(Maschinenbau) (WS 13/14)

Ergänzungsübungen zur Physik für Ingenieure
(Maschinenbau) (WS 13/14)
Prof. W. Meyer
Übungsgruppenleiter: A. Berlin & J. Herick (NB 2/28)
Ergänzung J
Hydrodynamik
In der Hydrodynamik beschreibt man die Bewegungen von Flüssigkeiten, dessen Gesetze sich jedoch
auch auf Gase anwenden lassen. Aus diesem Grund sollte man eher von einer Fluiddynamik sprechen.
Zunächst erweitern wir das Bild der idealen Flüssigkeit um weitere Eigenschaften.
– keine innere Reibung (Viskosität)
– fließt immer laminar
Um die, in eine Richtung fließende, Flüssigkeit zu quantifizieren, führen wir
den Begriff des Volumenstroms ein. Der Volumenstrom ist das Volumen
eines Mediums, welches sich durch eine Querschnittsfläche pro Zeit bewegt.
V̇ =
dV
d(A · x)
dx
=
=A
=A·v
dt
dt
dt
A
v
DV
Dx
Im Allgemeinen ist v die mittlere Fließgeschwindigkeit, denn in einer realen Flüssigkeit,
dessen Viskosität ungleich Null ist, ist die Fließgeschwindigkeit entlang des Querschnitts
nicht konstant. → parabolisches Geschwindigkeitsprofil
Nun kommen wir zu der ersten wichtigen Grundgleichung in der Hydrodynamik, der Kontinuitätsgleichung. Diese Gleichung folgt aus dem Prinzip der Massenerhaltung, denn was in das Rohr hineingeht, muss auch wieder herauskommen. Im Rohr wird weder Flüssigkeit produziert noch vernichtet.
Da Flüssigkeiten in der Regel recht inkompressibel sind gibt es auch so gut wie keine Kompression
innerhalb des Rohres. So ist der Volumenstrom entlang des Rohres konstant. Dies gilt auch für Rohre
mit veränderlichen Querschnittsflächen und dies ist auch die Hauptaussage der Kontinuitätsgleichung.
A1
dV
V̇ =
= A · v = konstant
dt
Pro Zeit muss also das bewegte Volumen konstant bleiben.
A2
DV
v1
DV
v2
Dx2
Dx1
Die Folge ist somit eine Erhöhung der Fließgeschwindigkeit bei einer Reduzierung des Rohrdurchmessers, sodass der Volumenstrom zeitliche konstant bleiben kann.
A1 v1 = A2 v2
⇒
v2 =
A1
v1 > v1
A2
|{z}
>1
1
für A1 > A2
Dieses Phänomen kennt man z.B. von einem Gartenschlauch, wenn man das Ende des
Schlauchs zusammendrückt. Durch die Verkleinerung des Querschnitts am Ende schießt
das Wasser dann mit einer höheren Geschwindigkeit aus dem Schlauch.
Neben der Kontinuitätsgleichung nimmt die sogenannte Bernoulli-Gleichung eine zentrale Rolle in der
Fluiddynamik ein.
Die Gleichung ist nach Daniel Bernoulli benannt, der zusammen mit Giovanni Battista
Venturi im 18. Jahrhundert wichtige Beiträge zur Strömungsmechanik beigetragen hat.
Die Bernoulli-Gleichung ist eine Energiegleichung für ideale Flüssigkeiten und eine der wichtigsten
Sätze der Strömungslehre. Eine einfache – wenn auch nicht so genaue – Herleitung erhält man über
den Energiesatz, den man aus der Mechanik kennt.
1
Eges = Ekin + Epot + E0 = m v 2 + m g h + E0
2
E0 sei dabei z.B. eine externe Energie die hinzugegeben oder abgeführt wird; wie bei den Stößen
in der Mechanik. Teilen wir nun diese Gleichung durch ein Volumen, so überführen wir sie in eine
Energiedichte bzw. in einen Druck.
Energie
N
J
= 3 = 2 = [Druck]
Volumen
m
m
Dazu benutzen wir die Dichte ρ = m/V und erhalten die Bernoulli-Gleichung bezogen auf den Gesamtdruck:
ρ 2
v + ρ g h + p0
2
In einem strömenden idealen Fluid (inkompressible, reibungsfrei) bleibt dieser Gesamtdruck erhalten
und bildet damit die ’Energieerhaltung’ der Fluide.
pges =
pges = const.
In der Hydrostatik ließ sich der Gesamtdruck in einer Flüssigkeit mit Hilfe eines Anfangsdrucks und
dem Schweredruck formulieren.
pstatisch = ρ g h + p0
Diese Summe kann man auch als einen statischen Druck auffassen, da hier die Bewegung der Flüssigkeit keine Rolle spielt. Der Term mit der Geschwindigkeit bezeichnet man als dynamischen Druck,
oder auch als Staudruck. In der Literatur findet man daher oft die Bernoulli-Gleichung in der Form
pges
=
| {z }
Gesamtdruck
ρ 2
v
| 2{z }
dynamischer Druck
+
|
pstat
{z }
statischer Druck
Mit der Kontinuitäts– und Bernoulli-Gleichung lassen sich bereits zahlreiche Phänomene des Alltags
erklären, auch wenn diese Gleichungen streng genommen nur für ideale Fluide gelten.
Eine interessante Konsequenz der Bernoulli-Gleichung ist die Reduzierung des statischen Drucks, sobald sich die Fließgeschwindigkeit erhöht.
Das Standardexperiment zeigt drei Steigrohre, unter denen die Flüssigkeit fließen kann. Dabei ist
der Durchmesser des Rohres unter dem mittleren Steigrohr kleiner als bei den anderen, sodass die
Flüssigkeit dort schneller fließen muss (Kontinuitätsgleichung).
2
stehende Flüssigkeit
fließende Flüssigkeit
Solange die Flüssigkeit ’steht’ zeigen alle drei Steigrohre die gleiche Höhe des Flüssigkeitsstandes an
(kommunizierende Röhren). Die Höhe der Flüssigkeit im Steigrohr gibt somit den statischen Druck im
unteren Rohr an und entspricht sogleich dem Gesamtdruck.
Fängt nun die Flüssigkeit an zu fließen, steigt der dynamische Druck und der statische Druck muss
sinken, da der Gesamtdruck konstant ist. Man beobachtet dann ein Absinken der Flüssigkeit in den
Steigrohren. Allerdings sieht man auch, dass im mittleren Steigrohr die Flüssigkeit weiter gesunken ist
als in den anderen beiden Rohren. Dies lässt sich durch die höhere Geschwindigkeit und somit auch
einem größeren dynamischen Druck erklären.
pstat
hohe Fließgeschwindigkeit → kleiner statischer Druck
2
1
pdyn
pstat+pdyn
Mit einer geschickten Versuchsanordnung lässt sich auch der
dynamische Druck messen.
Das erste Rohr ist ein Steigrohr, für den statischen Druck und
das zweite Rohr ist ein Staurohr. Das Staurohr zeigt zusätzlich
zum statischen Druck noch den dynamischen Druck an, also
den Gesamtdruck. Die Differenz in den Steighöhen der beiden
Rohre entspricht dann dem dynamischen Druck.
Mit diesen Grundlagen lassen sich z.B. Pumpen konstruieren oder auch Geschwindigkeitssensoren für
Flugzeuge (Pitotrohr oder Prandtlrohr).
Auch Fußballspiele können mit diesem Wissen gewonnen werden. Denn dem
Kurvenflug eines Fußballs liegt die Bernoulli-Gleichung zugrunde. Durch die
Rotation des Balls strömt die Luft auf einer Seite des Balls schneller als auch
der anderen Seite. Die Folge ist, dass der Druck auf einer Seite höher ist als
auf der anderen Seite und somit wird der Ball in eine Richtung abgelenkt (→
Magnus-Effekt).
Der Bunsenbrenner saugt, bedingt durch das ausströmende Gas, seitlich Luft
an mit welcher die Temperatur der Flamme eingestellt werden kann.
Auch Kapitäne großer Schiffe müssen sich vor den Konsequenzen der
Bernoulli-Gleichung in Acht nehmen. Fahren zwei große Schiffe bei
starken Böen nahe nebeneinander her oder legt ein Schiff an einem
Kai an, so nimmt die Windgeschwindigkeit zwischen ihnen zu. Dies
reduziert den statischen Druck und die Schiffe werden vom größeren umgebenen Luftdruck gegeneinander bzw. an den Kai gedrückt.
Besonders in Häfen ist dieses Problem nicht zu unterschätzen.
3
Luft
p0
p‘
p0
p‘ < p0
Ein letztes Beispiel aus dem Alltag ist der unbändige Duschvorhang. Die fallenden Wassertropfen führen dazu, dass in der Dusche der statische Druck
sinkt und somit ein Unterdruck gegenüber der anderen Seite des Duschvorhangs entsteht. Daraufhin wird der Duschvorhang von außen in die Dusche
hineingedrückt.
v
p‘
p0
Betrachtet man nun reale Flüssigkeiten so muss man den Energieverlust durch die Reibung berücksichtigen. Für unser Beispiel mit den Steigrohren bedeutet dies, dass entlang der Fließrichtung die Höhen
der Flüssigkeitssäulen abnehmen.
h=0
4
Aufgaben
Wasserstrahlpumpe
Die im Bild dargestellte Wasserstrahlpumpe soll zum Fördern von
tiefer gelegenen Wasserreservoirs dienen. Am Eingang hat das
Wasser einen statischen Druck von 2 bar und eine Geschwindigkeit
von 2 m/ s. Innerhalb der Düse verringert sich der Querschnitt auf
1/9 des Anfang-Querschnitts.
Aus welcher Tiefe lässt sich mit diesen Parametern Wasser fördern?
Beurteilen Sie ob diese Anordnung generell dafür geeignet ist, um
aus beliebigen Tiefen fördern zu können. Begründen Sie Ihre Antwort.
Prandtlsches Staurohr
In einem Flugzeug sei diese Sonde zur Geschwindigkeitsmessung eingebaut. Es ist mit Methylalkohol
der Dichte ρM = 890 kg/ m3 (20 ℃) gefüllt und zeigt vor dem Abheben von der horizontalen Fahrbahn
eine Höhendifferenz von ∆h = 203 mm an. Die Dichte der Luft bei 20 ℃ ist ρL = 1,27 kg/ m3 . Wie
groß ist die Flugzeuggeschwindigkeit beim Abheben?
Luft
Dh
5