Schon immer verboten: Wurzeln aus negativen Zahlen C1

Schon immer verboten: Wurzeln aus negativen Zahlen
C1
Ein immer wieder zu entdeckender Fehler bei SchülerInnen, die das Rechnen mit Wurzeln lernen ist z.B.:
9 = 3 , also ist ! 9 = !3 .
So ganz einfach ist die Sache nun aber nicht : Die Wurzel aus 9 ist diejenige positive (!) Zahl, deren Quadrat 9
ergibt. Soweit so gut. Die Wurzel aus -9 ist aber sicherlich nicht -3, da (-3)² = +9.
Der zweite Teil der obigen Rechnung ist somit falsch. Das gilt aber allgemein, denn das Quadrat jeder Zahl ist
positiv, daher kann eine Wurzel aus einer negativen Zahl nie existieren. Anders ausgedrückt: Wurzeln aus
negativen Zahlen sind „verboten“, da keine mögliche Zahl damit gemeint ist.
Führt eine Gleichung auf die Notwendigkeit, aus einer negativen Zahl eine Wurzel zu ziehen, muss man/frau als
informierte/r MathematikerIn sozusagen das Handtuch werfen und wegen „Sinnlosigkeit“ die Rechnung
abbrechen. Etwas eleganter sagt man/frau dann: „Die Gleichung hat keine Lösung“. Ein paar Beispiele:
1) x² = 16
2) x² + 25 = 0
x 1, 2 = ± 16 ,
3) x² - 2 = 0
x² = −25
...
x 1, 2 = ± ! 25
x1 = 4 und x2 = -4,
L={4,-4}
...
L= { +
L={ }, s.o.
2 ,! 2 }
Die Situation ist im übrigen, wie man am Beispiel 3) sieht nicht ganz neu: Will man für die Gleichung x²-2=0 eine
natürliche Zahl als Lösung, so stellt sich schnell heraus, dass das unmöglich ist. Die Gleichung ist über der
Grundmenge G = N unlösbar, ebenso verhält es sich mit der Grundmenge der rationalen Zahlen Q. Erst wenn
man alle bisher bekannten Zahlen, die reellen Zahlen R zuläßt, erhält man zwei Lösungen
+ 2 = 1,41....und
2 = -1,41... Gleichung 3) ist nur über der Grundmenge G = R lösbar!
Aufgaben: Gib die Lösung(en) an. Welche Grundmenge ist dazu mindestens erforderlich?
1) x² - 12 = 24
2) x² + 12 = 24
3) x² + 12 = -24
4) x² - 12 = -24
5) x² =
9
4
.........................................................................................................................................................................
Lösungen:
1) L={+6,-6}
2) L=
{12 , !
G=N
12
}
G=R
3) L = {} Das gilt für jede Grundmenge G = N, Z, Q, R
4) L = {} detto
5) L =
# 3
3&
"+ , ' %
2$
! 2
G=Q