ANALYSIS I – Aufgabenblatt 0

Prof. Dr. Ilka Agricola
Dr. Panagiotis Konstantis
Sommersemester 2017
Philipps-Universität Marburg
A NALYSIS I
–
Aufgabenblatt 0
Abgabe: 19.04.2017 – vor der Vorlesung
Diese Aufgaben sind optional und die hier erreichten Punkte werden als Extrapunkte auf die Gesamtpunktzahl am Ende der Vorlesung hinzuaddiert. Wir empfehlen Ihnen dieses Blatt zu bearbeiten, damit
Ihnen der Einstieg in die Vorlesung leichter fällt.
Hausaufgaben (40 Punkte)
A0.1 Arbeiten Sie das Kapitel der Grundlagen der Mathematik zu reellen und komplexen Zahlen nochmals gründlich durch.
A0.2 Sei x ∈ R und x ≥ −1. Beweisen Sie:
(1 + x)n ≥ 1 + nx +
n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2) 3
x +
x .
2
6
(4)
A0.3 Sei A = {x ∈ R : x > 0, x2 > 2}. Berechnen Sie inf(A).
A0.4
(4)
(a) Man beweise: Für x, y ∈ R mit x, y ≥ 0 gilt
max(x, y) =
x + y |x − y|
+
.
2
2
(b) Auf dem Intervall [a, b] betrachten wir die Funktion
f (p) = max{|p − x| : x ∈ [a, b]},
p ∈ [a, b].
An welcher Stelle p nimmt die Funktion f (p) ihren minimalen Wert an?
(c) Seien 0 < a < b. An welcher Stelle erreicht die Funktion
|p − x|
f (p) = max
, x ∈ [a, b]
x
auf [a, b] ihren minimalen Wert?
(2+2+4)
A0.5 Beweisen Sie direkt (also nicht durch vollständige Induktion)
xn
1+x+x2 +···+x2n
≤
1
2n+1 ,
wobei x eine positive reelle Zahl ist,
n 2
(b) x1 x2 + · · · + xn−1 xn ≤ n2 · x1 +···+x
für x1 , . . . , xn ∈ R mit x ≥ 0,
n
n n−1
−2
für n ∈ N, n ≥ 2.
(c) n0 · n2 · · · · · nn ≤ 2n−1
(a)
A0.6 Sei θ eine reelle Zahl im Intervall ] − π/2, π/2[. Wir betrachten die quadratische Gleichung in der
Unbekannten z ∈ C,
cos2 θ z 2 − 4 cos θ z + 5 − cos2 θ = 0.
(∗)
a) Man löse die Gleichung (∗). Für welche Werte von θ hat (∗) eine doppelte Nullstelle, und
welchen Wert hat sie?
(2+4+2)
b) Seien z und z 0 die Lösungen der Gleichung (∗), die wir nun als Punkte in der komplexen
Ebene C auffassen. Man zeige, dass z und z 0 sich auf einer Hyperbel H bewegen, wenn θ
variiert.
c) Man beschreibe die genaue Teilmenge von H, die von z und z 0 durchlaufen wird, wenn θ in
] − π/2, π/2[ liegt.
(2+3+3)
A0.7 Sei f : C → C gegeben durch z 7→ f (z) = z · |z|.
a) Man bestimme und konstruiere die Fixpunktmenge von f , d. h. die Menge aller z ∈ C mit
f (z) = z.
b) Man löse für eine gegebene komplexe Zahl a die Gleichung z · |z| = a und folgere, dass f
bijektiv ist.
c) Man bestimme das Bild unter f der Kreisscheibe K(0, r) = {z ∈ C : |z| < r} um den
Ursprung mit Radius r.
d) Man bestimme das Bild unter f der Geraden durch 0 mit Richtungsvektor (cos α, sin α),
wobei α aus [0, 2π] ist.
2
(2+2+2+2)