8. Wellen im anisotropen Medium (Polarisationsoptik)

8. Wellen im anisotropen Medium (Polarisa5onsop5k) Op5sche Eigenscha=en hängen von Ausbreitungsrichtung und Polarisa5on der Welle ab (Kristalle) Mathema5sch:  αβ
≠  δ αβ
für die Komponenten des dielektrischen Tensors Vereinfachung: Vernachlässigung von Absorp5on, d.h.  αβ ∈
Orien5erung der 
 charakteris5schen Wellengrößen MWG ( B
= µ H
) 
D
0
 

k × E = µ 0ω H
 

k × H = −ω D

kD = 0

kH = 0

H

E
α
. (für reelle Amplituden) 
k
α

S
  
Energiestromdichte    S  E × H
 



Folgerung: k , S,
E und D
liegen in einer Ebene⊥ H
, k und S
bilden den gleichen Winkel wie D
und E , das elektrische Feld ist nicht mehr notwendig transversal, Richtung der Phasen-­‐ und Energieausbreitung sind nicht mehr notwendig iden5sch. Kombina5on der rot-­‐Gleichungen (siehe Kapitel 2) ergibt ( ∑ k β Eβ )k α − k Eα +
2
β
ω2
c2
∑
β
E =0
αβ β
 ω 
!
Dies ist ein lineares homogenes GLS, dass mit dem durch k
=
n definiertem Refraktärvektor n folgende c
Gestalt hat ⎛ n2 − n2 + 
n x n y + xy
n x nz + xz ⎞
x
xx
⎜
⎟
 
2
2
n y − n + yy
n y nz + yz ⎟
Ĉ
( n ) E
=
0
mit Ĉ = ⎜ n y n x + yx
⎜
⎟
2
2
⎜ n n +
nz n y + zy
nz − n + zz ⎟
z x
zx
⎝
⎠
2 NichVriviale Lösung: ||
Ĉ ||
= 0 , ersetzt n2=ϵ im isotropen Medium Im Kapitel 2 haben wir gezeigt, dass für ein nicht absorbierendes Medium gilt 
divS = ∑ (αβ −  *βα )Eα*Eβ = 0
α ,β
also ϵαβ=ϵβα (da ϵαβ voraussetzungsgemäß reell) Folge: Es gibt ein Koordinatensystem, in dem der dielektrische Tensor Diagonalgestalt (ϵαβ=ϵαδαβ) hat. Die dazu gehörigen Achsen nennt man dielektrische Hauptachsen! Hier ergibt sich 
|| Ĉ (n ) || = x y z − [x (y + z )n x2 + y (x + z )n y2 + z (x + y )n z2 ] + (x n x2 + y n y2 + z n z2 )n 2 = 0
Fresnelsche Formel (FF) ➝ ➝ ➝ Berechnung des Brechungsindex n=|n|für gegebene Ausbreitungsrichtung n bzw. k 
Biquadra5sche GL ⇒ 2 Lösungen mit ni2 >0 und den dazugehörigen Eigenvektoren E i ( i =
1,2)
⇒ In einem anisotropen Medium breiten sich in eine gegebene Richtung zwei Wellen mit unterschiedlichem Brechungsindex und zueinander orthogonaler Polarisa5on aus. 
FF definiert Fläche 4. Ordnung für n als Ort aller möglichen Refraktärvektoren – die Wellenvektorfläche (WVF) 3 
Einachsige Kristalle (i): Achse c (o.B.d.A. || z-­‐Achse), Richtungen senkrecht dazu sind äquivalent ⇒ ϵx=ϵy=ϵ⊥, ϵz=ϵ|| ⇒ FF: (n 2 −  )[ (n 2 + n 2 ) +  n 2 −   ] = 0
⊥ ⊥ x y  z ⊥  (2 Flächen 2. Ordnung) ordentliche Welle: n o =
 ⊥ isotroper Brechungsindex, WVF = Kugel n x2 + n y2 n 2
1
sin2 θ cos2 θ
z
=
+
außerordentliche Welle: + = 1 bzw. mit Θ ∢ c, n: 2
n
(
θ
)

⊥


a


⊥
Brechungsindex winkelabhängig, WVF= Ellipsoid Für n ∥c sind o-­‐ und a-­‐Welle nicht unterscheidbar. 

HauptschniV (HS): Ebene aufgespannt durch c
und n (o.B.d.A.: xz-­‐Ebene) posi5ver Kristall (ϵ⊥<ϵ||) nega5ver Kristall (ϵ⊥> ϵ||) nz
nz
no

k
na
nx
⊥

k
no
na
nx

4 

Die Ausbreitungsrichtung v
on L
ichtstrahlen i
st n
icht d
urch s
ondern gegeben. S
k

Definieren Strahlvektor s durch  

s  S (Richtung) s n =
1 (Betrag) 
k
Im Wellenbild ist ein Strahl e
in W
ellenpaket, a
lso d
ie S
uperposi5on e
bener W
ellen m
it v
erschiedenen . 
Dispersionsrela5on ω( k ) berechnet sich aus 
 c 
|| Ĉ [n, ε αβ (ω )] || = 0 (n = k )
ω
 
∂ω ∂ω
∂
∂
Weiter gilt*) s  v G =    = −  || Ĉ || /
|| Ĉ ||
∂k
∂n
∂n
∂ω
für Richtung unmaßgeblich 
s

dn

n

Wellenvektorfläche ||
Ĉ (n ) || = 0




∂|| Ĉ (n ) ||   
0 =|| Ĉ (n + dn ) || =|| Ĉ (n ) || +
dn  sdn

∂n


s (als Gradient) steht senkrecht auf dem durch n definierten Punkt der WVF 
Welcher GL genügt s ? Mit MWG: 
 
  
    
µ 0c (s × H) = (s × n × E ) = (s E )n − (sn )E = −E

 
  
−c (s × D) = (s × n × H) = − H

   1  
s × s × D = (s × H) = −0E
c
*) mathema5scher Beweis: siehe Elektrodynamikvorlesung oder z.B. Landau/Lifshitz, Band VIII, $97 5 Strahlen 
  
s × s × D + ̂ −1D = 0

sE = 0
Wellen 
  
n × n × E + ̂E = 0

nD = 0
Die Gleichungen und Aussagen zu Wellen können auf Strahlen übertragen werden, wenn folgende Ersetzungen durchgeführt werden: 

D→E


E →D


n→s
̂ → ̂ −1
!
|| Ĉ [s , ε α−1,β (ω )] || = 0 bes5mmt folglich bei vorgegebener Richtung den Betrag des Strahlvektors. In Analogie zur WV für den Refraktärvektor wird dadurch die Strahlfläche (SF) für den Strahlvektor definiert. SF 
s

Bedeutung: betrachten Strahlenbündel von Punktquelle ausgehend ⇒ alle s enden 
   
auf SF, Phasenänderung auf Weg Δ r = s : k Δ
r = ( ω / c ) n s = const.
⇒ SF = Flächen konstanter Phase! (Ersetzt Kugelfronten im isotropen Medium). 

Komplementarität zwischen WV und SF: s ⊥
WV
und n ⊥ SF

    
(0 = d (ns ) = dn s + nds = nds )
Einachsige Kristalle (ii): Hier ergeben sich die folgenden Geometrien WV SF 

(ϵ⊥<ϵ||) 
no
sa
k


na
so
 Ein größerer Brechungs-­‐ s index bedeutet eine kleinere Phasengeschwindigkeit, die WF der außerordentliche Welle fallen zurück. 6 Explizit s α ~

∂|| Ĉ (n ) ||
∂nα
 

o-­‐Strahl: sα ~ nα ⇒ s o  n ⇒ s o ∊ HS   
a-­‐Strahl: sz ~ ϵ∥nz, sα ~ ϵ⊥nα (α=x,y) ⇒ s a ∦ n a und s a ∊ HS (ny=0 ⇒ sy=0), bildet jedoch einen anderen Winkel Θ‘ zur c-­‐Achse s xa
s za
= tanθ ′ =
⊥ n x
 n z
=
⊥

tanθ
  

Polarisa5on: k
, s , E und D
liegen in einer Ebene ⇒ 
 
 

a-­‐Strahl: E a liegt im HS, steht ⊥auf s a und ∢ E
a D
a = ∢ s an




o-­‐Strahl: da generell E ⊥
E ⇒ E
o liegt ⊥ zum HS, ebenso D
o o

c

Ea
Θ‘ Θ 
sa
 
n  so
. E
o
a
(Was hier möglich ist, da die koplanaren Wellen-­‐ und Strahlvektoren keine Ebenen vorgeben.)  
Im isotropen Medium ist die Polarisa5on bis auf E ⊥
k beliebig, im einachsigen Kristall exis5eren dagegen nur zwei orthogonale lineare Polarisa5onszustände. Von außen eingestrahltes Licht wird auf diese Zustände aufgeteilt. Doppelbrechung: Die Fresnel-­‐Gleichungen können analog wie im Kapitel 3 für o-­‐ und a-­‐Wellen abgeleitet werden. (Achtung: Dort wurde für die parallele Polarisa5onskomponente des elektrischen Feldes Transversalität vorausgesetzt! Das muss jetzt geeignet modifiziert werden.) Reflexions-­‐ und Brechungsgesetz behalten ihre Form, aber im a-­‐Fall gelten folgende Besonderheiten: a)  Brechungsgesetz wird implizite Gleichung, da der Brechungsindex nun eine Funk5on des Brechwinkels ist n1sin θ=n2(θ2)sin (θ2). b) Im Experiment wird die Strahlrichtung sichtbar ⇒der a-­‐Strahl genügt nicht dem Brechungsgesetz. 7 Konstruk5on zur Doppelbrechung Außerordentlicher Strahl Ordentlicher Strahl !
k ein
!
k geb
a !
so
o !
k ein
!
k geb
!
sa
!
Wir konstruieren die WVF um den Punkt, wo der Wellenvektor des einfallenden Lichts k
ein
auf die EE tri|. Die blaue WFV gilt natürlich nur im oberen Halbraum des isotropen Mediums, die rote nur im unteren, wo das Medium anisotrop sein soll. ! Die zur EE parallele Kom-­‐ ponente des Wellenvektors ist invariant. Daraus (gestrichelte Linien) ergibt sich die Lage des Wellenvektors k geb
der gebrochenen Welle. Wegen der unterschiedlichen Form der WVF ist dieser für ordentliche und außerordentliche Welle leicht unterschiedlich. Maßgeblich ist jedoch der Strahlvektor, der senkrecht auf den WVF steht. Wir erkennen: Ordentlicher und außerordentlicher Strahl breiten sich in unter-­‐ schiedliche Richtungen aus. 8 Lösung für Spezialfall: Op5sche Achse des Mediums steht senkrecht auf Grenzfläche Hier fallen Einfalls-­‐ bzw. Brechwinkel mit dem Winkel zur op5schen Achse überein. o-­‐Strahl: sin
θ = ⊥ sinθ2o
a-­‐Strahl: Ste5gkeit der Transversalkomponente: nx = sin Θ Θ . 
c
Θ2o Θ2a n x2 nz2
FF (ny=0): + =
1 ⇒  ⊥
tanθ2a = tanθ ' =
⊥ n x
 n z
=
⊥ sinθ
 ( − sin2 θ )
(c-­‐Achse || GF ⇒ Θ‘=90∘-­‐Θ ⇒tan Θ2a→ cotan Θ2a) (Siehe Abbildung nächste Seite.) Aufspaltung in zwei getrennte, ⊥ zueinander polarisierte Strahlen. Durch Wahl der Eingangspolarisa5on kann rela5ver Anteil gesteuert werden. Oder: unpolarisiertes Licht wird in zwei linear polarisierte Strahlen aufgeteilt ⇒ Polarisator 9 90∘ Brechungswinkel des außerordentlichen Strahls Θ Θ2 ‖ϵ|| = 1.5 
c
Θ2 von oben nach unten: ‖ϵ|| = 0.75 ϵ⊥ ‖ϵ|| = ϵ⊥ (isotropes Medium) ‖ϵ|| = 1.5 ϵ⊥ 0 Θ 90∘ 10 Nicolsches Prisma 07.02.12
ordentlicher
Strahl
68°
unpolarisiert
Kanadabalsam
außerordentlicher
Strahl
optische
Achse
optische
Achse
68°
n außerord. < n Kleber < n ord.
Erzeugung von linear polarisiertem Licht mit Hilfe der Doppelbrechung und speziell geformten Prismen. 11 Quelle: Wikipedia Hyperbolische Metamaterialien (Meta = Höhere Ebene). Metamaterialien kommen in der Natur nicht vor! MWG im isotropen Medium : Im allgemeinen Fall ist für die !magne5schen Komponenten eine Permeabilität !
(µ) zu berücksich5gen, d.h., B = µ 0 µ H
! !
!
k × E = µ 0 µω H Wellenvektor, elektrisches und magne5sches Feld bilden ein Rechtssystem für ! !
! µ > 0 und ein Linkssystem für µ <0! k × H = −ω ε0ε E Wellenvektor, magne5sches und elektrisches Feld bilden ein Rechtssystem für ε >
0
und ein Linkssystem für ε < 0
! ! ! !
S = E × H elektrisches, magne5sches Feld und Energiefluss bilden stets ein Rechtssystem! ε, µ > 0

E

H
. ε, µ < 0

E

k

H

H

k

S
. 
E
Im rechtshändigen Medium sind Wellenvektor, also die Phasenausbreitung, und Energiefluss parallel gerichtet, im linkshändigen sind sie entgegengerichtet. Für ε,
µ
<
0 widersprechen sich erste und zweite Gleichung, es gibt also keine Lichtausbreitung. Für Metalle ist unterhalb der Plasma-­‐Frequenz ε < 0
aber µ > 0, daher Totalreflexion! Generell ist die magne5sche Permeabilität µ natürlicher Stoffe im op5schen Bereich immer posi5v. Man kann aber aus geeigneten Einheiten ein künstliches Material au‚auen, dass ε, µ
< 0 realisiert. Das ist jedoch sehr kompliziert. Wir behandeln ein „einfacheren“ Fall, bei dem Metalle mit Dielektrika kombiniert werden. 12 Zunächst sei ein geschichtetes Medium – ein Stapel – aus zwei unterschiedlichen Materialien betrachtet, die jedes einzeln op5sch isotrop sind. Sie werden werden also durch skalare Größen ε 1 und ε 2 , beschrie-­‐
ben, die Permeabilität sei (wie bisher immer angenommen) µ=1. Die Dicke der einzelnen Schichten sei klein gegen die Wellenlänge d1,d2 << λ. Alle Feldgrößen dürfen über d1 und d2 als konstant genähert werden! Es 
c
entsteht ein effek5ves Medium, das eine Achse hat, nämlich die Stapelrichtung . ε1
ε2
An den Grenzfläche zwischen den Schichten werden die Felder durch die Ste5gkeitsbedingungen angeschlossen. Wir müssen nun zwischen Kompo-­‐
nenten, die parallel oder senkrecht zur Grenzfläche liegen, unterscheiden. !

a) E ⊥ c (d.h. parallel zur GF): Diese Komponente ist ste5g, also ergibt sich für das Feld in einer Doppelschicht d1 d2 
c
... D⊥ =
1
d1 + d2
d 1 +d 2
∫
0
⎛ d
⎞
d2
1
dz ε0 ε(z ) E⊥ = ⎜
ε1 +
ε2 ⎟ E⊥
⎜⎝ d + d
d 1 + d 2 ⎟⎠
1
2
bzw. ein effek5ver Wert für die Komponente des dielektrischen Tensors in dieser Richtung ε⊥ = " ε1 + (1 − ") ε2
mit dem Füllfaktor ! = d 1 / (d 1 + d 2 )
! 
b) E II c (d.h. senkrecht zur GF). Jetzt nutzen wir, dass die Normalkomponente von D
ste5g ist, also ε0 E! =
1
d1 + d2
d 1 +d 2
∫
0
⎛ " 1−"⎞
dz
D =⎜ +
⎟D
ε(z ) ! ⎜⎝ ε1
ε2 ⎟⎠ !
1
⇒ ε! =
ε1ε2
" ε2 + (1 − ") ε1
13 Durch Stapeln von isotropen Medien entsteht, wenn die Schichtdicken klein gegen die Wellenlänge sind, ein effek5ves einachsiges Medium. Alles, was oben hierfür abgeleitet wurde, kann zur Beschreibung des Stapels angewendet werden. Nun untersuchen wir den Fall, dass eines der Medien ein Dielektrikum mit ε 1 > 1, das andere jedoch ein Metall ist. Für Lich‡requenzen mit ω <ωp* (siehe Kapitel 3.3) ist ε 2 < 0 . Bei gegebenen Werten von ε 1 und ε 2 können wir den Füllfaktor immer so wählen, dass ε⊥ > 0, ε! < 0
Die WVF der außerordentlichen Welle ist dann durch nz2
ε⊥
nx + ny
2
−
|ε! |
=1
gegeben, also ein Hyperboloid! Der Brechungsindex der außerordentliche Welle na (θ ) =
ε⊥
1 − (1 + ε⊥ / |ε! |) sin2 θ

k
nz
2
na
⊥
" "
θ = !c , k

nx
kann beliebig groß, ihre Wellenlänge folglich beliebig klein werden! In Bereichen θ > θc mit sin2 θc = |ε
! | /(ε
⊥ + |ε
! |)
gibt es keine Phasenausbreitung! 14 Ausbreitungskonus Nega5ve Brechung Die durch ε⊥s z2 − |ε! |(s x2 + s y2 ) = 1
gegebene SF ist ebenfalls ein Hyperboloid. Die beiden BläVer !!
müssen ! denen der WVF rich5g zugeordnet werden. Mit sn = 1
und s ⊥
WVF folgt !
k ein
WVF !
k geb
SF !
sa
Ein Lichtstrahl wird auf die linke Seite des Einfallslots gebrochen, so als ob das Medium einen nega5ven Brechungsindex häVe! Die SF sind die Flächen konstanter Phase, also die Wellenfronten. Für eine punk‡örmige Quelle ergibt sich folglich (ganz anders als für die Kugelwellen im isotropen Medien) eine gerichtete, konus-­‐
förmige Abstrahlung. Den Konuswinkel erhalten wir aus der SF-­‐ Gleichung zu sin2 θmax = ε ⊥ / (ε
⊥ + |ε
! |)
. Was genau passiert, ist Gegenstand der aktuellen Forschung. 15 Polarisa5onsformung:Licht falle senkrecht zur Oberfläche und senkrecht zur c-­‐Achse auf einen einachsigen Kristalls 
 
c
Eingangspolarisa5on wird gemäß des Winkels Ψ ∢ e
ein
c in o-­‐ und a-­‐
Welle aufgeteilt. 

Feld nach Durchgang e ein
ea
 
i ( ω /c ) n od ⎞
⎛

sinψ e
k ⊥c

⎟ e −iωt + k.k.
E (d , t )  ⎜
eo
i ( ω /c ) n ad
⎜⎝ cosψ e
⎟⎠
d 2π
na-­‐no=Δn ⇒ Phasenunterschied zwischen a-­‐ und o-­‐Welle ϕ =
Δnd
λ
⎛ sinψ
⎞

Für die Polarisa5on am Ende des Kristalls gilt dann e aus
= ⎜ iϕ ⎟ ⎝ cosψ e ⎠
(die Phase 2π/λ*na im Gesam‡eld ist in diesem Zusammenhang ohne Bedeutung) Durch geeignete Wahl von Δnd und ψ lassen sich beliebige Polarisa5onszustände erzeugen. 2 Beispiele für ψ=45∘, also sin2 ψ=cos2 ψ=1/2 
e aus
⎞

1 ⎛
a) λ/2-­‐PläVchen: ϕ=π, also Δnd=λ/2 ⇒ e aus
= ⎜ 1 ⎟ , Drehung um 90∘ 
e ein
2 ⎝ −1 ⎠

e aus

1 ⎛ 1 ⎞
b) λ/4-­‐PläVchen: ϕ=π/2, also Δnd=λ/4 ⇒ e aus
= ⎜ ⎟ , zirkular Polarisa5on. 2⎝ i ⎠
16 Weitere Polarisa5onseffekte Natürliche op5sche Ak5vität: Zusatzbeitrag zur Materialgleichung D α = ∑ g αβγ
β ,γ
∂E γ
∂x β
Dα = i ∑ g αβγ k β Eγ
bzw. für Amplituden β ,γ
räumliche Dispersion Ursache: Chiralität des Mediums linkshändig rechtshändig Moleküle sind häufig chiral aufgebaut. Exis5eren beide Chiralitäten, so nennt man diese Stereoisomere Beispiel: links-­‐ und rechsthändige Milchsäure Sind Moleküle mit allen Drehwinkeln gleichmäßig vorhanden (typisch: Flüssigkeit), so ist das Medium isotrop. Exis5ert aber das Stereoisomer nicht oder ist es nicht in gleicher Konzentra5on vorhanden, so besitzt das Medium keine Inversionssymmetrie. 

 
  
Symmetrieüberlegungen: D = 0 {E + ig (E × k / k )} D, E ⊥ k

 
Einsetzen in WG: (n 2 − )E = ig (E × k / k )
17 O.B.d.A. k/k=(0,0,1) ⇒ ⎛ n 2 −  −ig
⎜
⎜⎝ ig
n2 − 
⎞⎛ E
x
⎟⎜
⎟⎠ ⎜ E
⎝ y
⎞
⎟=0
⎟
⎠
Lösung: ( n 2 − )
2 −
g 2 = 0 ⇒
n ± =  ±
g ≈
n ± g / 2
n und Ex = ±i Ey
Einfallendes Licht wird in eine links-­‐ und rechtshändig zirkular polarisiertes Welle zerlegt. Da die Brechungsindizes unterschiedlich sind, entsteht nach Durchgang ein Gangunterschied 2ϕ=(2π/λ)g/n ⇒ lineare Polarisa5on aber mit gedrehter Richtung ⎛ cos(ϕ ) ⎞
⎞
⎛
⎞
 ⎛
e  ⎜ 1 ⎟ eiϕ + ⎜ 1 ⎟ e −iϕ  ⎜
⎟
⎝ i ⎠
⎝ −i ⎠
⎝ − sin(ϕ ) ⎠


Analog: Faraday-­‐Rota5on im sta5schen Magne‡eld: k → B
Chiralität durch Kreisbewegung der Ladungen infolge Lorentz-­‐Kra=, führt zum Au=reten von Gliedern ϵxy etc. Sta5sche elektrische Felder: z.B. Kerr-­‐Effekt Einfachster Fall: isotropes Medium, durch Richtung des sta5schen Feldes wird Anisotropie erzeugt, es ändert sich Komponente des dielektrische Tensors in dieser Richtung (o.B.d.A.: z-­‐Achse) 2
z → z + eE st
wie einachsiger Kristall (Doppelbrechung, Polarisa5onsformung) ⇒ elektro-­‐op5sche Schalter Übergang zur nichtlinearen Op5k 18 
ANHANG: Lage von D
:   





−1
D
.WG ⇒ D[(
k E ) k − k 2 E ] = − k 2 D̂
−1  0 −1 D
= µ 0 ω
2 D
2 mit (̂
) αβ =
1 /  αβ
⇒ für Einheitsvektor d = D
/ | D
| : α
α

n
dy d
d
n2( x +
+ z)=1
(Kann zeigen: Die beiden möglichen x
y
z
Einstellungen liegen entlang der Haupt-­‐ achsen der Schni•läche.) 
d


−1
d
liegt auf dem Rand der Schni•läche von dem durch ̂ definiertem Ellipsoid und der zu n ⊥-­‐stehenden Ebene 
Speziell einachsige Kristalle: o.B.D.A. nd = n d + n d = 0
x x
z z
⇒
⇒
d x2 + d y2 = 1 − tan2 θ d x2
d z2 = tan2 θ d x2
d x2 = cos2 θ (1 − d y2 )
Einsetzen in d-­‐GL 
c
y d y2

do
. . 
n

da
⊥
+(
cos2 θ
⊥
+
sin2 θ

)(1 − d y2 ) =
1
n2
1 / na2
x ⇒
(
1
n 2o
−
1
n a2
)d y =
2
1
n2
−

1
ordentliche Welle: dy=1 (dx=dz=0) ⇒
⊥ HS  D
außerordentliche Welle: dy=0 ⇒ D
∊ HS n a2

−1

Gleiches gilt für die tatsächliche , aber die der  Polarisa5on der Wellen E  ̂ D
ao-­‐Welle steht nicht mehr k
⊥auf . 19