7. Schwingungen und Wellen

89
7. Schwingungen und Wellen
Bewegung um Potentialminima führt zu periodischen Vorgängen
(Schwingungen).
90
mathematischer Einschub:
Additionstheoreme der
trigonometrischen Funktionen
Es gilt:
cos(α + β ) = cos(α ) cos( β ) − sin(α ) sin( β )
cos(α − β ) = cos(α ) cos( β ) + sin(α ) sin( β )
Harmonischer Oszillator
Kraft:
F = − Dx
x
D
Potentielle Energie:
E pot =
Es gilt:
( genauer:
d
V (x )
dx
F = −∇V (r ) )
F =−
D 2
x = V ( x)
2
sin(α + β ) = sin(α ) cos( β ) + cos(α ) sin( β )
sin(α − β ) = sin(α ) cos( β ) − cos(α ) sin( β )
Daraus folgt:
α α
α
α
= 2 cos 2 ( ) − 1
2
α
ma = F
⇔
hier:
d
V (x )
dx
1 d
ɺxɺ = −
V ( x)
m dx
mɺxɺ = −
D
ɺxɺ = − x
m
α
α
= cos 2 ( ) − (1 − cos 2 ( ))
2
2
Differentialgleichung:
⇔
α
cos(α ) = cos( + ) = cos 2 ( ) − sin 2 ( )
2 2
2
2
= 1 − 2 sin 2 ( )
2
Damit:
α 1
cos 2 ( ) = (1 + cos(α ))
2
2
α 1
sin 2 ( ) = (1 − cos(α ))
2
2
91
Lösung der Differentialgleichung:
92
Beispiel: Kastenpotential
V(x)
x (t ) = a sin ωt + b cos ωt
mit ω =
D
m
Teilchen im Kastenpotential
wird bei x=0 und x=l reflektiert
a,b: Konstanten (bestimmt durch Startbedingungen x0 und v0)
x
l
0
Die Geschwindigkeit ist gegeben durch:
Ortskurve:
v (t ) = xɺ (t ) = aω cos ωt − bω sin ωt
x(t)
Keine Sinus-Funktion!
Anharmonische Schwingung
l
x (t ) = x0 cos ωt
und damit
2v
l
b = x0 ; a = 0
Für x(0) = x0 und v(0) = 0 ist
x0
x(t)
x(0) = b; v(0) = aω
Für t=0 gilt:
τ=
0
Steigung:
Geschwindigkeit v
v0 = 0
harmonische
Schwingung
Beispiel: zwei schiefe Ebenen
π
ω
2π
t
V(x)
ω
Potential:
V ( x) = c x
Kraft:
F ( x ) = −c
-x0
b = 0; a =
Für x(0) = 0 und v(0) = v0 ist
in diesem Fall ist
x (t ) =
v0
ω
sin ωt
v0
ω
x
x
x
93
Ortskurve:
x(t)
4mv0
c
τ=
Keine Sinus-Funktion!
Anharmonische Schwingung
94
Allgemein: auch nichtperiodische Funktionen können in harmonische
Komponenten zerlegt werden; hier tragen sämtliche
Frequenzen (und nicht nur die Vielfachen einer
Grundfrequenz) bei. Daher wird die Summe durch ein
Integrale ersetzt:
f (t ) =
t
Parabelstücke
2
∞
π ∫0
1
a (ω ) =
2π
mit:
7.1 Fourier-Analyse
n
ω0 =
2π
τ
an , bn : Fourier-Koeffizienten
Berechnung der Koeffizienten:
bn =
2
τ
2
τ
−∞
∞
∫ f (t ) sin(ωt )dt
−∞
cos( nω0t ) + bn sin( nω0t )
n =1
mit
an =
∫ f (t ) cos(ωt )dt
komplexe Schreibweise:
∞
∑a
∞
1
b(ω ) =
2π
Jede periodische Funktion mit Periode τ kann in einer unendliche
Summe von harmonischen Komponenten zerlegt werden:
a
f (t ) = 0 +
2
a (ω ) cos(ωt ) + b(ω ) sin(ωt )dω
1
f (t ) =
2π
∞
~
∫ f (ω )e
− iω t
dω
−∞
1
~
f (ω ) =
2π
∞
∫ f (t ) e
iωt
dt
−∞
τ
∫ f (t ) cos(nω t )dt
0
0
τ
∫ f (t ) sin(nω t )dt
0
0
~
f (ω )
:
Fourier-Transformierte von f(t)
~
f (ω ) = a (ω ) 2 + b(ω ) 2 : Spektrum von f(t)
95
7.2 Wellen
Beispiel: Überlagerung zweier harmonischer Funktionen
f (t ) = cos(ω1t ) + cos(ω 2 t )
Ersetzen:
ω =
96
Harmonische Funktion in Abhängigkeit von der Zeit:
f(t)
ω1 + ω 2
Periode
mittlere Frequenz
2
ω − ω1
δ= 2
2
τ=
f (t ) = sin(ωt )
2π
ω
Differenzfrequenz
t
Damit ist:
f (t ) = cos((ω − δ )t ) + cos((ω + δ )t )
Harmonische Funktion in Abhängigkeit vom Ort:
= cos(ω t ) cos(δt ) − sin(ω t ) sin(δt )
+ cos(ω t ) cos(δt ) + sin(ω t ) sin(δt )
f(x)
Wellenlänge
λ=
f ( x ) = sin( kx)
2π
k
Also:
x
f (t ) = 2 cos(ω t ) cos(δ t )
Signal:
k=
Spektrum:
2π
f (t )
„Schwebung“
~
f (ω )
ω
2π
λ
Wellenzahl
(„Ortsfrequenz“)
Welle: harmonische Abhängigkeit von Ort und Zeit:
f ( x, t ) = sin( k ( x − ct )) = sin( kx − ωt )
t
2π
δ
ω
mit
ω = ck
97
Darstellung für feste Zeiten:
f(x,t)
98
Beispiel: wellenartige Anregung einer Pendelkette
t0
t1
t2
a
Kraft auf n-tes Pendel:
Fn = D (u n +1 − u n ) − D (u n − u n −1 )
x
D
un-1
Für feste Orte:
f(x,t)
x0
x1 x2
un
un+1
Differentialgleichung
m
(ma=F):
muɺɺn = D (u n +1 + u n −1 − 2u n )
t
Lösung:
u n (t ) = u 0 cos( kx − ωt )
mit
Für Orte gleicher Amplitude gilt:
k ( x − ct ) = konstant = ϕ 0
x=
ϕ0
k
+ ct = x0 + ct
Diese Orte (und damit die Welle) bewegen sich also mit
der Geschwindigkeit:
v=c=
Und damit auch:
v=
ω
k
=
ω
Die Lösung gleicht einer Welle, mit dem Unterschied, dass
sie nur an diskreten Orten (den Orten der Pendel)
definiert ist.
Jetzt: Betrachtung eines kontiniuierlichen, elastischen Mediums:
un
k
Aufteilung in Teilstücke
der Länge ∆x
(mit Index n)
2π / τ λ
= = λf
2π / λ τ
Geschwindigkeit = Wellenlänge mal Frequenz !
x = na
∆x
Fläche A
99
100
Masse der Teilstücke:
∆m = ρA∆x
( ρ : Dichte )
Die zweite Ableitung ist dann:
xn + xn +1
x + xn
) − f ' ( n −1
)
2
2
f ' ' ( xn ) =
∆x
f ( xn+1 ) + f ( xn −1 ) − 2 f ( xn )
f ' ' ( xn ) =
∆x 2
f '(
Kraftgesetz des Mediums:
F = EA
∆l
l
( E : Elastizitätsmodul )
Damit ist die Kraft auf das n-te Teilstück bei Verschiebung um un:
Fn = EA
u n +1 − u n
u − u n −1
− EA n
∆x
∆x
Damit läßt sich die Differentialgleichung schreiben als:
Damit lautet die Differentialgleichung:
EA
(u n +1 + u n −1 − 2u n )
∆x
∆muɺɺn =
ρA∆xuɺɺn =
uɺɺn =
uɺɺn =
und mit f statt u:
EA
(u n +1 + u n −1 − 2u n )
∆x
E d2
d2
(
,
)
=
f ( x, t )
f
x
t
ρ dx 2
dt 2
E (u n +1 + u n −1 − 2u n )
ρ
∆x 2
Einschub: diskrete zweite Ableitung (Definition der zweiten
Ableitung von diskreten Funktionen)
für die erste Ableitung gilt:
xn −1 + xn
f ( xn ) − f ( xn −1 )
)=
2
∆x
x + xn +1
f ( x n +1 ) − f ( xn )
f '( n
)=
2
∆x
f '(
E d2
u
ρ dx 2
Wellengleichung für ein elastisches Medium
Lösungsansatz:
f ( x, t ) = a0 cos( kx − ωt )
Einsetzen in Differentialgleichung:
− ω 2 a0 cos( kx − ωt ) =
E
ρ
(− k 2 a0 cos( kx − ωt ))
101
⇒
ω2
k2
=
E
ρ
7.3 Schallgeschwindigkeit
Schallgeschwindigkeit in Festkörpern:
Für die Geschwindigkeit der Welle gilt:
v=
und damit:
v=
102
ω
v =
k
E
ρ
v⊥ =
Wellengeschwindigkeit
im elastischen Medium
E
ρ
G
ρ
Longitudinalwelle
E: Elastizitätsmodul
Transversalwelle
G: Schermodul
E : Elastizitätsmodul
ρ : Dichte
Zahlenwerte (Longitudinalwellen):
Blei
1300 m/s
Eisen
5100 m/s
Diamant 17500 m/s
Damit lässt sich eine allgemeine Wellengleichung aufstellen:
2
d2
2 d
(
,
)
=
f ( x, t )
f
x
t
c
dt 2
dx 2
Je geringer die Dichte
und je höher die Härte,
desto größer die
Geschwindigkeit!
Schallgeschwindigkeit in Gasen
Dreidimensional:
d2
2 2
f
(
r
,
t
)
=
c
∇
f
(
r
,t)
dt 2
Hier ist
mit
E=
κ=
1
κ
1
γp
(Kehrwert der
Kompressibilität)
p: Druck
γ: Adiabatenexponent
(γ=5/3 für Atome;
γ=7/5 für zweiatomige
Moleküle)
103
104
Beispiel: „Orgelpfeife“
Damit wird die Schallgeschwindigkeit:
γ k BT
γp
vs =
=
ρ
m
1. Gasgefülltes Rohr, beidseitig geschlossen
u(x,t)
an den Enden
kann sich das Gas
nicht bewegen:
u=0
u(x,t)
m: Teilchenmasse
l
Zahlenwerte (20°C):
Luft
Helium
330 m/s
1007 m/s
Durch Reflektion an den Enden bilden sich stehende Wellen
7.4 Stehende Wellen
Auslenkungsprofil in der Grundmode:
Überlagerung einer „nach links“ und einer „nach rechts“
laufenden Welle:
u(x,t)
f ( x, t ) = cos(kx − ωt ) + cos(−kx − ωt )
x
l
= cos(kx) cos(ωt ) − sin(kx) sin(ωt )
+ cos(kx) cos(ωt ) + sin( kx) sin(ωt )
λ/2
= 2 cos(kx) cos(ωt )
Ortsfeste Funktion!
f(x,t)
„Knoten“:
Amplitude Null
„Bauch“:
maximale
Amplitude
Für die Grundmode gilt also:
λ
2
Frequenz:
t
=l
λ = 2l
⇒
f0 =
vs
λ
=
vs
2l
( Luft: für l = 1m erhält man f = 165 1/s )
105
1. Oberton
106
Damit ergibt sich für ein Auslenkungsprofil
u(x,t)
u(x,t)
f1 =
x
l
vs
= 2 f0
l
x
l
λ =l
folgendes Druckprofil:
p(x,t)
2. Oberton
u(x,t)
3v
f2 = s = 3 f0
2 l
x
l
λ = 2l / 3
p0
l
x
Der Druck hat „Bäuche“ an den Rohrenden!
usw.
2. Gasgefülltes Rohr, halboffen
Damit: die Frequenzen der Moden eines geschlossenen Rohrs
sind gegeben durch:
f =n
vs
2l
u(x,t)
n = 1,2,3,...
l
Druck kann sich nicht
aufbauen:
Druckknoten
Gas kann sich nicht
bewegen:
Druckbauch
Für den Druck in einer Welle gilt:
p ( x, t ) = p 0 −
u(x,t)
1 ∂
u ( x, t )
κ ∂x
Alle erlaubten Moden haben also Druckbäuche (Auslenkungsknoten)
bei x=0 und Druckknoten (Auslenkungsbäuche) bei x=l .
107
Grundton:
108
2. Oberton:
p(x,t)
Druck
p(x,t)
p0
l
λ/4
x
p0
l
u(x,t)
u(x,t)
x
f 2=
5λ / 4
5 vs
= 5 f0
4 l
Auslenkung
x
x
l
Frequenz:
f 0=
vs
λ
=
l
vs
4l
Die Frequenzen der Moden eines geschlossenen Rohrs
sind also gegeben durch:
1. Oberton:
f = ( 2n − 1)
p(x,t)
p0
l
u(x,t)
x
3λ / 4
x
n = 1,2,3,...
Nur ungerade Harmonische (Vielfache der Grundfrequenz)
sind erlaubt!
f 1=
l
vs
4l
3 vs
= 3 f0
4 l
109
110
Frequenz entgegen der Bewegungsrichtung
7.5 Doppler-Effekt
f2 =
Bewegt sich die Quelle im wellentragendem Medium, werden
Wellenlänge und Frequenz richtungsabhängig.
λ2
c
λ2
=
c
v
λ0 +
f0
=
c
c
v
+
f0 f0
=
1
v
1+
c
f0
( < f 0 !)
λ1
Quelle
Zusammengefasst:
v
f = (1 ± ) −1 f 0
c
∆x = vτ
Eine Quelle sende Wellen der Frequenz f0 aus. Zwischen dem
Aussenden zweier Wellenberge legt die Quelle eine Strecke ∆x
zurück, wodurch sich der Abstand der Wellenberge verändert.
Doppler-Effekt
7.6 Wellen im dreidimensionalen Raum
Wellen in Räumen verschiedener Dimension
Wellenlänge in Bewegungsrichtung:
λ1 = λ0 − ∆x = λ0 − vτ = λ0 −
∆x
f0
1D
2D
Wellenlänge entgegen der Bewegungsrichtung:
λ1 = λ0 + ∆x = λ0 + vτ = λ0 +
∆x
f0
f ( x, t ) = u 0 cos(kx − ωt )
f ( x, y, t ) = u 0 cos(k r − ωt )
 kx 
k =  ;
ky 
 x
r = 
 y
Frequenz in Bewegungsrichtung
f1 =
c
λ1
=
c
v
λ0 −
f0
=
c
c
v
−
f0 f0
=
1
v
1−
c
f0
3D
( > f 0 !)
f ( x, y, z , t ) = u 0 cos(k r − ωt )
k 
 x
k =  k y ;
k 
 z
 x
 
r =  y
z
 
111
genauer:
f ( x, y , z , t ) = u 0 cos(k r − ωt )
ω k
v= k k
y
112
7.6.1 Huygens-Prinzip
ebene Welle
Die Ausbreitung einer Welle im Raum kann konstruiert werden,
indem jeder Punkt eines Wellenbergs als Quelle einer Kugelwelle
angesehen wird.
λ
λ
Nach der Zeit
τ = λ /v
ist der Radius der Kugelwelle
r= λ; alle Teilwellen überlagern
sich zu einem neuen
Wellenberg
x
Wellenberge
1
f ( x, y , z , t ) = u 0 cos(k r − ωt )
r
y
Wellenberg
neuer
Wellenberg
Kugelwelle
λ
ω r
v= k r
Reflexion an Oberflächen:
neuer Wellenberg
x
einlaufender
Wellenberg
v
Wellenberge
Auftreffpunkt bewegt sich
Vorfaktor 1/r: Intensität nimmt mit Entfernung zur Quelle ab.
Von den Auftreffpunkten auslaufende Kugelwellen
113
v
v'
v
v'
α α'
114
7.7 Resonanz und Dämpfung
Jede Schwingung unterliegt einer Dämpfung
⇒ freie Schwingungen haben eine endliche Lebensdauer!
Es gilt α = α '
Einfallswinkel=Ausfallswinkel
Beugung an Wand:
7.7.1 gedämpfter harmonischer Oszillator
Kugelwellen
Differentialgleichung
ma = Fges = FD + FR
D
Welle dringt in
abgeschatteten
Bereich ein!
(allerdings mit
geringer Intensität)
muɺɺ = − Du − β uɺ
m
Flüssigkeit
⇒
Beugung an kleinem Loch:
Kugelwellen bilden
Kugelwelle!
Reibungskraft
(Stokes)
Federkraft
Lösung:
muɺɺ(t ) + β uɺ (t ) + Du (t ) = 0
u (t ) = u 0 e −t / t cos(ω t + ϕ )
L
Ein von einer ebenen
Welle beleuchtetes
kleines Loch wirkt
wie eine Punktquelle!
mit:
tL =
ω=
2m
β
Lebensdauer
D 1
−
m tL 2
Frequenz
115
u0 u(t)
Graph:
116
Lösung:
Abfall mit
Lebensdauer tL
u (t ) = u 0 cos(ωt + ϕ )
ω : Frequenz (durch äußere Kraft
vorgegeben)
ϕ : Phasenverschiebung der Schwingung
gegenüber treibender Kraft
u0 : Amplitude
mit
t
-u0
Es ist:
7.7.2 getriebener gedämpfter
harmonischer Oszillator
F0 / m
u0 =
(
Die Schwingungsamplitude bleibt zeitlich konstant, wenn eine
äußere Kraft die Dämpfung kompensiert.
D
4
− ω 2 )2 + 2 ω 2
m
tL
tL =
mit
Differentialgleichung:
2m
β
Diskussion:
D
ma = FD + FR + FA
für
muɺɺ(t ) + β uɺ (t ) + Du (t ) = F0 cos ωt
m
ω→∞
:
u0 → 0
ω→0
:
u0 →
quasistatisch!
(F/D ist die normale Auslenkung
einer Feder)
treibende Kraft
FA(t)
F0
D
ω→
D
m
:
u0 →
F0 t L
m 2ω
kann sehr groß
werden! (für große tL)
117
Graphen:
u0
Amplitude
ω
D
m
ω
0
Phase
um π/2 versetzt
in Phase
-π
ϕ
in Gegenphase