Vorkurs, Teil 1

Vorkurs, Teil 1
Lehrbuch: Sydsaeter / Hammond, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Pearson
Studium, ISBN 978-3-8273-7223-9
Skript von Sevtap Kestel
Inhalt
(1) Einführung: Zahlen, Funktionen Potenzfunktion, Exponentialfunktion (Lehrbuch
Kap. 1–4)
(2) stetige Funktionen, Grenzwerte, Ableitungen, Extremwerte, Exponentialfunktion,
Logarithmus (Lehrbuch Kap. 6–8)
(3) Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Determinanten (Lehrbuch Kap. 15–16)
Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
• natürliche Zahlen N: 1, 2, 3, . . .
• Beweis durch vollständige Induktion: Zu jeder natürlichen Zahl n sei eine Aussage
A(n) gegeben. Dann sind alle Aussagen A(n) richtig, wenn (i) and (ii) bewiesen
werden können:
(i) A(1) ist richtig (Induktionsanfang).
(ii) Wenn A(n) wahr ist, dann ist auch A(n + 1) wahr für jede natürliche Zahl n
(Induktionsschluss).
• Nach (i) ist die Aussage für n = 1 richtig; nach (ii) also, wenn dort n = 1 gesetzt
wird, auch für n + 1 = 2. Da nunmehr die Vorraussetzung für (ii) auch für n = 2
gegeben ist, ist die Aussage also auch für n = 3 richtig usw.
1
• Beispiele:
1. Für jede natürliche Zahl n gilt:1
A(n) : 1 + 2 + 3 + · · · + n =
n
∑
i=
i=1
n(n + 1)
2
(2)
(i) Die Formel stimmt für n = 1.
(ii) Schluss von A(n) auf A(n + 1): Gilt die Formel für A(n), so gilt sie auch für
A(n + 1), da aus A(n) folgt
A(n)
1 + 2 + · · · + n + (n + 1) =
n(n + 1)
(n + 1)(n + 2)
+ (n + 1) =
.
2
2
(3)
2. (geometrische Summenformel) Für jede Zahl x ̸= 1 gilt
1 + x + x + x + ··· + x =
2
3
n
n
∑
xi =
i=1
1 − xn+1
.
1−x
(4)
Für n = 1 ist die Formel richtig. Der Schluss von n auf n + 1 folgt dann aus
1 + x + x2 + · · · + xn + xn+1 =
1 − xn+1
1 − xn+2
+ xn+1 =
.
1−x
1−x
(5)
(Gleichung (4) kann z.B. auch wie folgt abgeleitet werden: Definiere
S := 1 + x2 + x3 + · · · xn .
(6)
Wenn wir beide Seiten mit (1 − x) multiplizieren, ergibt sich
S(1 − x) = 1 − xn+1 ,
(7)
woraus (4) folgt.)
• Weitere Beispiele, die durch Induktion bewiesen werden können (Übung):
1
Dabei ist
∑
das Summenzeichen: Für Zahlen a1 , a2 , . . . an und ganze Zahlen p ≤ q ≤ n ist
ap + ap+1 + · · · + aq =
q
∑
i=p
Für p > q ist (1) gleich Null.
2
ai .
(1)
– Summe der Quadrat– und Kubikzahlen
n(n + 1)(2n + 1)
6
[
]2
n2 (n + 1)2
n(n + 1)
=
=
= (1 + 2 + 3 + · · · + n)2
4
2
12 + 22 + 32 + · · · + n2 =
13 + 23 + 33 + · · · + n3
– Summe der ersten n ungeraden Zahlen:
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 .
– Für x ̸= 1 ist
1 − x2
(1 + x)(1 + x )(1 + x ) · · · (1 + x ) =
.
1−x
n+1
2
4
2n
(8)
Binomialkoeffizienten
• Für n ∈ N definiert man n! (n–Fakultät) durch
n! := 1 · 2 · 3 · · · n.
(9)
Es gilt die Festsetzung 0! = 1.
• Die Anzahl aller Anordnungen n verschiedener Elemente ist n!. So können z.B.
die Elemente 1,2,3 wie folgt angeordnet werden:
1, 2, 3 1, 3, 2 2, 1, 3 2, 3, 1 3, 1, 2 3, 2, 1,
(10)
es gibt also 3! = 3 · 2 · 1 = 6 Anordnungen.
• Binomialkoeffizienten: Für n ∈ N und k = 0, 1, 2, . . . ist
( )
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n
:=
.
k
k!
(11)
( )
7·6·5·4
840
7
7·6·5·4
=
=
= 35.
(12)
=
4
4!
4·3·2
24
( )
( ) ( n )
Für k > n ist also nk = 0, und z.B. n1 = n−1
= n. Man definiert außerdem
( )
n
= 1.
(13)
0
Z.B. ist
3
Es gilt
( )
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
=
k
k!
(
)
n(n − 1) · · · (n − k + 1) (n − k)!
n!
n
=
·
=
=
,
k!
(n − k)!
k!(n − k)!
n−k
im Beispiel (12) also
( ) ( )
7!
5040
7
7
=
=
=
= 35.
4!3!
24 · 6
4
3
• Binomialkoeffizienten spielen eine wichtige Rolle in der Kombinatorik und der
( )
Wahrscheinlichkeitsrechnung. So ist z.B. durch nk mit k ≤ n die Anzahl der
k–elementigen Teilmengen einer nicht leeren Menge mit n Elementen gegeben.
• Eine oft verwendete Identität ist
( ) (
) (
)
n
n
n+1
+
=
.
k
k+1
k+1
(14)
Diese Identität bildet die Grundlage des Pascalschen Dreiecks zur Berechnung der
Binomialkoeffizienten (siehe Lehrbuch S. 86) und folgt aus
(
)
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1)(n − (k + 1) + 1)
=
(k + 1)!
k+1
n(n − 1) · · · (n − k + 1)(n − k)
=
(k + 1)!
( )
n n−k
n(n − 1) · · · (n − k + 1) (n − k)
=
=
.
k!
(k + 1)
k k+1
Somit ist also
( ) (
) ( )(
) ( )
(
)
n
n
n
n−k
n n+1
n+1
+
=
1+
=
=
.
k
k+1
k
k+1
k k+1
k+1
(15)
• Binomiallehrsatz: Für beliebige Zahlen a und b ist
(a + b)1 = a + b
2
(a + b)
=
(a + b)3 =
(a + b)4 =
=
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
a + 2ab + b =
a +
ab +
b
0
1
2
( )
( )
( )
( )
3 3
3 2
3
3 3
3
2
2
3
2
a + 3a b + 3ab + b =
a +
a b+
ab +
b
0
1
2
3
a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
( )
( )
( )
( )
( )
4 4
4 3
4 2 2
4
4 4
3
a +
a b+
ab +
ab +
b.
0
1
2
3
4
2
2
4
Allgemein gilt für n ∈ N
( )
( )
(
)
(
)
n n−1
n n−2 2
n
n
n
n
2 n−2
(a + b) = a +
a b+
a b + ··· +
ab
+
abn−1 + bn
1
2
n−2
n−1
n ( )
∑
n n−i n
=
a b .
(16)
i
i=1
Setzt man a = b = 1 in (16), so ergibt sich die identität
n
n
2 = (1 + 1)
( ) ( )
( ) ∑
n ( )
n
n
n
n
=
+
+ ··· +
=
,
0
1
n
i
i=0
(17)
und mit a = 1 und b = −1 ergibt sich
( ) ( ) ( )
( ) ∑
n ( )
n
n
n
n
n n
0 = (1 − 1) =
−
+
− · · · + (−1)
=
(−1)i .
0
1
2
n
i
i=0
n
(18)
Der Binomiallehrsatz (16) kann durch vollständige Induktion unter Verwendung
der Relation (14) bewiesen werden, wie folgt:
Für n = 1 gilt der Satz offensichtlich. Nehmen wir also an, (16) gilt für n − 1.
Dann ist
n
(a + b)
n−1
= (a + b)(a + b)
=
)
n−1 (
∑
n−1
i
i=0
= (a + b)
)
n−1 (
∑
n−1
i=0
a
n−i i
b +
i
)
n−1 (
∑
n−1
i
i=0
an−1−i bi
an−1−i bi+1 .
(19)
(20)
Für die erste der Summen in der letzten Zeile von Gleichung (20) Gleichung kann
man schreiben
)
n−1 (
∑
n−1
i
i=0
n−i i
a
n
b =a +
)
n−1 (
∑
n−1
i=1
i
an−i bi
und für die zweite Summe in (20) gilt
)
n−1 (
∑
n−1
i=0
i
a
n−1−i i+1
b
=
=
)
n (
∑
n−1
i=1
n−1
∑(
i=1
i−1
n−1−(i−1) (i−1)+1
a
b
)
n − 1 n−i i
a b + bn .
i−1
5
=
)
n (
∑
n−1
i=1
i−1
an−i bi
Also ist
n
(a + b)
n
= a +
)
n−1 (
∑
n−1
i=1
n−1
∑ [(
i
a
n−i i
b +
)
n−1 (
∑
n−1
i=1
i−1
an−i bi + bn
) (
)]
n−1
n−1
= a +
+
an−i bi + bn
i
i
−
1
i=1
n−1
n ( )
∑ (n )
∑
n n−i i
n
n−i i
n
= a +
a b +b =
a b,
i
i
i=1
i=0
n
wobei in der letzten Zeile die Identität (14) verwendet wurde.
• Zahlen
• natürliche Zahlen N: 1, 2, 3, . . .
• ganze Zahlen Z: 0, ±1, ±2, ±3, . . .
• die Menge Q der rationalen Zahlen
m
,
n
wobei m ∈ Z und n ∈ N
• Die Menge der rationalen Zahlen ist noch nicht “vollständig” in dem Sinne, dass
√
zum Beispiel 2 und π nicht in der angegebenen Form m
mit m ∈ Z und n ∈ N
n
geschrieben werden können. Solche Zahlen nennt man die “irrationalen Zahlen”.
• Die irrationalen Zahlen unterscheiden sich von den rationalen Zahlen durch ihre
Dezimaldarstellung: Rationale Zahlen haben endlich viele oder peridosch wiederkehrende
Dezimalstellen, während die Dezimaldarstellung irrationaler Zahlen nicht abbricht
und nicht durch ein periodisch wiederkehrendes Muster gekennzeichnet ist.
• die reellen Zahlen R: diese enthalten auch die irrationalen Zahlen, die nicht in der
√
obigen Form als Bruch ganzer Zahlen geschrieben werden können, etwa 2 und
π.
• Die irrationale Zahlen “schließen die Lücken” zwischen den rationalen Zahlen.
• Absolutbetrag und Dreiecksungleichung: Für x ∈ R setzt man

x falls x ≥ 0
|x| :=
−x falls x < 0
6
(21)
• Es gilt |xy| = |x||y| und die Dreieckungsungleichung:
|x + y| ≤ |x| + |y|.
(22)
(22) folgt aus x + y ≤ |x| + |y| und −(x + y) ≤ |x| + |y|.
Funktionen
• Definition: Eine Funktion einer reellen Variablen x mit Definitionsbereich D ist
eine Vorschrift f , die jeder Zahl x ∈ D eindeutig eine reelle Zahl f (x) zuordnet.
• Man schreibt dafür f : D → R, x 7→ f (x) oder einfach f (x).
• Oft wird der Funktionswert von f an der Stelle x mit y bezeichnet, d.h.,
y = f (x),
(23)
x ist die unabhängige Variable und y ist die abhängige Variable.
• Die Menge der Werte
f (D) := {f (x)|x ∈ D},
(24)
die man erhält, wenn x den Definitionsbereich D durchläuft, nennt man den Wertebereich (Symbol oft: R für range).
• Die Vorschrift f unterliegt dabei keiner (weiteren) Einschränkung, z.B. muss sie
nicht durch eine “geschlossene Formel” darstellbar sein.
• Eine Funktion f : D → R heißt monoton wachsend bzw. fallend, wenn für Paare
x1 , x2 ∈ D mit x1 < x2 gilt f (x1 ) ≤ f (x2 ) bzw. f (x1 ) ≥ f (x2 ). Sie heißt streng
monoton wachsend bzw. fallend, wenn sogar f (x1 ) < f (x2 ) bzw. f (x1 ) > f (x2 )
gilt.
• Potenzfunktionen: Die allgemeine Potenzfunktion ist durch die Formel
x ≥ 0,
f (x) = Axr ,
beschrieben.
7
A, r ∈ R
(25)
• Betrachten wir zunächst ganzzahlige Exponenten r in (25). Für diese kann x
in (25) beliebige Werte annehmen (also auch x < 0).
• Für n ∈ N ist die n–te Potenz von x
xn = x
| · x{z· · · x} ,
n Faktoren
(26)
x0 = 1 für x ̸= 0.
(27)
und definitionsgemäß gilt
Negative Potenzen sind ebenfalls definiert,
1
.
xn
x−n =
(28)
• Es gelten die Regeln
xn · xm = xn+m ,
(xn )m = xn·m ,
xn y n = (xy)n .
(29)
Aus (29) lassen sich folgende Regeln ableiten: Wenn n und m beliebige ganze und
x und y beliebige reelle Zahlen sind, so gilt
xn
= xn−m ,
xm
xn
=
yn
( )n
x
.
y
• Betrachten wir als nächstes rationale Exponenten, d.h., der Exponent r in
Gleichung (25) hat eine Darstellung r = p/q mit p ∈ Z und q ∈ N.
• Wir definieren zunächst die q–te Wurzel einer positiven Zahl x für q ∈ N. Die q–te
Wurzel von x > 0,
x1/q =
√
q
x,
q∈N
(30)
ist die eindeutig bestimmte positive Zahl, deren q–te Potenz x ergibt, also z.B.
√
√
3
41/2 = 4 = 2, 271/3 = 27 = 3.
• Konsistent mit den Regeln (29) ist dann für rationale Exponenten die Definition
Es ist z.B.
xp/q = (x1/q )p = (xp )1/q .
(31)
√
√
√
45/2 = ( 4)5 = 25 = 45 = 1024 = 32,
(32)
und
16−1.25 =
1
1
1
1
= √
.
5 = 5 =
5/4
4
16
2
32
16
8
(33)
y = xr, r>1
y = xr, 0<r<1
30
2
25
1.5
15
y
y
20
1
10
0.5
5
0
0
1
2
0
3
0
x
1
2
3
x
y = xr, r<0
5
4
y
3
2
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
Figure 1: Potenzfunktionen für unterschiedliche Werte des Exponenten r.
• Auch für irrationale Exponenten r können Potenzen (mit Hilfe der Exponentialfunktion) definiert werden. Die Potenzfunktion (25) ist also for alle r ∈ R
definiert.
• Die (auch qualitative) Gestalt einer Potenzfunktion (25) hängt entscheidend vom
Wert des Exponenten r ab.
So ist die Potenzfunktion f (x) = xr , x > 0, streng monoton wachsend für r > 0
und streng monoton fallend für r < 0.
Typische Verläufe für r > 1, r ∈ (0, 1) und r < 0 finden sich in Abbildung 1.
• Exponentialfunktionen: Die allgemeine Exponentialfunktion mit Basis a > 0
ist
f (x) = Aax ,
A eine Konstante.
9
(34)
f(x) = ax, a<1
8
7
7
6
6
5
5
4
4
y
y
f(x) = ax, a>1
8
3
3
2
2
1
1
0
−2
−1
0
1
0
−2
2
−1
x
0
1
2
x
Figure 2: Exponentialfunktionen (34) für a > 1 und a < 1.
• Wenn x sich um eine Einheit ändert, so ändert sich f (x) um den Faktor a.
• Solche Funktionen werden oft zur Modellierung von Wachstumsprozessen eingesetzt. Wenn sich zum Beispiel ein Anfangskapital K(0) jährlich zum Zinssatz p
(in Prozent) verzinst, so wird das Kapital nach t Jahren auf
(
p )t
K(t) = K(0) 1 +
100
(35)
angewachsen sein.
• Die Funktion ist monoton wachsend für a > 1 und monoton fallend für 0 < a < 1
(vgl. Abbildung 2).
• Polynome: Eine Funktion der Gestalt
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
10
(36)
mit reellen Koeffizienten a0 , a1 , . . . , an und an ̸= 0 heißt reelles Polynom n-ten
Grades. an ist der Leitkoeffizient. Sind alle ak = 0, k = 0, . . . , n, so ist f das
Nullpolynom.
• Eine Zahl α ist eine Nullstelle von f , wenn f (α) = 0.
• Für n = 2, also quadratische Funktione, kann man die Nullstellen mit Hilfe der
pq–Formel in geschlossener Form angeben (sei der Einfachheit halber an = a2 = 1):
x2 + px + q = 0
( p )2
( p )2
x2 + px +
+q−
= 0
2
2
(
( p )2
p )2
=
−q
x+
2
2
√( )
p
p 2
x = − ±
− q.
2
2
(37)
• Die Nullstellen des quadratischen Polynoms (37) sind aber nur reell, wenn p2 > 4q.
• Für die quadratische Gleichung x2 + x + 4 = 0 z.B. ergibt die pq–Formel die
Lösungen
x1/2
1
=− ±
2
√
√
√
1
−1 ± 1 − 16
−1 ± −15
−4=
=
,
4
2
2
(38)
d.h., die Gleichung hat keine reellen Lösungen.
• Man führt daher die imaginäre Einheit i mit i2 = −1 (i =
√
−1) ein.
• Es gilt
i2 = −1,
i3 = i · i2 = −i,
i5 = i4 · i = i,
i4 = (i2 )2 = (−1)2 = 1
i6 = i2 = −1, . . .
• Dann hat die obige quadratische Gleichung die komplexen Lösungen
√
√
√ √
1
−15
1
−1 15
1
15
− ±
=− ±
=− ±i
.
2
2
2
2
2
2
11
(39)
(40)
(41)
• Eine komplexe Zahl ist allgemein von der Form z = x + iy mit x, y ∈ R. Die
reellen Zahlen x und y heißen Real– und Imaginärteil von z, und werden mit Re z
und Im z bezeichnet.
• z heißt rein imaginär, wenn z = iy, y ∈ R.
• Den Körper der komplexen Zahlen bezeichnen wir mit C.
• Algebraische Operationen sind unter Berücksichtigung der Regel i2 = −1 dann
wie gewohnt definiert. Sei z = x + iy und w = u + iv.
– Addition:
z + w = (x + u) + i(y + v),
(42)
d.h., x + u und y + v sind Real– und Imaginärteil der Zahl z + w.
– Multiplikation:
z · w = (x + iy)(u + iv) = xu + i2 yv + i(uy + xv)
= xu − yv + i(uy + xv).
(43)
(44)
– Division:
z
x + iy
(x + iy)(u − iv)
=
=
w
u + iv
(u + iv)(u − iv)
xu + vy + i(uy − xv)
=
u2 + v 2
uy − xv
xu + vy
+
i
.
=
u2 + v 2
u2 + v 2
(45)
(46)
(47)
• Konjugation: Für z = x+iy ist z = x−iy die zu z konjugiert komplexe Zahl. Die
Lösungen obiger quadratischer Gleichung bilden also ein paar konjugiert komplexer
Zahlen.
• Es gilt:
z+w = z+w
(48)
z·w = z·w
(49)
z = z genau dann, wenn z ∈ R
z · z = x2 + y 2
12
(50)
(51)
• Der Betrag der kompexen Zahl z ist
|z| = |x + iy| =
√
z·z =
√
x2 + y 2 .
(52)
• Der Betrag ist also eine reelle Zahl. Wie für reelle Zahlen gilt für zwei komplexe
Zahlen z und w,
|zw| = |z||w|,
|z + w| ≤ |z| + |w|.
(53)
• Beispiele: Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x + iy dar:
(a)
1
1−i
1−i
1
1
=
=
= −i
1+i
(1 + i)(1 − i)
2
2
2
(54)
3 + 4i
(3 + 4i)(2 + i)
6 + 4i2 + i(3 + 8)
2
11
=
=
= +i
2−i
(2 + i)(2 − i)
5
5
5
(55)
(b)
(c)
1+i
(1 + i)2
2i + 1 + i2
=
=
= i.
(56)
1−i
(1 − i)(1 + i)
2
√
√
(d) i: Der Ansatz i = a + ib führt auf i = (a + ib)2 = a2 − b2 + 2iab, woraus
a2 − b2 = 0 und 2ab = 1 folgt, also a = b = ± √12 . Also
√
1
i = ± √ (1 + i).
2
(57)
• Wir kommen zurück zu den Nullstellen von Polynomen.
• Ist z1 eine (reelle oder komplexe) Nullstelle von f , d.h., es gilt f (z1 ) = 0, so lässt
sich der Faktor z − z1 abspalten, d.h.,
f (z) = (z − z1 )q(z),
(58)
wobei q ein Polynom vom Grade n − 1 = Grad f − 1 ist.
• Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes Polynom n–ten Grades genau n
(im allgemeinen komplexe) Nullstellen (Vielfachheiten eingerechnet). Wir können
also n–mal einen Linearfaktor abspalten,
f (z) = an (z − z1 )k1 (z − z2 )k2 · · · (z − zs )ks ,
13
(59)
wenn Polynom f die s verschiedenen Nullstellen z1 , z2 , . . . , zs jeweils mit den
∑
Vielfachheiten k1 , k2 , . . . , ks hat, mit k1 + k2 + · · · + ks = si=1 ki = n. (zi ist
eine ki –fache Nullstelle von f .)
• Beispiel: Das Polynom
f (z) = 3z 3 − 3z 2 − 15z − 9 = 3(z − 3)(z + 1)2
hat die 2–fache Nullstelle −1 und die einfache Nullstelle 3.
14
(60)