Physik III - Formelsammlung

Physik III - Formelsammlung
von Julian Merkert, Wintersemester 2005/06, Prof. Kalt
Optik
Elektromagnetische Wellen im Vakuum
(Elektrische Feldstärke:
Wellengleichung:
N
E~ [ As
=
V
m ], magnetische Feldstärke
~ [ V s2 = T ]
B
m
~
1 ∂2E
c2 ∂t2
∆E~ =
Ebene transversale elektrische Welle:
•
Kreisfrequenz:
•
Wellenlänge:
•
Wellenvektor:
•
Wellenzahl:
|~k| = k =
•
Magnetfeld:
~ =
B
ω = 2πν
~
E~ = E~0 ei(ωt−k~r) , E~ = E~0 cos(ωt − ~k~r)
(Frequenz
ν)
λ
~k
1 ~
ω (k
2π
λ
~
× E)
Für ebene elektromagnetische Wellen im Vakuum gilt:
~ B⊥
~ ~k
• ~k⊥E⊥
~ = 1 |E|
~
• |B|
c
• E~
und
~
B
in Phase
Linear polarisierte Welle:
E~ = E~0 cos(ωt − kz)
in z-Richtung mit den Komponenten
Ex
und
Ey
in Phase
• Ex = E0x cos(ωt − kz)
• Ey = E0y cos(ωt − kz)
Zirkular polarisierte Welle: gleiche Amplituden
E0x = E0y = E0 ,
aber 90
◦
Phasenverschiebung:
• Ex = E0 cos(ωt − kz)
• Ey = E0 cos(ωt − kz − π2 )
• σ + -Licht:
Rechtsschraube in Ausbreitungsrichtung (=
ˆ links zirkular)
• σ − -Licht:
Linksschraube in Ausbreitungsrichtung (=
ˆ rechts zirkular)
Elliptisch polarisierte Welle:
Poynting-Vektor:
E0x 6= E0y
oder Phasenverschiebung zwischen
~ = E~ × H
~ = ε0 · c2 · E~ × B
~
S
Ex
und
Ey 6= 90◦
W m2
~ = ε0 cE 2
• S = |S|
~ ~k
• S||
•
S = Energie, die pro Zeit durch Flächeneinheit
Intensität:
I =< S(t) >=
1
2
⊥~k
transportiert wird (Energiestromdichte)
· ε0 · c · E~02
Dispersionsrelation für Licht im Vakuum:
ω =c·k
1
Lichtausbreitung im Medium
Wellengleichung im Medium:
2
∆E~ − ε · ε0 · µ0 ∂∂tE2 = 0
Monochromatische, ebene elektromagnetische Welle:
Dispersionsrelation im transparenten Medium:
Im Medium mit Brechungsindex
ñ = n − iκ
~
E~ = E~0 ei(ωt−k~r)
c
n
ω=
·k
gilt:
λV ak
n
•
Wellenlänge
•
Phasengeschwindigkeit
•
Der Realteil gibt die Dispersion, der Imaginärteil die Absorption der Welle an
•
In durchsichtigen Medien (Glas, Wasser, Luft...) gilt:
λ=
Absorptionskoezient
ñ ≈ n
I = I0 e−αz
Beersches Absorptionsgesetz:
•
cV ak
n
c=
α = 2 · kV ak · κ =
−1 m
4πκ
λV ak
Reexions- und Brechungsgesetz:
•
Beim Übergang zwischen zwei Medien kann sich die Wellenlänge ändern, aber nicht die Frequenz
•
Einfallswinkel
•
Snelliussches Brechungsgesetz:
α
= Reexionswinkel
sin α
sin β
α0
=
c01
c02
=
n2
n1
Fresnel-Formeln (e=einfallend, r=reektiert, g=gebrochen, A=Amplitude):
•
Reexionskoezient
•
Transmissionskoezient
•
Reexionskoezient || zur Einfallsebene:
•
Transmissionskoezient || zur Einfallsebene:
Reexionsvermögen:
•
R=
zur Einfallsebene:
⊥
Ir cos α0
Ie cos α
tan αB =
n2
n1
reektierte Welle
⊥
Brewsterwinkel:
• ⇔
T =
Ir
Ie
=
Ags
Aes
τs =
%p =
Arp
Aep
τs =
=
Agp
Aep
=
2 sin β cos α
sin(α+β)
tan(α−β)
tan(α+β)
=
2 sin β cos α
sin(α+β) cos(α−β)
A2r
A2e
R(α = 0) =
=
= − sin(α−β)
sin(α+β)
Ars
Aes
n1 −n2
n1 +n2
2
2
n2 cos β Ag
n1 cos α A2e
gebrochene Welle
⇔ α + β = 90◦
Keine Reexionsverluste unter dem Einfallswinkel
sin αg =
αB
n2
n1
Nur beim Übergang vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium
Phasensprung von
•
≈
Ig cos β
Ie cos α
Grenzwinkel der Totalreexion:
•
%s =
zur Einfallsebene:
Bei senkrechtem Einfall gilt:
Transmissionsvermögen:
•
⊥
π
der zur Einfallsebene senkrechten Komponente
bei reexion am optisch dichteren Medium
2
(n1 > n2 )
ω.
Lichtausbreitung in anisotropen Medien
~)
In anisotropen Medien sind Ausbreitungsrichtung der Phasenächen (~
k ) und die Richtung der Energieausbreitung (S
i.a. verschieden
• E~
und
~k
sind keine Vektoren mehr, sondern Tensoren
Polarisiertes Licht kann erzeugt werden durch Reexion unter dem Brewsterwinkel, durch dichroitische Dünnschichtpolarisation und durch optisch doppelbrechende Kristalle.
λ
4 -Plättchen:
•
∆ϕ =
2π
λ0 d(n3
− n1 )
Zirkular polarisierte Welle für
∆ϕ =
α = 45◦
π
2 bei
Geometrische Optik
(Gegenstandsweite
g,
b,
Bildweite
Gegenstandsgröÿe
G,
Bildgröÿe
B)
Fermat'sches Prinzip: Licht wählt den Weg mit minimaler Lichtlaufzeit
Reexion am sphärischen Spiegel mit Radius
1
2
·r
•
Brennweite:
•
Abbildungsgleichung:
f=
Abbildungsmaÿstab:
r:
β=
B
G
1
g
1
b
+
=
1
f
= − gb
Brechung an gekrümmter Grenzäche mit Radius
n2
n2 −n1
•
Brennweite:
•
Abbildungsgleichung:
f2 =
r:
·r
n1
g
n2
b
+
n2 −n1
r
=
=
n2
f2
= − nf11
r1 , r 2 :
Dioptrie = dbt = m−1
Brechung an dünner Linse mit Krümmungsradien
1
f
= (n − 1)
•
Brechkraft:
•
Brennweite für
•
Abbildungsgleichung:
•
Abbildungsmaÿstab:
1
r1
−
1
r2
r 1 = r2 = r : f =
1
g
1
b
+
β=
=
r
2
n−1
1
f
f
f −g
r1 , r 2
Brechung an dicker Linse mit Krümmungsradien
1
f
1
r1
1
r2
(n−1)·d
n·r1 ·r2
•
Brechkraft:
•
Entfernung der Hauptebenen vom Linsenrand:
= (n − 1)
−
+
und Dicke
d:
·d
h1 = − (n−1)·f
n·r2
·d
h2 = − (n−1)·f
n·r1
•
Abbildungsgesetz mit b, g, f bezogen auf die Hauptebenen:
1
g
+
1
b
=
Linsensysteme:
1
f
1
f1
•
Brechkraft:
•
Abbildungsmaÿstab:
=
+
1
f2
−
d
f1 ·f2
β = β1 · β2
Matrixmethoden der geometrischen Optik
Translation:
(nα1 , y1 ) → (nα2 , y2 )
nα2
y2
0
nα1
= d
·
y1
1
| n {z }
1
Te
3
1
f
Reexion am spärischen Spiegel: (Krümmung ) )
nα2
y2
=
−2n
r
nα1
·
y1
1
{z }
1
0
|
e)
R
Für ebenen Spiegel:
nα2
y2
nα1
0
·
y1
1
| {z }
=
1
0
e|
R
Brechung an Kugeloberäche mit Radius
(mit Brechkraft
D12
r1 :
D12 =
der gekrümmten Fläche:
n2 α2
y2
n2 −n1
r1 )
1 −D12
n1 α1
=
·
0
1
y1
{z
}
|
e12
B
Transformationsmatrix einer Linse:
n3 α3
y3
1−
=
D23 ·d
n2
d
n2
|
! 23 ·d
−D12 − D23 + D12 ·D
n1 α1
n2
·
y1
1 − Dn122·d
{z
}
fL
M
speziell: Transformationsmatrix für dünne Linse,
(n − 1) ·
1
0
fdL =
M
d ≈ 0:
1
r1
−
1
r2
!
=
1
1 − f1
0 1
Abbildungsmatrix:
mit
1 − fg
g + b − b·g
f
]
M
AB =
− f1
1 − fb
Jones-Vektor:
J~ =
Jx
Jy
=
1
~
|E|
α1
]
= MAB ·
G
, d.h. für achsenparalleln Strahl (α1
Ex
Ey
E~ =
!
Jones-Vektoren und -Matrizen Licht propagiert in z-Richtung:
α1
B
E0x · eiϕx
E0y · eiϕy
=
E0x · eiϕx
E0y · eiϕy
~ =
, |E|
= 0):
α2
B
=
q
Ex2 + Ey2
(beschreibt die Polarisation von Licht)
1
• Horizontal polarisiertes Licht:
0
0
• Vertikal polarisiertes Licht: J~v =
1
J~h =
•
Linear polarisiertes Licht mit Winkel
•
Linear polarisiertes Licht mit Winkel 45
•
Zirkular polarisiertes Licht:
σ
+
-Licht:
relativ zur x-Richtung:
◦
√1
2
J~ϑ =
relativ zur x-Richtung:
1
+i
1
= √12
−i
J~σ+ =
σ − -Licht: J~σ−
ϑ
4
cos ϑ
sin ϑ
J~45◦ =
√1
2
1
1
!
−G
f
G · (1 − fb )
•
Elliptisch polarisiertes Licht:
J~ =
1
~
|E|
E0x
E0y · e−iϕ
Jones-Matrizen (beschreiben polarisationsändernde Elemente):
•
Linearer Polarisator (max. Transmission || x-Richtung):
M(x) =
0
0
1
0
•
Linearer Polarisator (max. Transmission unter Winkel
θ
gegen x-Achse):
•
Optische Verzögerungsplatte, die die Polarisationsebene dreht:
•
λ
4 -Plättchen:
•
λ
2 -Plättchen:
M=
M(θ) =
ei∆ϕx
0
cos2 θ
sin θ cos θ
sin θ cos θ
sin2 θ
0
ei∆ϕy
1 0
4
0 −i
i 0
Mλ =
2
0 −i
π
M λ = ei 4
Kohärenz
Zeitliche Kohärenz: die Phasendierenz zweier Teilwellen in einem Raumpunkt
tungszeit
∆t
um weniger als
Kohärenzzeit: Maximale Zeitspanne
Teilwellen von höchsten
2π
~r
ändert sich während der Beobach-
2π
∆tC ,
während der sich Phasendierenzen zwischen allen im Punkt
ändern
∆tC =
~r
überlagerten
1
2π
=
∆ω
∆ν
(∆ν : Frequenzbreite)
Räumliche Kohärenz: die räumliche Dierenz der Phase
der Beobachtungszeit um weniger als
Kohärenzlänge: lC
ϕi (~r1 ) − ϕi (~r2 )
beliebiger Teilwellen
E~i
ändert sich während
2π
= c · ∆tC
Kohärenzäche: Fläche
⊥
Ausbreitungsrichtung, für die gilt:
Kohärenzvolumen: Kohärenzlänge
×
∆ϕi (~r) = 0
Kohärenzäche
Interferenz
Wegdierenz:
∆s
Konstruktive Interferenz:
∆ϕ = m · 2 · π
•
Teilwellen in Phase
•
Maximale Intensität
Destruktive Interferenz:
∆s = m · λ
(m = 0, 1, 2, ...)
2
Imax = c · ε0 E~1 + E~2
∆ϕ = (2m + 1) · π
•
Teilwellen gegenphasig
•
Minimale Intensität:
/
∆s = (2m + 1) ·
λ
2
(m = 0, 1, 2, ...)
2
Imin = c · ε0 E~1 − E~2
Kohärenzbedingung für Doppelspalt:
•
/
∆smax ≈
b·d
2·D
<
λ
2
d: Spaltabstand, D: Abstand Spalt-Lichtquelle, b: Ausdehnung der Lichtquelle
Kohärenzäche einer ausgedehnten Lichtquelle:
• ∆Ω:
FC = d2 ≤
λ2
∆Ω
Raumwinkel, unter dem die Lichtquelle von einem Punkt der Kohärenzäche aus erscheint
5
Planparallele Platte:
∆ϕ =
Michelson-Interferometer:
Sagnac-Interferometer:
•
2π
λ ∆s
∆ϕ =
2π
λ ∆s
8πA
c·λ
∆ϕ =
Ω:
A: umlaufene Fläche,
−π
Mach-Zehnder-Interferometer:
· Ω · cos θ
Kreisfrequenz der Drehung,
2π
λ
∆ϕ =
· ∆n · L
θ:
Winkel zwischen Drehachse und Flächennormale
(L: Länge des Mediums)
Airy-Formeln für reektierte und transmittierte Intensität nach Vielstrahl-Interferenz:
• IR = I0 ·
• IT = I0 ·
•
F ·sin2 ( ∆ϕ
2 )
1+F ·sin2 ( ∆ϕ
2 )
1
1+F ·sin2 ( ∆ϕ
2 )
Finesse-Koezient:
• ∆ϕ
F =
4R
(1−R)2
kann verändert werden...
durch Veränderung der Wellenlänge
∆s
durch Variation von
Fabry-Pérot-Interferometer:
bei festem
∆s: ∆ϕ =
·n·d
2·n·d
m
•
Wellenlängen, die maximal durchgelassen werden:
•
Periode der Transmissionskurve / freier Spektralbereich des FPI:
2·n·d
δλ = λm − λm+1 = 2·n·d
m − m+1 =
c
δν = νm+1 − νm = 2·n·d
F∗ =
δν
∆ν
√
π R
1−R
π
4
λm =
(m = 1, 2, ...)
λm
m+1
√
•
Finesse des FPI:
•
Halbwertsbreite der Transmissionsbereiche eines Interferometers:
=
2π
λ ∆s
λ
bei festem
4π
λ
∆ϕ =
λ
=
F
∆ν =
δν
F∗
Beugung
b:
Beugung am Einzelspalt mit Breite
•
Minima:
b · sin θ = m · λ
•
Maxima:
b · sin θ =
•
Intensität des in Richtung
2m+1
2
(m
·λ
θ
= 1, 2, 3, ...,
(m
1. Nullstelle von
I(θ)
bei
∈ Z\ {0, −1})
abgebeugten Lichts:
Beugung an Kreisblende mit Radius
•
keine 0 da dort Hauptmaximum)
R: I(θ) = I0
2·J1 (x)
x
2m+1
2
Minima:
d · sin θ =
•
Maxima:
d · sin θ = m · λ
•
Intensität:
2
mit
x=
mit
2·π·R
λ
x=
π·b
λ
· sin θ
· sin θ
und
J1 (x)
λ
sin θ1 = 0, 61 R
Beugung am Gitter / Doppelspalt mit Spaltabstand
•
2
I(θ) = I0 sinx2 x
d,
Spaltbreite
b:
·λ
sin2 π · λb · sin θ sin2 [N ·π· λd ·sin θ]
I(θ) = I0 2 · sin2 [π· d ·sin θ]
λ
π · λb · sin θ
|
{z
}
Einhuellende
Fraunhofer-Beugung für parallel einfallende Lichtbündel
→
Fresnel-Beugung: divergenter bzw. konvergenter Lichteinfall
Fresnel-Kirchhosches Beugungsintegral:
EP =
RR
C · ES ·
Beobachtung im Fernfeld
→
Beobachtung im Nahfeld
e−ikr
r dx
6
dy
Besselfunktion 1. Ordnung
•
Feldamplitude im Punkt P der beleuchteten Önung S des Schirms
θ
• C = i cos
λ
A i(ωt−kR)
Re
• ES =
Babinetsches Theorem:
•
EP (σ) =
P
i
EP (σi )
Komplementäre Beugungsächen ergeben gleiches Beugungsmuster
Fourier-Darstellung: Das Fraunhofer-Beugungsbild
E(x, y)
verteilung
E(x0 , y 0 , z0 )
ist proportional zur Fouriertransformierten der Feld-
in der beugenden Önung.
Lichtstreuung
Kohärente Streuung: Oszillatoren regelmäÿiger Anordnung (z.B. kristalliner Festkörper)
Inkohärente Streuung: statistisch verteilte oder zeitlich variierende Phasen der streuenden Oszillatoren (z.B. Gas,
Flüssigkeit, Pulver...)
Mie-Streung: Streuung an Mikropartikeln (z.B. Staub, Nebel)
Optische Instrumente
Sehwinkel:
•
G
g
ε=
Sehwinkel = Winkel zwischen Randstrahlen
Deutliche Sehweite / Bezugssehweite:
Vergröÿerung:
V =
s0 = 25 cm
Sehwinkel ε mit Instrument
Sehwinkel ε0 ohne Instrument
f
Lupe: Sammellinse kurzer Brennweite
•
Normalvergröÿerung:
Mikroskop:
Fernrohr:
0
VM = − fOBt·s
·|fOK |
VF =
s0
f
VL =
(t
= d − fOK :
optische Tubuslänge)
fOB
fOK
Rayleigh-Kriterium: zwei punktförmige Lichtquellen lassen sich in der Bildebene trennen, falls das Maximum des einen
Beugungsscheibchens auf das 1. Minimum des anderen fällt
Auösbarer Winkelabstand:
δmin = 1, 22 ·
Winkelauösungsvermögen:
RW =
Auösung Mikroskop:
•
1
δmin
= 0, 61 ·
λV ak
NA
N A = n · sin α
Spektrales Auösungsvermögen:
• ∆ν · ∆Tmax ≥ 1
D
1,22·λ
=
λV ak
2·n·sin α
∆xmin = 1, 22 ·
Numerische Aperatur:
λ
D (D: Durchmesser der Instrumentenönung)
λ
∆λ
=
∆smax
λ
(∆smax : maximaler Wegunterschied)
(∆Tmax : maximale Laufzeitdierenz)
Prismenspektrometer:
•
Ablenkwinkel
• γ:
•
θ(λ):
Prismenwinkel,
dθ
dλ
=√
2 sin( γ2 )
1−n2 ·sin2
γ
2
·
dn
dλ
dn
dλ : Dispersion des Prismas
Spektrales Auösungsvermögen:
λ
∆λ
=
a dθ
2 dλ (a: Durchmesser des eintretenden Lichtbündels)
Gitterspektrometer:
•
Winkeldispersion
dβ
dλ
=
m
d·cos β
=
d2 cos2 α
m2
+
2·d·λ
m
sin α − λ2
7
− 12
λ
∆λ
•
Spektrales Aufösungsvermögen:
≤m·N
•
m: Interferenzordnung, N: Gesamtzahl der beleuchteten Gitterstriche
f = s0 =
Fresnellinse wirkt wie Linse mit Brennweite
r12
λ
Thermodynamik
Gase
p · V = const
h 2i
Boyle-Mariott'sches Gesetz:
Kompressibilität:
•
κ = − V1
m
N
∂V
∂p
bei konstanter Temperatur T:
κ=
1
p
%∼
N
5
m2 , bar = 10 P a
Bei konstanter Temperatur gilt: Dichte
Druck:
p=
F
A
• p·V =
Pa =
3
2
·N ·
Druck
p
1
· m · v2
|2 {z }
Ekin
Barometrische Höhenformel:
m
2
Absolute Temperatur T:
p = p0 · e
· v2 =
3
2
−%0 ·g·h
p0
· kB · T
p · V = N · kB · T
Allgemeine Gasgleichung:
Gleichverteilungssatz: in einem Gas der Temperatur T verteilt sich die Energie der einzelnen Moleküle durch Stöÿe
gleichmäÿig auf alle Freiheitsgrade
•
Mittlere Energie jedes Teilchens:
Ekin = f ·
Teilchenstromdichte
~j
•
Diusionskonstante
D=
und
D=
(f: Zahl der Freiheitsgrade)
q 2
π
m
kB ·T
23
2
mv
− 2·k
·T
v2 e
B
dv
~j = Dgrad n
•
•
· kB · T
fM B (v)dv =
Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung:
Ficksches Gesetz:
1
2
1
n·σ
q
Wärmeleitfähigkeit:
Λv
3
(Λ: mittlere freie Weglänge,
8·kB ·T
9·π·m (σ : Stoÿquerschnitt,
λ=
1 f ·kB ·v
12
σ
J
m·s·K
m:
Masse,
n:
v:
mittlere Geschwindigkeit)
Dichte)
Temperatur
Längenänderung eines Stabes:
• TC :
•
Temperatur in
◦
L(TC ) = L(0) · (1 + α · TC )
Celsius
Linearer Ausdehnungskoezient
α=
∆L
L·TC (relative Längenänderung pro Grad Temperaturänderung)
Volumenänderung eines Gases (Druck konstant):
•
Ausdehnungskoezient
γV =
V (TC )−V0
V0 ·TC
=
V (TC ) = V0 · (1 + γV · TC )
1
273,15◦ C
= 3, 66 · 10−3 ◦1C
(relative Volumenänderung pro Grad Temperaturänderung)
Absolute Temperatur:
Temperatur in
◦
T = T0 · (1 + γ · TC ) = T0 +
Celsius:
TC
◦C
=
T
K
T0
273,15 TC
− 273, 15
Avogadro-Konstante (# Atome / Moleküle pro Mol):
NA = 6, 023 · 1023 mol−1
8
•
1 mol eines Gases nimmt, unabhängig von der Gasart, unter gleichen äuÿeren Bedingungen immer das gleiche
Volumen ein (soweit Gas=ideales Gas):
J
R = NA · kB = 8, 31 K·mol
Allgemeine Gaskonstante:
Zustandsgleichung des idealen Gases:
• ν=
•
Vmol = 22, 4 dm3 (T = 0◦ C, p = 1 bar)
p·V =ν·R·T
V
Vmol : Zahl der Moleküle im Volumen V
Zustandsänderungen:
T=const
isotherme Zustandsänderung
p · V = const
p=const
isobare Zustandsänderung
V
T
= const
V=const
isochore Zustandsänderung
p
T
= const
Wärmemenge und spezische Wärme
∆T
bei Energiezufuhr
Wärmeenergie
[J = N m = W s]
Temperaturänderung
• ∆Q:
•
∆W : ∆W = ∆Q = c · m · ∆T
c: spezische Wärme
(Wärmemenge, die benötigt wird um die Temperatur einer Masse
•
Wärmekapazität:
•
Innere Energie eines Mols:
•
Freiheitsgrade:
U=
1
2
U=
1
2
· f · N · kB · T
ftrans = 3, frot = 2, fvib = 2 · (3n − 5) ⇒ f = 6n − 5
Nichtlineares Molekül mit n Atomen:
Wärmemenge pro Mol:
Cp
CV
=
Dulong-Petitsches Gesetz:
ftrans = 3, frot = 3, fvib = 2 · (3n − 6) ⇒ f = 6n − 6
1
2
CV =
Cp = CV + R =
CV = 6 ·
1
2
· NA · kB = 3R
1
2
(f + 2) R
(maximaler Wert bei Festkörpern)
Durch Querschnittsäche A ieÿt konstante Wärmemenge
Allgemeine Wärmeleitungsgleichung:
∂T
∂t
=
dQ
dt
= −λ · A ·
λ
c·% ∆T
•
λ
c·%
•
falls Temperaturgradient nur in eine Richtung:
Temperaturleitzahl
∂T
∂t
Wiedemann-Franz-Gesetz (Wärmeleitung in Metallen):
• σ:
f +2
f
Wärmeleitung in Festkörpern
= λT :
∂U
∂T V
·f ·R=
∆Q = CV · ∆T
Spezische Molwärme bei konstantem Volumen:
κ=
zu erhöhen)
f = ftrans + frot + fvib
Lineares Molekül mit n Atomen:
Adiabatenindex:
∆T = 1K
· f · NA · kB · T
Spezische Molwärme bei konstantem Volumen:
•
um
∆Q
∆T
Innere Energie eines Gases (N Moleküle):
m = 1 kg
elektrische Leitfähigkeit,
e:
=
λ
σ
λ ∂2T
c·% ∂x2
=
Elementarladung
9
2
π 2 ·kB
3·e2
·T
dT
dx
Wärmestrahlung
Integrales Absorptionsvermögen:
•
Körper mit
zu Körpern
•
E ∗ (T )
A∗ (T )
A∗ =
A∗ = 1: schwarzer
∗
mit A < 1
absorbierte Strahlungsleistung
auf genommene Strahlungsleistung
Körper mit gröÿtem Emissionsvermögen bei gleicher Temperatur im Vergleich
= K(T )
∗
(E : Emissionsvermögen,
K:
Konstante, die nur von T abhängt, nicht vom Material)
Kirchhosches Gesetz für Hohlraumstrahlung:
• Sν∗ :
Spektrale Strahlungsdichte,
A∗ν , Eν∗ :
Eν∗
A∗
ν
= Sν∗ (T )
spektrales Emissions- / Absorptionsvermögen bei der Frequenz
Hauptsätze der Thermodynamik
Vorzeichen:
•
vom System verrichtete Arbeit (Energie wird kleiner): negativ
•
dem System zugeführte Arbeit: positiv
1. Hauptsatz (Energieerhaltung):
∆U = ∆Q + ∆W
• ⇔
Es gibt kein perpetuum mobile 1. Art
• ⇔
Ideales Gas:
dU = dQ − p · dV
(Im Folgenden Prozesse für 1 mol eines Gases,
Isochore Prozesse (V
ν=
V
Vmol
= 1)
= const ⇒ dV = 0)
• dQ = dU = CV · dT
• CV = ∂U
∂T V
• ∆W = 0
Isobare Prozesse (p
= const)
• dQ = Cp · dT
•
Enthalpie:
H = U + pV
• dQ = dH = dU + p · dV
• Cp = ∂H
∂T p
Isotherme Prozesse (T
= const ⇒ dU = 0)
• dQ = p · dV = −dW
RV
RV
• W = − V12 p · dV = −R · T V12
dV
V
= R · T · ln VV12
• p · V = const
Adiabatische Prozesse (dQ
= 0)
• dU = CV · dT = −p · dV
•
Poisson'sche Gleichungen / Adiabatengleichungen:
T · V κ−1 = const
p · V κ = const
10
ν
2. Hauptsatz:
•
Wärme ieÿt von selbst immer nur vom wärmeren zum kälteren Körper, nie umgekehrt
• ⇔
es gibt kein perpetuum mobile 2. Art
Kreisprozess: System kehrt nach mehreren Zustandsänderungen in den Ausgangszustand zurück
•
reversibel: Kreisprozess kann in beide Richtungen durchlaufen werden
Carnot'scher Kreisprozess:
1. isotherme Expansion
2. adiabatische Expansion
3. isotherme Kompression
4. adiabatische Kompression
Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses:
Entropie
Reduzierte Wärmemenge:
Entropie S:
•
dS =
η=
∆Q
∆Q
=1−
T2
T1
∆Q
T
dQreversibel
T
bei einem reversiblen Kreisprozess bleibt die Entropie konstant
• ∆Sisobar = CV · ln TT21 + R · ln VV21
• ∆Sisochor = Cp · ln TT21 − R · ln pp21
∆Q
T
• ∆Sisotherm =
= R · ln VV21
• S = kB · ln W (W : Realisierungsmöglichkeiten des Zustands)
PW
• S[bit] = − i=1 pi log2 pi (pi : Wahrscheinlichkeit, dass Zustand
•
S[J/K] = S[bit] · kB · ln 2
P
N
• Mischungsentropie: ∆Smix = kB i Ni · ln N
i
i vorliegt)
Umrechnung:
(Ni : Anzahl Moleküle der zu mischenden Volumina)
Thermodynamische Potenziale
Erhaltungsgröÿe bei...
innere Energie
Enthalpie
H(S, p)
freie Energie
F (T, V )
freie Enthalpie
•
dU ≤ T · dS − p · dV
adiabatisch-isochor
H = U + p · dV
dH ≤ T · dS + V · dp
adiabatisch-isobar
F =U −T ·S
dF ≤ −S · dT − p · dV
isotherm-isochor
G=U +p·V −T ·S
dG ≤ −S · dT + V · dp
isotherm-isobar
U (S, V )
G(T, p)
=: reversibel, <: irreversibel
• S=−
∂G
∂T p
=
∂F
∂T V
∂T
∂U
• p = − ∂V
= ∂V
T
S
• V = ∂G
= ∂H
∂p
∂p
T
S
11
• T =
•
∂U
∂S V
=
∂H
∂S p
Thermodynamische Prozesse verlaufen so, dass thermodynamische Potenziale minimiert werden (im Minimum:
Gleichgewichtszustand)
•
Die Zunahme der freien Energie eines isothermen Systems ist höchstens gleich der in das System hineingesteckten
Arbeit:
•
dF ≤ dW
Spontane chemische Reaktion für G abnehmend, also
∆G < 0
3. Hauptsatz:
•
Entropie aller reinen kondensierten Stoe geht für
T →0
gegen den selben Grenzwert
• ⇔ limT →0 S(T ) = 0
• ⇔
der thermodynamische Gleichgewichtszustand am absoluten Nullpunkt ist ein Zustand maximaler Ordnung,
nur eine Realisierungsmöglichkeit
• ⇔
W =1
es ist prinzipiell unmöglich, den absoluten Temperatur-Nullpunkt zu erreichen
Reale Gase und Flüssigkeiten
Van-der-Waals-Gleichung eines realen Gases:
• a:
•
Stokonstante,
Binnendruck:
b = 4 · N · VAtom :
pB =
p+
•
· (Vmol − b) = R · T
Kovolumen
a
V2
Clausius-Clapeyron-Gleichung: Verdampfungswärme
• VD :
a
2
Vmol
Molvolumen Dampfphase,
Vf l :
WV = T ·
dps
dT
(VD − Vf l )
Molvolumen üssige Phase,
dps
dT : Steigung der Dampfdruckkurve
Ursachen:
Vergröÿerung des Volumens
Vf l → VD
gegen äuÿeren Druck
Vergröÿerung des Molekülabstands im Potenzial
Van't Hosche Gleichung:
WV
ps (T ) = A · p0 · e− R·T
Van-der-Waals-Konstanten:
mit
a = 3 · pk · Vk2 , b = 31 Vk
WV
A = e R·T0
((pk , Vk ): kritischer Punkt)
Joule-Thomson-Eekt: Abkühlung durch Expansion ohne Verrichtung von Arbeit ist möglich
Inversionstemperatur:
TI =
2·a
b·R
12
ps (T )