W. Timischl: Angewandte Statistik WAHRSCHEINLICHKEIT II

W. Timischl: Angewandte Statistik
WAHRSCHEINLICHKEIT II & VERTEILUNGEN I
1.
1
Ein einfacher Prüfplan besteht darin, dass 55 Einheiten aus einem Los zufällig ausgewählt und auf
Fehlerhaftigkeit überprüft werden. Das Los wird zurückgewiesen, wenn eine Einheit oder mehrere
Einheiten fehlerhaft sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Annahme des Loses, wenn
der Anteil p von fehlerhaften Einheiten (Ausschussanteil) gleich po=0,5% ist? (Für die Rechnung
nehme man an, dass der Umfang des Prüfloses sehr groß ist, so dass sich der Ausschussanteil
während der Entnahme der Prüfstichprobe nicht ändert.)
X = Anzahl der fehlerhaften Einheiten im Los;
X ist Bn,p-verteilt mit den Parametern n=55 und p=0,005;
Gesucht: Annahmewahrscheinlichkeit P(X = 0) = (1-0,005)55 = 0,9555 = 5,95%
2. Bei einem Patienten stehen drei Diagnosen A, B oder C zur Wahl. Es wird ein diagnostischer Test
angewendet, der bei Vorliegen von A mit 90%iger Wahrscheinlichkeit positiv ausfällt, bei Vorliegen
von B mit 20%iger Wahrscheinlichkeit und bei Vorliegen von C mit 10%iger Wahrscheinlichkeit.
Das Testresultat für den Patienten ist positiv. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A vorliegt,
wenn alle drei Krankheiten als gleichwahrscheinlich angesehen werden?
P(Diagnose A) = P(Diagnose B) = P(Diagnose C) = 1/3
P(Test positiv| Diagnose A) = 0,9;
P(Test positiv| Diagnose B) = 0,2;
P(Test positiv|Diagnose C) = 0,1
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
P(Test positiv) = P(Test positiv|Diagnose A)P(Diagnose A) + P(Test positiv|Diagnose B)P(Diagnose B) +
P(Test positiv|Diagnose C)P(Diagnose C) = 0,9 (1/3) + 0,2 (1/3) + 0,1 (1/3) = 0,4
Gesucht: P(Diagnose A|Test positiv) =
= P(Test positiv| Diagnose A) P(Diagnose A)/P(Test positiv) = 0,9 (1/3)/0,4 = 75%.
Hinweis: Lösung mit Baumdiagramm (Excel)
P(Diagnose A) =
P(Diagnose B) =
P(Diagnose C) =
P(Test positiv|Diagnose A)=
P(Test positiv|Diagnose B)=
P(Test positiv|Diagnose C)=
Diagnosen
0,333333
0,333333
0,333333
0,9
0,2
0,1
A
B
0,333333
0,33333
Test
Wahrsch.
positiv
0,9
0,3
P(Diagnose A|Test positiv) =
negativ
positiv
C
0,33333
negativ
0,1
0,2
0,033333
0,06667
0,8
positiv
0,1
negativ
0,9
0,26667 0,03333
0,3
0,75
3. Bei einem Test werden 3 Aufgaben derart gestellt, dass es bei jeder Aufgabe 4
Antwortmöglichkeiten gibt, von denen genau eine die richtige ist. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass man mehr als die Hälfte der Aufgaben richtig löst, wenn die
Lösungsauswahl aufs Geratewohl erfolgt, d.h., jeder Lösungsvorschlag mit der Wahrscheinlichkeit
1/4 gewählt wird?
UEB_2
06.10.2008
W. Timischl: Angewandte Statistik
WAHRSCHEINLICHKEIT II & VERTEILUNGEN I
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X = Anzahl der richtig gelösten Aufgaben; X ist Bnp-verteilt mit n=3 und p = 0,25.
Gesucht: P(X=2 oder X = 3) = 1-P(X=0 oder X=1)
P(X=0 oder X=1) = P(X=0) + P(X=1)
P(X=0) = 0,753 = 0,422; P(X=1) = 3 x 0,25 x 0,752 = 0,422;
P(X=2 oder X=3) = 1- 0,844 = 15,6%
Lösung mit Excel:
n=
3
p=
0,25
P(X=2 oder X=3) = 1 - P(X<=1)
P(X<=1) = BINOMVERT(1; 3; 0.25;1) =
P(X=2 oder X=3) = 1 - P(X<=1) =
0,84375
0,15625
Lösung mit R:
> n <- 3
> p <- 0.25
> Pgesucht <- 1-pbinom(1,3,0.25)
> print(Pgesucht)
[1] 0.15625
UEB_2
06.10.2008