GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN

Mathematik-Olympiaden in Rheinland-Pfalz
G LEICHUNGEN MIT PARAMETERN
Fortgeschrittene 2
Die (meisten) Aufgaben auf diesem Arbeitsblatt haben eine elegante Lösungsidee. Bei vielen Gleichungen ist nach Anwenden des „Zaubertricks“ aber immer noch einige „stupide“ Rechenarbeit nötig, um p-q-Formeln zu vereinfachen,
Terme auszumultiplizieren etc. Du entscheidest selbst, wie weit du diese Lösungswege tatsächlich durchführst!
Aufgabe 1. Sei a eine reelle Zahl. Löse die Gleichung
2x4 + 2ax3 = ax2 + a2 x
in Abhängigkeit von a.
Aufgabe 2. Löse die Gleichung x =
p
4−
√
4 + x.
Aufgabe 3. Sei a 6= 0 eine reelle Zahl. Löse die Gleichung
a3 x4 + 2a2 x2 + x + a + 1 = 0.
Aufgabe 4. Finde alle reellen Lösungen ( x, y) der Gleichung
8x2 + 4y2 x + 4yx − 40x − 11y2 − 8y + 52 + y4 = 0.
Aufgabe 5. Seien a, b, c > 0. Löse das Gleichungssystem
1
xy
1
bz − cx +
zx
1
cy − az +
yz
ax − by +
= c
= a
= b
Aufgabe 6. Löse die Gleichung
x + a3 =
√
3
a − x,
wobei a ≥ 0 ein reeller Parameter ist.
Aufgabe 7. Seien a und b reelle Zahlen. Löse die Gleichung
p
p
3
3
x − b3 − x − a3 = a − b.
Aufgabe 8. Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter m ∈ R alle Lösungen der Gleichung
√
√
1 + mx = x + 1 − mx.
1