FU Berlin: SoSe 2015 (Mathematik 1, Weber) Lösungszettel Nr. 1 Aufgabe 1: (Summenzeichen, Ausgleichsgerade) Häufig kommt es vor, dass zwei verschiedene (Mess-)Größen aus insgesamt Messungen miteinander korreliert werden sollen, z.B. indem die einen Größen gegen die anderen aufgetragen werden und eine Ausgleichsgerade durch diese Punkte gelegt wird. In der folgenden Abbildung sind beispielhaft vier Messungen als Kreise dargestellt. Die entsprechende Ausgleichsgerade ist gestrichelt gezeichnet. y x Berechnen Sie die ungefähre Geradengleichung für die folgenden Messpaare, indem Sie die Steigung und den Achsenabschnitt mit Hilfe gegebener Formeln ausrechnen! Messung x-Werte y-Werte 1 1,5 19 2 2 10 3 3 11 4 3,5 5 Setzen Sie dazu die Werte aus der Tabelle in die folgenden Formeln ein: Lösungshinweis: Bei der Verwendung des Summenzeichens gibt es immer einen Laufindex, z.B. in der Summe durchläuft der Index i die Zahlen 1 bis n. n ist in unserem Fall 4, da es vier Messwerte gibt. Der Ausdruck bedeutet wiederum, dass man den i-ten x-Wert nehmen soll. Diesen kann man aus der Tabelle oben ablesen. So ergibt sich b=24,75 und a = -5,4. Aufgabe 2: (Produktzeichen, n-te Wurzel) Im Sprachgebrauch bezeichnet der Begriff "Mittelwert" normalerweise den arithmetischen Mittelwert. Sie können ja gern mal bei Wikipedia nachschauen, welche Arten von Mittelwerten es alle gibt. LINK Der sogenannte geometrische Mittelwert (der vor allem im Bereich der Reaktionskinetik eine Rolle spielt) aus einer Anzahl von Größen berechnet sich wie folgt Rechnen Sie den geometrischen Mittelwert für die x-Werte aus Aufgabe 1 aus. Überlegen Sie sich dazu bitte auch, wie man die n-te Wurzel mit Ihrem Taschenrechner ausrechnen kann. Lösung: Wie bei der Summe hat auch das Produktzeichen einen Laufindex i. bedeutet, dass man bis miteinander multiplizieren soll. ist wie gehabt der i-te x-Wert. Einsetzen aus der Tabelle ergibt: Das Problem ist es nun eigentlich, auf dem Taschenrechner die n-te Wurzel zu ziehen. Dazu muss man wissen, dass das Gleiche ist wie Die Taste gibt es vermutlich auf Ihrem Rechner. Aufgabe 3: (Absolutbetrag, ganze Zahlen) Eine Heiz-Apparatur erlaubt nur diskrete Einstellungen für die Temperatur , wobei die folgenden Temperaturen einstellbar sind . Schreiben Sie alle erlaubten und möglichen Temperatureinstellungen auf, wenn Sie als Zieltemperatur den Wert mit einer maximalen Abweichung von erreichen wollen. Lösung: Schwierigkeit an dieser Aufgabe ist es, die sehr formal erklärte Menge zu verstehen. Bei solchen Ausdrücken steht in den geschweiften Klammern vor dem Semikolon stets, welcher "Bauart" die Elemente der Menge sind. Die einstellbaren Temperaturen haben also die Werte . Es fehlt jetzt noch eine Erklärung zu dem, was sein soll. Die Erklärungen zu der Bauart stehen immer hinter dem Semikolon. bedeutet, dann n eine ganze Zahl ist, also 0, +1,-1, +2, -2... Und weiter heißt dass n maximal 499 und minimal -499 ist. Also sind die erlaubten Werte , da ja die Toleranz angegeben war. Aufgabe 4: (Fakultät) Sie haben ein Tetrapeptid synthetisiert, das genau aus den vier Aminosäuren Ala, Gly, Ser und Val besteht. Wie viele Möglichkeiten der Reihenfolge dieser Aminosäuren gibt es? Hinweis: Suchen Sie sich zum Beispiel auf der folgenden Internet-Seite http://www.schulminator.com/mathematik/kombinatorik die korrekte Formel zur Lösung dieser Aufgabe raus. LINK Lösung: Man findet unter den Formeln diejenige, die für "Reihenfolge zählt" und "ohne Wiederholen" gilt. 4!=1*2*3*4=24. Aufgabe 5: (Rationale Zahlen, reelle Zahlen) a) Gibt es eine rationale Zahl , die die Gleichung löst? Schauen Sie sich dazu den Artikel bei Wikipedia zu der "Irrationalität der Wurzel aus 2 (Euklid)" an und versuchen Sie, in dem Artikel den einen relevanten Hinweis zum Beantworten dieser Aufgabe zu finden. LINK Lösung: Der entsprechende Satz lautet " Wenn keine -te Potenz ist (nicht darstellbar Die gesuchte Zahl ist also irrational. Daher gibt es keine rationale Zahl , die die Gleichung löst. als für eine natürliche Zahl ), dann ist irrational.". b) Wie viele reelle Zahlen lösen die Gleichung ? Hinweis: Eine Lösung der Gleichung kann man leicht "erraten" . Mit Hilfe der Polynomdivision (LINK, LINK) können Sie eine Nullstelle "abdividieren". Rechnen Sie dazu aus, was ist. Es ergibt sich wieder ein Polynom, dessen Nullstellen alle weiteren Lösungen der Gleichung sind. Lösung: Hat man die Nullstelle des Polynoms abdividiert (siehe den Zettel zum Horner-Schema!), dann bleibt als Gleichung Was mit dieser Gleichung zu tun ist, wird sehr gut im Forum erklärt.... Kurz gesagt: Es gibt nur eine reelle Nullstelle ! Viel Erfolg!