Die folgende Verallgemeinerung des Beweises Nr. 2 steht etwa bei

J. MEYER, Hameln
Irrationalität von
D
Die folgende Verallgemeinerung des Beweises Nr. 2 steht etwa bei Dedekind1.
Es sei D kein Quadrat. Dann liegt
  D   1 .
Nun sei
D
D als Bruch schreibbar:
0  z    n  n wegen  
Der Bruch
z
z Dn z
. Dann gilt auch
mit

n
n
z n
z
   1 und
n
0  D  n    z  z wegen  
D
D zwischen zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen:
z2
n2
z
   1 und (nach Multiplikation mit z und Beachtung von
n
) daher   z  D  n     1  z .
z
kann also ersetzt werden durch einen wertgleichen mit kleinerem Zähler und kleinerem
n
Nenner.
Es gilt sogar
z D  n    z z   D  n    z     1  z  D  n



mit
n
z n
n  z    n
   1  n  z
0     1  z  D  n  z und 0     1  n  z  n ; beides wegen
z
z
  11 .
n
n
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Dedekind, Richard: Stetigkeit und Irrationale Zahlen.