Vorlesung: Diskrete Mathematik Datum: 23.10.2013 Folie

Vorlesung: Diskrete Mathematik
Datum: 23.10.2013
Gegeben sei eine Formel der Aussagenlogik
(A ˄ B) → C
Ersetzen der Aussagen durch Prädikate
(P(x, y) ˄ B) → Q(x, y, z)
Ist Formel der Prädikatenlogik
Anmerkung: Es gibt in der Prädikatenlogik noch allgemeiner gebaute Formeln, z.B. mit Quantoren
Quantoren
Sei P(x) Prädikat.
1. Die Aussage: „P(x) ist wahr für alle x aus der Grundmenge“ wird ⱯxP(x) geschrieben. Ɐ heißt
Allquantor
2. Die Aussage: „Es existiert (mindestens) ein x aus der Grundmenge, sodass P(x) wahr ist.“
wird ∃xP(x) geschrieben. ∃ heißt Existenzquantor
Beispiel: Studenten im Hörsaal sind Grundmenge
P(x)
ⱯxP(x)
∃xP(x)
x besucht die DM-Vorlesung
w
w
x ist im Oktober geboren
f
w
x ist nach 2000 geboren
f
f
Beispiel: Grundmenge  Reelle Zahlen
-
Wahr:
Falsch:
Wahr:
Falsch:
Ɐx[x² ≥ 0],
Ɐx[x² ≤ 0],
∃x∃y[x < y],
ⱯxⱯy[x < y],
∃x[x² ≥ 0], ∃x[x² ≤ 0]
∃x[x² < 0]
Ɐx∃y[x < y]
∃xⱯy[x < y]
Beispiel: ∃xⱯy[x ≤ y]
-
Falsch: Für reelle Zahlen
Wahr: Für natürliche Zahlen (mit x = 1)
Wahr: Für nicht negative reelle Zahlen (mit x = 0)
Endliche Grundmenge M z.B. M = {a, b, c}
ⱯxP(x) ≡ (P(a) ˄ P(b) ˄ P(c))
∃xP(x) ≡ (P(a) ˅ P(b) ˅ P(c))
Beispiel: M = {a, b, c} Messwerte von Temperatursensoren (in °C)
WENN (Ɐx[x > 21])
DANN Klimaanlage einschalten
Gleichwertig:
WENN ((a > 21) ˄ (b > 21) ˄ (c > 21))
DANN …
Hier: M abhängig von der Zeit.
Folie: Tafel
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Vorlesung: Diskrete Mathematik
Datum: 23.10.2013
Negation von Quantoren
¬ⱯxP(x) ≡ ∃x¬P(x)
¬∃xP(x) ≡ Ɐx¬P(x)
Beispiel: M = {a, b, c} nach de Morgan
¬ⱯxP(x) ≡ ¬(P(a) ˄ P(b) ˄ P(c)) ≡ ∃x¬P(x)
¬∃xP(x) ≡ ¬(P(a) ˅ P(b) ˅ P(c)) ≡ (¬P(a) ˄ ¬P(b) ˄ ¬P(c)) ≡ Ɐx¬P(x)
Reihenfolge wichtig!
Grundmenge natürliche Zahlen
Ɐx∃y[y > x] ist wahr
∃yⱯx[y > x] ist falsch
Gebundene / freie Variablen
Aussagen:
ⱯxP(x), ∃xP(x), Ɐx∃yP(x, y), ⱯxⱯyP(x, y)
Keine Aussagen: ⱯxP(x, y)
Freie Variable
Gebundene Variable
Beispiel: Grundmenge sei ℕ natürliche Zahlen
Bedeutung?
Ɐq∃pⱯx,y[p < q ˄ (x, y > 1 → xy ≠ p)]
Folie: Tafel
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