Endlich erlaubt - Antonkriegergasse

Endlich erlaubt: Rechnen mit Wurzeln aus negativen Zahlen
C2
Will man die Gleichung x² = 2 lösen. so erhält man bei G = N und G = Q keine Lösung, also L= {}. (Warum ?).
Lässt man die reellen Zahlen als Grundmenge zu, dann gilt L= { + 2 ,! 2 }. Es hängt somit von der Wahl der
Grundmenge ab, welche Lösungen die Gleichung hat.
Bei der Gleichung x² = -2 hilft aber alles nichts. Egal welche Grundmenge man wählt, die Gleichung bleibt
unlösbar. Jede auch reelle Lösung hätte als Quadrat eine positive Zahl, sicherlich aber nicht -2.
Diese Situation unlösbarer Gleichungen war für Mathematiker (CARDANO, DESCARTES, EULER, u.a.) im
16.und 17. Jhdt. n. Chr. so unbefriedigend, dass sie sich daran machten eine neue Grundmenge zu erfinden, um
Gleichungen lösbar zu machen.
Zuerst sollte die „einfachste“ quadratische Gleichung x² = -1 eine Lösung erhalten. Man/frau führte eine „neue“
Zahl i ein, deren Quadrat gleich -1 sein soll:
i² = -1
Man nennt i imaginäre Einheit
Diese Zahl i ist somit Lösung der Gleichung x² = -1. Symbolisch schreibt man auch manchmal i = ! 1 .
i ist sicherlich keine reelle Zahl, aber es lässt sich nach bekannten Regeln einfach damit rechnen:
Zahlen der Form ai mit i² = -1 und a∈R heißen imaginäre Zahlen
i + i = 2i
3i + 5i = 8i
7i - 10i = - 3i
5.3i = 15i
x.i + y.i = (x+y).i
Aufgaben:
1 1
3
i+ i
f) 2i ! i
2 3
4
2) Welche der folgenden Zahlen sind imaginäre Zahlen: a) 3i b) 3.i c) -0,5i d) i e) 0
1) a)12i + 4i
b) 4i - i
c) 12 . 2i
d) i - i
e)
3) Bsp.: 3i.7i = 21.i² = 21.(-1) = -21. Rechne ebenso: a) 5i.3i b) 4i.4i c) (-2i).7i d) i.(-i) e) (3i)² f) (-i)²
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Lösungen:
1) a) 16i
b) 3i
2) a) ja
b) ja, da
3) a) -15
b) -16
c) 24i
3 aus R
c) 14
d) 0
c) ja
e)
5
i
6
d) ?, (schwierig!)
d) 1
e) -9
f)
5
i
4
e) ja, da 0 = 0.i und 0 ∈ R
f) -1