− und cos−Funktion
als periodisch mit der Periode 2π bezeichnet. Diese Periodizität zeigt sich
dementsprechend auch in eiΦ , das ja gleich cosiΦ + isinΦ ist:
ei(Φ+2π) = eiΦ · ei 2π
= eiΦ (cos2π + isin2π) = eiΦ (1 + i · 0)
= eiΦ
Diese Gleichheit gilt für jedes ganzzahlige Vielfache von 2π
ei(Φ+n2π) = eiΦ
n = 0, ±1, ±2, . . .
23
.
y ..
.........
.............. ... ..................s....
.
.
.
.
.
.
.
..
. ....
....
.. ... ......
.....
...
.. ......
.
...
.. .. ....
...
..
.... Φ ...
.
.........................................................................................................................
...
..
.x
..
...
..
.
...
..
..
....
.
.
.
.
.
.....
..
....
.......
.............. ... ...................
.........
..
.
eiΦ stellt in der komplexen Zahlenebene, sagen wir für Φ = 60◦ , einen Punkt
auf dem Einheitskreis √
mit den Koordinaten (x, y) = (1/2, 3/2) dar. Für
n = 1 macht der Punkt entlang des
Kreises genau einen Umlauf im AntiUhrzeigersinn, für n = 2, 3, . . . entsprechend zwei, drei, . . . Umläufe. Für
n = −1 ist es gerade ein Umlauf im
Uhrzeigersinn, für n = −2, −3, . . . entsprechend zwei, drei, . . . ! Die Periodizität von eiΦ ist damit unmittelbar anschaulich.
Wurzeln von 1
Jeder weiß, daß die Gleichung
z2 = 1
durch die Werte z1 = +1 und z2 = −1 erfüllt ist. z1 und z2 werden auch als
Wurzeln bezeichnet oder als Nullstellen der Gleichung
z 2 − 1 = 0.
Für das Verständnis des weiteren schreiben wir beide Wurzeln mit neuen
Indizes:
z0 = 1 + i · 0 = cos0◦ + isin0◦ = ei·0·2π/2
z1 = −1 + i · 0 = cos180◦ + isin180◦ = ei·1·2π/2
Beide Werte sind ein Beispiel mit N = 2 der allgemeinen Definition
zn := ei·n2π/N
n = 0, 1, 2, . . . , N − 1
Da gilt
N
(zn )N = znN = ein2π N = ein2π = 1
sind zn die N Wurzeln oder Nullstellen der Gleichungen
z N = 1 bzw. z N − 1 = 0
24
Die N Werte zn stellen N Punkte in gleichen Abständen auf dem Einheitskreis dar mit den Winkeln Φ = 0 · 2π
, 1 · 2π
, . . . (N − 1) 2π
:
N
N
N
...
...
...
N = 5 ......................................s..........
N = 6 ...s........................................................s..
N = 4 .........................s.......................
.
. ...
.
.
. ..
........
...
.................... ... ...............
.......
..... ...... .. ...... .....
.......
..
.... ...
..
........s.
.. .....
..... ....... ... ......... ......
... ...
.
.
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..... ..
.
......
.
.
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.. ......
..
.......
. ...
.
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..
.
........
.
..s....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...........................................................................................s........
............s..............................................................................s.........
............................................................................................s.........
.
.
.
.
.
.
.
... ..
.....
... ......
..
..
....
..
......
..... ...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
... ......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
... ...
..
..
. ...
.... ..... .. ....... ...
.......
s.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.................... . ... ...
...... ..... . .... .....
.........
.
. .....
.......... ...............s.........
.......... ........... ..........
s.........................................s...
.
.....................
................
.........s.......
..
..
..
.
Wie die Abbildungen erkennenlassen, bilden die N zn -Werte die gleichseitigen Vielecke, also hier das Vier-, Fünf- und Sechseck, die dem Einheitskreis
einbeschrieben sind.
Kurzschreibweise von Summen und Produkten
In Chemie und Physik müssen häufig viele Zahlen summiert werden. Schreiben wir jede Zahl als Buchstabe (a, b, usw) mit Index (k, n, usw.) z.B. a mit
n = 1, 2, 3, . . . , N, dann lautet eine solche Summe allgemein:
a1 + a2 + . . . + aN −1 + aN
Sie erfordert einige Schreibarbeit, wir nehmen deshalb das große griechische
Sigma Σ (S wie Summe) und definieren:
N
X
an := a1 + a2 + . . . + aN
n=1
Die Variable n, die der Reihe nach die Werte 1, 2, . . . , n belegt heißt Summationsindex. Die beiden Zahlen 1 und N, die die Werte von n begrenzen,
sind die Summationsgrenzen.
Der Wert der Summe ist von der Bezeichnung der Summationsindizes unabhängig:
N
N
N
X
X
X
an =
aj =
ak .
n=1
j=1
k=1
Manchmal ist es notwendig, für den Summationsindex n eine Transformation:
n = k + r, r beliebig gewählte ganze Zahl, k neuer Summationsindex, vorzunehmen. Dann erfolgt die Umformung nach folgender Regel: Umformung
25
der Summationsgrenzen:
n = 1, k + r = 1, neue untere Grenze: k = 1 − r;
n = N, k + r = N, neue obere Grenze: k = N − r;
Einsetzen von k + r für n in den Ausdruck an : ak+r ; also:
N
X
an =
n=1
N
−r
X
ak+r .
k=1−r
Summen und Produkte von Summen
Es sei bn mit n = 1, 2, . . . , N ein zweiter zu addierender Satz von Zahlen. Es
gilt dann für die Gesamtsumme der a- und b-Zahlensätze
N
X
n=1
an +
N
X
N
X
bn =
(an + bn )
n=1
n=1
Entsprechendes gilt für die Differenz.
Für eine beliebige reelle Zahlensumme erhalten wir weiter
N
X
c an = c
n=1
N
X
an
n=1
Das Produkt zweier Summen, z. B.
(a1 + a2 )(b1 + b2 ) = a1 b1 + a1 b2 + a2 b1 + a2 b2 ,
läßt sich ausmultiplizieren und die entstehende Summe durch Verwendung
zweier Summationszeichen nebst Indizes n und m schreiben:
! N
!
N
N X
N
X
X
X
an
bm =
(an bm )
n=1
m=1
n=1 m=1
Die Summationsgrenzen können verschieden sein, jedoch muß die Anzahl der
Summenglieder beider Summen gleich sein!
26
Produkte von Zahlen
Die abgekürzte Schreibweise bei Summen kann auch beim Produkt vieler
Zahlen eingesetzt werden. Hier dient — vom Wort her einleuchtend — der
große griechische Buchstabe Pi Π (P wie Produkt) als Symbol, es gilt die
Definition:
N
Y
an := a1 · a2 · . . . · aN
n=1
n ist der Multiplikationsindex, 1 und N sind die Multiplikationsgrenzen. Für eine beliebige reelle Zahl c gilt
N
Y
(c · an ) = c
N
n=1
N
Y
an .
n=1
Q
Für das Produkt N
n=1 n = 1 · 2 · 3 · . . . · N führt man ein einfacheres Symbol
N! (lies: N Fakultät) ein. N! ist so für alle natürlichen Zahlen N als das
Produkt der Zahlen 1, 2, . . . , N definiert, mit der zusätzlichen Verabredung
0! = 1.
Relationen (Ungleichungen)
Die folgenden Betrachtungen gelten nur für reelle Zahlen, komplexe Zahlen
sind ausgeschlossen.
Aus a < b folgt trivialerweise a + c < b + c für jede reelle Zahl c, zu beiden
Seiten einer Ungleichung kann also dieselbe Zahl c addiert werden. Bei der
Multiplikation beider Seiten mit demselben c sind drei Fallunterscheidungen
zu treffen.
ac < bc
ac = bc
ac > bc
für
für
für
c > 0,
c = 0 und
c < 0.
Division durch c ist nichts anderes als Multiplikation mit c−1 , weswegen die
Multiplikationsregel gilt, da ja c dasselbe Vorzeichen wie c−1 hat, d.h.
c > 0 =⇒ c−1 > 0 und c < 0 =⇒ c−1 < 0.
Zwei Ungleichungen dürfen wir stets addieren, aus a < b und c < d folgt
a + c < b + d, während beim Multiplizieren Vorsicht geboten ist:
27
aus a < b und c < d folgt ac < bd, falls a ≥ 0, c ≥ 0.
Zwei Ungleichungen
−a < x und x < a
können wir zusammenfassen als
−a < x < a
oder kürzer schreiben
|a| > x.
Schließen beide Ungleichungen die Gleichheit ein, also
−a ≤ x und x ≤ a,
so schreiben wir
−a ≤ x ≤ a oder |a| ≥ x.
Dreiecksungleichung heißt der Zusammenhang
|x + y| ≤ |x| + |y|,
dessen Gültigkeit für die Beispielspaare (x, y) = (1, 2), (−1, 2), (1, −2) und
(−1, −2) unmittelbar einleuchtet.
Aus Ungleichungen mit einer Unbekannten x läßt sich folgendes schließen:
A. ax > b : a > 0 ⇒ x >
a < 0 ⇒ x < ab
b
a
B. x2 > m,
zu unterscheiden sind:
√
√
√
1. m > 0 |x| > m ⇐⇒ x > m und x < − m
2. m = 0
alle x 6= 0
3. m < 0
alle x sind Lösung.
C. x2 < m, zu unterscheiden sind:
√
√
√
1. m > 0 |x| < m ⇐⇒ − m < x < m
2. m ≤ 0
keine Lösung
28
Binomischer Satz
Primzahlen und Chemie
Die meißten der natürlichen Zahlen können wir durch eine andere natürliche
Zahl teilen, ohne daß ein Rest übrigbleibt, diese wollen wir zusammengesetzte
Zahlen nennen. Ist jedoch eine Zahl nur durch sich selbst und 1 teilbar, so
nennen wir sie eine Primzahl. Beispiele für Primzahlen sind
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
Alle Primzahlen, mit Außnahme der 2, sind ungerade. Die 1 ist weder zusammengesetzt noch eine Primzahl.
In der Chemie können wir jede Verbindung durch eine Summenformel beschreiben, etwa:
C6 H12 O2
Etwas ähnliches ist auch in der Mathematik möglich; jede natürliche Zahl läßt
sich nähmlich als Produkt von Primzahlen ausdrücken, (Fundamentaltheorem der Arithmetik):
Y e
n = 2e1 · 3e2 · 5e3 · . . . · penn =
pi i
i
Zum Beispiel ist 105 = 3·5·7. Eine solche Faktorisierung wird auch als Primzahlzerlegung bezeichnet. Die Primzahlen sind für den Mathematiker also so
etwas wie die Elemente des Periodensystems für den Chemiker. Während
wir in der Chemie es aber nur mit 99 (bzw. 109) Elementen zu tun haben,
ist die Anzahl der “Elemente” der natürlichen Zahlen, also die Anzahl der
Primzahlen, unendlich.
Dies hat schon Euklid durch einen Widerspruchsbeweis gezeigt: Zunächst
nehmen wir an, es gibt eine größte Primzahl pr . Dann erzeugen wir uns
eine Zahl N, indem wir alle Primzahlen miteinander multiplizieren und eins
dazuzählen:
N = p1 p2 · · · pr + 1
N ist also größer als pr , und kann daher, gemäß unserer Annahme, selber
keine Primzahl sein. Also müssen wir N durch eine Primzahl teilen können,
ohne daß wir einen Rest erhalten. Da aber alle Primzahlen jeweils bei Division
den Rest 1 erzeugen, kann es keine der bisherigen Primzahlen sein. Daher muß
29
die gesuchte Primzahl größer als pr sein. Unsere Annahme war also falsch, es
muß vielmehr unendlich viele Primzahlen geben.
Die zur Zeit größte bekannte Primzahl lautet
22976221 − 1
Ausgeschrieben würde diese Zahl ein Taschenbuch von ca. 450 Seiten füllen.
Um zu testen, daß sie wirklich eine Primzahl ist, waren auf einem Pentium
100 PC 15 Tage Rechenzeit notwendig. Sie gehört zur besonderen Gruppe
der Mersenn’schen Primzahlen, die nach der allgemeinen Formel Mp = 2p − 1
gebildet werden. Das Problem liegt darin, welche Exponenten P wirklich
eine Primzahl ergeben (näherers über die Suche nach weiteren Mersenn’schen
Primzahlen im Internet unter http://www.mersenne.org./prime.htm).
Wichtig sind Primzahlen vorallem für die Verschlüsselung von Informationen. Dazu werden Schlüssel verwendet, die man aus dem Produkt zweier
Primzahlen erhält. Kennt man die beiden Primzahlen nicht, ist es nur mit
jahrelangem Rechenaufwand möglich, die Schlüsselzahl in ihre Faktoren zu
zerlegen, mit den Primzahlen dagegen ist dies nur eine Angelgegenheit von
Milisekunden. Wichtig sind Primzahlen auch für die Erzeugung von Zufallszahlen, worauf wir später noch eingehen werden.
Zahlen im Computer
Zunächst müssen wir uns überlegen, wie wir Zahlen darstellen können. Zum
Beispiel könnten wir Zahlen einfach durch eine Anzahl an Strichen darstellen,
hierbei stoßen wir aber auf Probleme, sobald wir die natürlichen Zahlen verlassen. Die uns geläufigste Methode ist die der Dezimaldarstellung. Nehmen
wir als Beispiel die ganze Zahl 1429.
1492 = 1 · 1000 + 4 · 100 + 2 · 10 + 9 · 1
= 1 · 103 + 4 · 102 + 2 · 101 + 9 · 100
Wie wir sehen, fassen wir 1492 als eine Summe von Vielfachen von 10-er Potenzen auf. In der Dezimaldarstellung zerlegen wir eine Zahl also in Potenzen
der Basis 10. Wie häufig eine Potenz von 10 auftritt geben wir in einer Ziffer
zwischen 0 und 9 an, für welchen Exponenten die Ziffer gilt, symbolisieren
wir durch die Stellung der einzelnen Ziffer in der Zahl.
Andere Zahlendarstellungen können wir erhalten, wenn wir statt 10 eine
andere Basis wählen. Die einfachste mögliche Basis ist 2. Wollen wir wieder
30
1492 dastellen, so müssen wir die Zahl nach Potenzen von 2 zerlegen:
1492 = 1024 + 256 + 128 + 64 + 16 + 4
= 1 · 210 + 0 · 29 + 1 · 28 + 1 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 +
+1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20
oder einfacher
= 10111010100
Diese Form der Zahlendarstellung ist geradezu prädestiniert für die Darstellung von Zahlen im Computer. Ein elektronischer Schaltkreis kann immer
nur einen von zwei Zuständen, zum Beispiel
• 0–1
• Strom an – Strom aus
• Spannung unter einem Grenzwert – Spannung über einem Grenzwert
einnehmen. Ein einzelnes Element mit zwei möglichen Zuständen nennen wir
Bit.
Ein Bit alleine hilft uns jedoch noch nicht weiter, daher fassen wir mehrere
Bit zu einem Word zusammen. Nehmen wir zum Beispiel 8 Bit so erhalten
wir ein Byte genanntes Word. Mit einem Byte können wir immerhin schon
die Zahlen zwischen 0 und 255 = 28 − 1 darstellen.
Allgemein können wir mit einem n-bit Word die Zahlen zwischen 0 und 2n −1
darstellen. Für unser Beispiel 1492 reicht also ein Byte nicht aus, wir benötigen mindestens 10 Bit.
Eine andere häufig verwendete Darstellung ist die sogenannte Hexadezimaldarstellung, in der, wie ihr Name schon verrät, die Zahl als Summe
von Potenzen der Basis 16 aufgefaßt wird. Dabei reichen die Ziffern von 0
bis 9 nicht mehr aus und wir brauchen 6 zusätzliche Symbole – Verwendung
finden die Großbuchstaben A, B, C, D, E, F. Unser Beispiel 1492 lautet in der
Hexadezimaldarstellung also
1492 = 5 · 484 + 13 · 16 + 4 · 1
= 5 ∗ 162 + 13 ∗ 161 + 4 · 160
= 5D4
31
Eine allgemeine Formulierung für die Darstellung einer Zahl Z in einem System mit beliebiger Basis B lautet:
Z=
n
X
bi · B i
m, n ∈ Z, n > m
i=m
Für ganze Zahlen ist die Darstellung in binärer Form unmittelbar einleuchtend. Wie können wir jedoch rationale Zahlen darstellen? Die Antwort ist
einfach. Wir müssen ja nicht nur positive Exponenten von 2 zulassen, sondern können auch negative Exponenten verwenden.
Um jedoch eindeutig zu wissen, welche Position in der Binärzahl welchem
Exponenten entspricht, müssen wir vorgeben, an welcher Stelle das Komma
der Zahl steht, wo also die 0te Potenz von 2 notiert ist.
Nehmen wir an, wir haben nur Nachkommastellen, so nennen wir die Zahl
eine Fixkommazahl. Haben wir zum Beispiel ein 16-bit Word, so können
wir dadurch die Zahlen zwischen +0, 99..99 und −0, 99..99 in folgender Weise
darstellen:
N = ±{1 · 2−1 + 0 · 2−2 + . . . + 0 · 2−14 + 1 · 2−15 }
1
1
1
1
= ±{1 · + 0 · + . . . + 0 ·
+0·
}
2
4
16384
32768
= ±1010011100010101
Die Darstellung ganzer Zahlen ist also im Bereich von +(2n−1 −1) bis −(2n−1 −
1) möglich, die Fixkommazahlen bieten einen Bereich von +0, 99 . . . 99 bis
−0, 99 . . . 99. Kombinieren wir nun beide Darstellungen so erhalten wir die
sogenannte Fließkommadarstellung.
In dieser Darstellung wird eine reelle Zahl R nach einem bestimmten Schema
in die nächstgelegene darstellbare Zahl R0 umgewandelt. Dazu wird die Zahl
als das Produkt aus einer Zahl zwischen 1 und 2 und einer Potenz einer
geeigneten Basis, z.B. 2, aufgefaßt:
R0 = (−1)S · 1, F · 2E−127
Wählen wir für den Exponenten E ein 8-bit Word und für die Mantisse F
23 bit, so brauchen wir insgesammt ein 32-bit Word um die Zahl darstellen
zu können (da wir ein weiteres bit S für das Vorzeichen benötigen).
Wie oben schon erwähnt ist es oft nur möglich, eine Zahl R0 , die in der Nähe
von R liegt, darzustellen, wir machen also durch die Umwandlung in eine
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Fließkommazahl einen Fehler. Oftmals ist es daher günstiger die Zahl so mit
einem Faktor zu multiplizieren, daß wir sie durch eine Fixkommazahl darstellen können. Ein anderer Weg, den Fehler zu minimieren, ist, zum Beispiel
eine 64 bit Darstellung (doppelt genaue Fließkommadarstellung) zu wählen.
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