x - lehrer.uni

Aufgabe 1
Welche Nullstellen hat der Graph der Funktion
a)
f ( x)= ( x− 7) ²⋅ ( x+ 3) ²
Die Nullstellen sind 7 und -3.
Beide Nullstellen sind doppelt, d.h. der Graph wechselt nicht die Seite der
x-Achse.
b) Multipliziere den Term rechts und ordne ihn
alphanumerisch.
f ( x )=( x 2− 14 x+ 49 )⋅( x 2 +6 x+ 9 )=
= x 4 +6 x3 + 9 x 2 −14 x 3 −84 x 2− 126 x + 49 x 2 + 49⋅9=
= x 4 −8 x3 −26 x 2 +441
Aufgabe 2
Wann besitzt eine Funktion einen Sattelpunkt?
a) Nenne 2 vollständige Kriterien, die hinreichend
sind (nicht nur notwendig).
A1) die erste Ableitung muss Null sein und die erste Ableitung muss einen
Vorzeichenwechsel haben.
A2) die erste Ableitung muss Null sein und die zweite Ableitung muss an
der Stelle ungleich Null sein.
b) Notiere ein Beispiel eine Funktion mit einem
Sattelpunkt an irgendeiner Stelle.
hat an der Stelle
f ( x )= x 3 +5
x 0= 0
c) an der Stelle x 0= 2
g( x)= ( x −2 ) + 55
einen Sattelpunkt.
f ist nämlich um 2 nach rechts verschoben zu b) und um
53 nach oben verschoben.
3
Aufgabe 3
Löse die Gleichung
(Wie viele Lösungen sind zu erwarten?)
8 x− [3 x+( 4− x)]= 4 x +8
Eine lineare Gleichung (x hoch 1) läßt erwarten
a) keine Lösung (falsche Aussage)
z.B. 2x +5 = 2x -1 oder aber
b) unendlich viele Lösungen (wahre Aussage)
z.B. 3x + 5 = x + 2x + 5
c) genau eine Lösung: 3x +1 = 8
Aufgabe 4
Löse die Gleichung
(und kontrolliere mit Deinem GTR)
( 35 x +5)
4
(8 x− 2)
7
=
8
35 x +5 8⋅( 8 x −2)
=
mit 7 mal 4 multiplizieren
4
7
35⋅7 x+ 5⋅7= 4⋅8⋅8 x − 4⋅8⋅2
245 x +35=256 x −64
−11 x=− 99
x= 9
Aufgabe 5:
Löse die Gleichung
(überlege zuerst, wie Du vorgehst)
3 ( x+1)
−4 +
2 x− 16
2( x+1)
=
x− 8
Multipliziere mit dem Hauptnenner
2⋅( x− 8)
3( x − 1)
x− 8
dann folgt:
3( x+ 1)−4⋅2⋅( x −8)+ 2⋅2⋅( x +1)=2⋅3⋅( x−1)
3 x+3− 8 x+64 +4 x+ 4=6 x −6
− x+ 71= 6 x −6
−7 x =−77
x =11
Aufgabe 6:
Löse
(2 x +14)( 2− 4 a)= (2 x +18)(3− 4 a)
4 x −8 ax +28−56 a=6 x− 8 ax+ 54−72 a jetzt Zahlen nach rechts, Terme mit x nach links
4 x −8 ax −6 x +8 ax =54− 72a− 28+56 a links x ausklammern
x⋅( 4− 8 a−6+8 a)=26−16 a
x ⋅(−2)=26− 16 a
x =−13+8 a
Aufgabe 7:
Das Siebenfache einer Zahl, vermindert um 1 ist
kleiner als das Dreifache der Zahl, vermehrt um
5. Für die Lösungen sind nur natürliche Zahlen
zugelassen.
Löse mit Hilfe einer Ungleichung.
Die unbekannte Zahl heiße 7x.
Um 1 verkleinert ist sie 7x-1.
Das Dreifache der zahl ist 3x und
Ungleichung:
x ∈ℕ
7 x −1 < 3 x +5
7 x −3 x < +5+1
4x < 6
3
x<
2
Also muss x =1 sein .
Aufgabe 8:
Bestimme aus der Geradengleichung
6 x− 2 y =+ 4 die Werte für Steigung m und yAchsenabschnitt b.
Auflösen nach y ergibt:
−2 y=− 6 x+ 4
y =3 x −2
y ' =3
Die Steigung lautet 3 (1 nach rechts, 3 nach oben.)
Der y-Achsenabschnitt ist -2.
Nullstelle ist … finde es selbst heraus!
Wie lautetet die Funktionsgleichung in der
Normalform?
Normalform :
y= 3 x −2
Aufgabe 9:
Vergleiche die Graphen von
und
b
f ( x)= a⋅ x ²
g( x)=
x
ohne einen GTR zu benützen.
−b
x2
Wenn a und b positiv sind ,dann gilt :
f ' ( x ) ist links von Null negativ und rechts positiv , d .h . der Graph fällt bis x =0 und dann steigt er wieder
g ' ( x ) hat uneingeschränkt das selbe Vorzeichen wie b , weil x 2 immer positiv ist .
Damit ist der Graph von g streng monton fallend .
f ' ( x)= 2 a x
und
g ' ( x )=
Aufgabe 10:
a) Notiere die drei binomischen Formeln
(a± b) =a ± 2ab +b
2
2
2
−
( a+b )⋅( a−b )=a +b
2
2
b) Bestimme alle Lösungen der Gleichung
Es gilt:
98 x ²− 2 a ² =
0
98 x 2 −2 a2 =0
2⋅( 49 x2 − a2 )=0
49 x 2 −a2 =0
(7 x +a )⋅(7 x−a)=0
7 x=− a oder 7 x=+a
a
a
x=− oder x=
7
7
also existieren 2 Lösungen (es sei denn a= 0, dann exisitert nur eine,
welche?Warum?
Aufgabe 11:
Zerlege
a ⁴ − b ⁴ so weit wie möglich in ein
Produkt.
Das Produkt ist
a − b =( a +b )⋅( a −b )=( a +b )⋅(a +b)⋅(a −b)
4
4
2
2
2
2
2
b) Welche Lösungen von
2
a ⁴ − b ⁴ = 0 sind
möglich?
Das Produkt ist (a 2+ b2 )⋅( a+ b)⋅( a− b) hat drei Faktoren. • Die erste Klammer kann nicht Null sein, es sei denn a=b oder a=-b.
• Die zweite Klammer wird Null, wenn a = -b ist, sie also
entgegengesetztes Vorzeichen haben.
• Die dritte Klammer wird Null, wenn a = b ist.
Allgemein: ein Produkt wird Null, wenn auch schon einer der Faktoren
Null ist.
Aufgabe 12:
Berechne
a) ( a ²− ab+b ² )⋅( a+b )
=¿
( a ²− ab+b ² )⋅ ( a+b ) = a +a2 b−a 2 b− a b2 +a b 2+ b3
3
=
a 3+ b3
b) Wozu könnte man diese Lösung verwenden?
Man könnte aus der Summe
a3 +b 3
ein Produkt machen (und Null setzen).
Aufgabe 13:
Löse
√ x+107 = √ x +8
Ich weiß:
Der Radikand ( das ist die Zahl unter der Wurzel) ist immer nicht negativ.
Er kann Null sein.
√ x+107 = √x +8 Ich quadriere und beachte die binomische Formel
x+ 107= x +2⋅8⋅ √x +64 Jetzt subtrahiere ich x auf beiden Seiten
107=16 √ x+ 64 Ich isoliere x
43=16 √x quadrieren
1849=256 x dividieren
1849
= x Lösung??
256
Es kann immer beim quadrieren ein Lösung hinzukommen! Ich sollte also
die Probe machen! Benutze Deinen GTR dazu.
Aufgabe 14:
Löse ohne GTR das LGS (was heißt das?):
|
|
15 x +2 y =126
3 x −4 y= 12
|
⇔ 30 x +4 y =252
3 x −4 y=12
|
⇔ 33 x =264
3 x −4 y=12
⇔
|
|
x= 8
8− 4 y =12
| |
⇔ x= 8
y =9
|
|
Aufgabe 15:
Wie lautet die Lösungsformel der Gleichung
x ²+ px +q= 0
?
Siehe Formelsammlung
Stelle eine beliebige Gleichung auf.
Löse diese Gleichung mit der Formel.
Wieviele verschiedene Lösungsstrukturen können
dabei auftreten?
Aufgabe 16:
Wie lautet die Lösungsformel der Gleichung
ax ²+bx +c= 0
?
Siehe Formelsammlung
Stelle eine beliebige Gleichung auf.
Löse diese Gleichung mit der Formel.
Wieviele verschiedene Lösungsstrukturen können
dabei auftreten?