Optisches Gitter und Bildentstehung im Mikroskop

Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil II
Optisches Gitter und
Bildentstehung im Mikroskop
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
0 H
Kontaktadressen der Praktikumsleiter:
PD Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-58198
1 H
PD Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-3944
2 H
Version 4 (11/2011)
BM 2
Optisches Gitter
Stoffgebiet
•
Geometrische Optik
•
Beugung und Interferenz
Literatur
•
P.A. Tipler, G. Mosca, Physik
2. Auflage (Elsevier, München 2004)
•
Bergmann-Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik
Band 3 Optik, 10. Aufl. (Walter de Gruyter, Berlin 2004)
•
D. Gerschke, Physikalisches Praktikum
12. Auflage (Teubner, Stuttgart 2001)
Vorbemerkung:
Die Entstehung eines optischen Bildes wird durch das vereinfachte Modell der „geometrischen Optik“ nur in groben Zügen beschrieben. Im vorliegenden Versuch soll am Beispiel des
Mikroskops, das im Versuch „Geometrische Optik“ mit geometrisch-optischen Mitteln aufgebaut wird, der Einfluss der Wellennatur des Lichtes untersucht werden. Zugleich soll er die
Verbindung zwischen den Versuchen „Geometrische Optik“ und „Beugung und Interferenz
elektromagnetischer Wellen“ aufzeigen.
Der für eine quantitative Beschreibung der Bildentstehung erforderliche mathematische
Formelapparat ist so kompliziert, dass nur qualitative Untersuchungen vorgenommen werden,
die Ihnen einen ersten Einblick in die Vorgänge bei der Bildentstehung geben sollen. Ausführlicher werden diese Probleme in einem Versuch des Fortgeschrittenen-Praktikums behandelt werden.
Grundlage der Beschreibung der Bildentstehung ist die Beugung von Licht an periodischen
Strukturen. Deshalb werden Sie zunächst die Beugung von Laserlicht am Gitter experimentell
untersuchen. Die Durchführung dieses Versuches setzt die Kenntnis der Anleitung zum Versuch „Beugung und Interferenz“ voraus. Sollten Sie diesen Versuch vor dem Versuch „Beugung“ durchführen, so arbeiten Sie letztere Anleitung vollständig (auch den experimentellen
Teil) durch.
Bildentstehung im Mikroskop
BM 3
Fragen zum Versuchsteil Phasenmodulator
1. Weshalb kommen all die parallelen Teilstrahlen, die mittels der Linse SL zu einem punktartigen Beugungsreflex in der Brennebene B vereinigt werden, mit der Phasenbeziehung
der Modellrechnung an? Haben sie nicht zwischen Linse und Brennpunkt verschieden
lange Wege zurückgelegt (was in der Rechnung nicht enthalten ist)?
2. Weshalb spricht man vom reziproken Raum? In welchem Raum filtert man bei der Raumfilterung?
3. In die gemeinsame Brennebene zwischen den beiden Sammellinsen eines Strahlaufweiters
setzt man häufig eine kleine Lochblende. Wozu? Wie groß sollte man den Lochdurchmesser wählen?
4. Was ist ein Flüssigkristall? Was ist die nematische Phase? Welche optischen Eigenschaften hat sie? Wie funktioniert ein LCD, der auf einem „twisted nematic“ Feldeffekt basiert?
(Da hilft Wikipedia)
5. Wozu dient der Polarisator hinter dem LCD?
BM 4
Optisches Gitter
Theoretische Grundlagen
In der Optik entsteht das Bild eines Gegenstands durch zwei hintereinander stattfindende
Beugungsvorgänge. Formal gesehen stellt ein Beugungsvorgang eine Fouriertransformation
zwischen dem Ortsraum und dem reziproken Raum der Wellenvektoren dar. Bei der Bildentstehung liegt also eine erste Fouriertransformation vom Ortsraum (des Gegenstands) in den
reziproken Raum (des Beugungsbildes) und eine zweite zurück in den Ortsraum (des Bildes)
vor. Das gilt natürlich auch für eine Abbildung mit anderen Wellen als Lichtwellen.
Die Beugungsbilder des Einzelspalts und des Strichgitters werden in der Vorlesung in der
Regel über die phasengerechte Addition der Amplituden der von den Punkten des Gegenstands ausgehenden Teilwellen in der komplexen Ebene („Zeigerdiagramm“) abgeleitet. Die
Fouriertransformation ist eine äquivalente Beschreibung.
Wir betrachten zunächst einen „Gegenstand“ der aus zwei „Streuern“ in den Punkten P0 und
P1 besteht. Der Gegenstand wird von einer monochromatischen ebenen Welle (mit dem Wellenvektor ki ) getroffen. Die Streuer senden Kugelwellen mit der Amplitude E0 bzw. E1 aus,
die eine feste Phasenbeziehung zur einlaufenden Welle haben („kohärente elastische sWellen-Streuung“). Die Streurichtung ist durch den Wellenvektor k f festgelegt, der den
q k f − ki ist der
Streuwinkel θ mit der Einfallsrichtung bildet. Es gilt: =
ki k=
2π / λ . =
f
„Streuvektor“, q die Impulsänderung der Strahlung und − q der Rückstoßimpuls des Gegenstands.
Im Fernfeld, weit entfernt von den Steuern, sind die Fronten der beiden auslaufenden Kugelwellen kaum noch gekrümmt sondern praktisch eben. Allerdings liegt der Gangunterschied
l0 − l1 vor, der sich in den Phasendifferenzwinkel k f ⋅ r − ki ⋅ r = q ⋅ r übersetzt. Die Teilwelle 1
hat also gegenüber der Teilwelle 0 den Phasenfaktor e i⋅q⋅r , der bei der Addition der Teilamplituden Ej zur Gesamtstreuamplitude E zu berücksichtigen ist. Für mehrere Punktstreuer j
gilt also
E (q) = ∑ E j e
iqr j
(1)
j
bzw. für eine kontinuierliche Verteilung von Streuern
E (q) = ∫
Gegenstand
e(r )eiqr dV
(2)
wobei e(r) eine Dichte ist, die angibt wie groß die Amplitude der Streustrahlung des Volumenelements dV im Punkt r ist. E(q) ist also demnach die Fouriertransformierte von e(r).
Im Folgenden sind zwei eindimensionale Beispiele mit reellwertigen e(x) skizziert. (Was bedeuten komplexwertige e(x)?) Außerdem sei der Streuwinkel θ auf kleine Werte beschränkt.
Einzelspalt
Die Spaltbreite sei e( x) = 1 für x < s / 2 und e( x) = 0 sonst. Der Spalt ist gleichmäßig dicht
mit Streuern belegt. Das entspricht in der Optik dem Huygens’schen Prinzip, dass jeder Punkt
im Spalt der Ausgangspunkt einer Kugelwelle ist.
Für kleine θ liegt der Streuvektor annähernd in x-Richtung und es gilt =
2π sin(θ ) / λ .
q q=
x
Bildentstehung im Mikroskop
BM 5
+
s
2
ESp (q ) = ∫ eiqx dx =e
iqs
2
s
−
2
−e
iqs
−
2
 qs 
sin  
2
=  
qs
2
(3)
Das ist gerade das Fraunhofer-Muster des Einzelspalts, die Intensität (als Funktion von q und
damit als Funktion des Ablenkwinkels θ ) ergibt sich als Betragsquadrat der Gesamtstreuamplitude. Es liegt eine kontinuierliche Verteilung E(q) (das Fourierspektrum) vor.
Strichgitter
Abb.1 zeigt ein Strichgitter in der x-y-Ebene. Es besteht aus langen lichtdurchlässigen Spalten
der Breite b in y-Richtung. Die Spalte sind äquidistant mit dem Abstand a ( a = Gitterkonstante), d.h. e(x) ist durch Aneinanderreihung von Elementarzellen der Größe a streng periodisch
aufgebaut.
Abb. 1: Vorderansicht (a) und Querschnitt (b) eines Strichgitters.
Wir gehen von idealen Beleuchtungsbedingungen aus: Die senkrecht (z-Richtung) auf das
Gitter fallende Welle sei eben, monochromatisch und vollständig kohärent. Die Verteilung der
Amplitude des elektrischen Feldes (Feldverteilung) in der Gitterebene zeigt Abb. 2. Eine solche Verteilung nennt man häufig „periodische Kastenverteilung“, bei sehr dünnen Spaltbreiten auch „Dirac-Kamm“. Das Fraunhofersche Beugungsdiagramm eines Gitters, d.h. die
Amplituden- oder Intensitätsverteilung des E-Feldes können wir (wie beim Spalt)
a) in der Brennebene einer hinter dem Gitter befindlichen Sammellinse oder
b) ohne Linse in sehr großer Entfernung (Fernfeld) vom Gitter beobachten.
Wie beim Spalt lässt sich das Fraunhofersche Beugungsdiagramm mittels der FourierMethode oder auch mit Hilfe des Huygens'schen Prinzips berechnen. Wie beim Doppelspalt
wird auch beim Gitter die Beugungsfigur zu einem Teil durch die Beugung am Einzelspalt
bestimmt. Nun kommt hinzu, dass man die Teilwellen aus jedem der N Einzelspalte aufsummieren muss
N −1 − ina 2π sin θ
( )
E2 =
ESp ( Θ ) ∑ e
n =0
λ
− iNa
2π
sin (θ )
λ
1− e
=
ESp ( Θ )
2π
− ia
sin (θ )
1− e λ
(4)
BM 6
Optisches Gitter
Abb. 2: Feldverteilung in der Gitterebene.
(Zur Umformung ist hier die Summenformel für die endliche geometrische Reihe benutzt
worden.)
2
Die zugehörige Intensität I∝ E2 ergibt sich nach einiger Umformung zu:
 π

 sin  λ b sin (θ )  

I = I0  
π

b sin (θ ) 
 λ

2
  π

 sin  N λ a sin (θ )  

 
π


 sin

 a sin (θ )  

λ

 
2
(5)
Der erste Faktor stellt die Beugungsfigur des Einzelspaltes dar und enthält dementsprechend
als Objekteigenschaft nur die Spaltbreite. Der zweite Faktor beschreibt die Interferenz der aus
den N verschiedenen Spalten kommenden Teilbündel. Daher gehen hier als Objektgrößen die
Gitterkonstante und die Zahl der beleuchteten Spalte ein. In Abb. 3a,b sind diese beiden Terme in Gl. (5) getrennt dargestellt und zusätzlich die resultierende Intensitätsverteilung (Abb.
3c, die Ordinate ist nicht maßstabsgetreu).
Die Hauptmaxima der Vielfachinterferenzen sind gegeben durch
a sin (θ ) = nλ
n = 0, ± 1, ± 2,...
(6)
während die Nullstellen der Einhüllenden (Beugung am Einfachspalt) gegeben sind durch
b sin (θ ) = n′λ
n′ = 0, ± 1, ± 2,...
(7)
Bildentstehung im Mikroskop
BM 7
Abb. 3: 1. Term (a) und 2. Term (b) aus Gl. (5) und daraus resultierende
Gesamtintensität (c).
Das Beugungsbild eines Gitters zeigt wieder gut das Zusammenspiel von Einzelspaltbeugung
und Vielfachinterferenz: Der erste Faktor der Gl. (5) stellt die Beugung des Einzelspaltes der
Breite b dar, während der zweite Faktor die Interferenz der aus den verschiedenen Spalten
kommenden parallelen Teilbündel beschreibt. Wir betonen hier, dass das Diagramm in Abb. 3
nur entsteht, wenn auch viele Gitterstriche beleuchtet werden (wie viele sind es in Abb. 3?).
BM 8
Optisches Gitter
Die Zahl N der beleuchteten Gitterspalte geht unmittelbar in die Breite der Hauptmaxima ein:
die Breite ist umgekehrt proportional zu N. Abb. 4 verdeutlicht dies am Beispiel von N = 2, 4
und 8 Spalten.
Abb. 4: Beugungsbilder von Gittern mit N = 2, 4 und 8 Spalten (maßstabsgetreu).
Bildentstehung im Mikroskop
Die Bildentstehung im Mikroskop ist von Ernst Abbé in drei Teilschritte zerlegt worden, die
einzeln mathematisch beschreibbar sind und einen Einblick in die erreichbare Qualität der
Abbildung geben:
1) Die Wechselwirkung einer einfallenden Lichtwelle mit dem Objekt,
2) die Entstehung des Beugungsbildes oder „primären Bildes“ und
3) die Entstehung des Bildes oder „sekundären Bildes“.
Mit dem letzteren ist das durch das Objektiv erzeugte (reelle) Zwischenbild gemeint. Seine
Eigenschaften bestimmen nämlich im Wesentlichen die Qualität der Abbildung. Die Betrachtung des Zwischenbildes mit dem Okular bringt praktisch keine zusätzlichen Probleme.
zu 1): Eine Objektstruktur wird dadurch sichtbar, dass auffallendes Licht an ihr gebeugt, gestreut, reflektiert oder auch absorbiert werden kann, die durchlaufende Lichtwelle also verändert wird. Bei direkter Betrachtung entwirft das Abbildungssystem des Auges daraus ein Bild,
beim Mikroskop geschieht das durch ein Objektiv. Für das Folgende wollen wir einige Vereinfachungen machen:
a) Das beleuchtende Licht sei eine ebene monochromatische Welle, die sich in z-Richtung
eines rechtwinkligen Koordinatensystems ausbreite; das Licht sei vollständig kohärent, so
dass bei Überlagerung von Teilwellen die Amplituden zu addieren sind.
b) Als Objekt wählen wir ein Strichgitter in der x-y-Ebene aus lichtundurchlässigen Spalten
in y-Richtung. Der Grund: Strichgitter lassen sich am einfachsten behandeln und sind zudem die elementarsten Objektstrukturen, denn beliebige Objekte lassen sich nach Fourier
Bildentstehung im Mikroskop
BM 9
im Prinzip immer als Superposition einfacher periodischer Strukturen darstellen. Unser
Gitter ist also quasi eine Fourierkomponente eines beliebigen Objektes (allerdings dadurch
ein Spezialfall, dass die Stege völlig lichtundurchlässig sind). Die Amplitude der Welle
vor dem Objekt sei E0 ( x, y ) ; wir schreiben sie komplex, um zugleich die reelle Amplitude
und die Phase der Welle zu erfassen. Direkt hinter dem Objekt sei die durch die Wechselwirkung mit den Strukturen des Objektes veränderte komplexe Amplitude E1 ( x, y ) . Man
kann durch Einführung einer Objektfunktion F ( x, y ) formal schreiben
E1 ( x, y ) = E0 ( x, y ) F ( x, y )
(8)
F ist ebenfalls komplexwertig, da das Objekt i.A. sowohl Amplitude als auch Phase der Welle
ändert.
Wird nun die (reelle) Amplitude beeinflusst (z.B. bei einer Lochblende als Objekt), so sprechen wir von einem „Amplitudenobjekt“, ändert sich nur die Phase (z.B. bei einem durchsichtigen Objekt mit Brechungsindex n≠1), so ist das Objekt ein „Phasenobjekt“. Hologramme
sind beispielsweise zumeist reine Phasenobjekte.
Das Gitter mit durchlässigen Spalten ist ein Amplitudenobjekt; die Objektfunktion hat eine
besonders einfache Form
=
F ( x + ka ) F ( x )=
a: Gitterkonstante, k 0,1, 2,..
(9)
und
1 (Spalt)
F ( x) = 
0 (Steg)
Die Spalte sollen die Breite b haben.
zu 2): Die Gesamtheit aller hinter dem Objekt in gleicher Richtung verlaufenden Lichtstrahlen (d.h. Parallelbündel, siehe Abb. 7a) wird durch das Objektiv in dessen Brennebene gesammelt (fokussiert), und zwar in einem Punkt, wenn die Lichtquelle punktförmig ist oder in
einem Strich, wenn - wie bei unserem Versuch - als Lichtquelle eine Spaltblende dient. Das
Licht hinter dem Objekt enthält solche Parallelbündel mit unterschiedlichen Richtungen; es
sind dies die vom Gitter in die unterschiedlichen Ordnungen gebeugten Teilbündel. In der
Brennebene erhalten wir das Beugungsbild, dessen Amplitudenverteilung E2 die FraunhoferBeugung ist. Die daraus folgende Intensitätsverteilung ist bereits in Gl. (5) angegeben worden.
zu 3): Während im Beugungsbild alle Lichtstrahlen gleicher Richtung in einem Punkt fokussiert werden, interferieren in einem Punkt des Zwischenbildes alle von einem Objektpunkt
ausgehenden Strahlen (Abb. 7b). Eben das nennen wir eine fehlerfreie, optische Abbildung.
Würden alle vom Objektpunkt ausgehenden Strahlen im Bildpunkt mit einem Abbildungsmaßstab Eins vereinigt, so würden Objekt- und Bildfunktion folgendermaßen zusammenhängen:
E3 ( x ) = E1 ( x ) F ( x )
Das (sekundäre) Bild ergibt sich als Fouriertransformierte des Beugungsbildes (Abb. 7c):
E3 ∝ ∫ E2 (k x2 )e
ik x2 x3
2π x2
x
λ f 3
 2π x2 
dk x2 =
d

∫ E2 ( x2 )e
 λf 
i
(10)
BM 10
Optisches Gitter
Abb. 7: (a) Hinter dem Objekt in gleiche Richtung verlaufenden Lichtstrahlen werden durch das Objektiv in dessen Brennebene gesammelt; (b) In einem Punkt des Zwischenbildes interferieren alle von einem Objektpunkt
ausgehenden Strahlen; (c) sekundäres Bild (Fouriertransformierte) des
Beugungsbildes.
(Die Umformung von kx auf die Ortskoordinate in der Brennebene x2 erfolgt nach
=
k x2 k sin (=
Θ ) 2π x2 ( f λ ) , wobei f die Brennweite der direkt hinter dem Gitter befindli-
Bildentstehung im Mikroskop
BM 11
chen Sammellinse ist.) Dieser einfache Zusammenhang gilt allerdings nur für die Abbildung
mit kohärentem Licht und nur für die ideale Abbildung. Tatsächlich wird aber das zum Bild
beitragende Licht durch Blenden (hier die Austrittspupille des Objektivs) begrenzt. Das können Sie im vorliegenden Versuch direkt sehen. Zu Ihren Aufgaben gehört es, abzuzählen, wie
viele Beugungsordnungen des Objektgitters durch die Blende durchgelassen werden.
Auflösungsgrenze
Es zeigt sich nun, dass die Qualität der Abbildung direkt mit dieser Zahl der durch die Blende
gelassenen Beugungsordnungen zusammenhängt. Dies experimentell zu überprüfen, ist der
wesentliche Inhalt des vorliegenden Versuchs. Wir können anhand der Gl. (10) sehen, was
eine Einengung der Öffnung des Objektivs, d.h. der Integrationsgrenzen bewirkt, die nun statt
bei −∞ und +∞ bei −ε und +ε liegen sollen.
Für die weitere Diskussion wollen wir Gl. (5) vereinfachen:
a) Die Veränderung des Einzelspaltterms ist im Bereich jedes Maximums des Interferenzterms (Abb. 4) gering, wenn b << a und wenn die Strichzahl N groß ist. Wir können dann
die Variable sin(θ ) im Bereich jedes dieser Maxima durch den Wert am jeweiligen Maximum ersetzen. Diese Maxima liegen bei n(λ/a) mit n = 0, ±1, ±2, ±3, ...
b) Dann wird aus Gl. (4) für den Bereich des n-ten Maximums:
b
sin(π n )
a 1 − ....
E2 = E0
b 1 − ....
(π n )
a
(4‘)
Abb. 4 zeigt, dass zwischen den Hauptmaxima des Interferenzterms jeweils N − 1 kleine Nebenmaxima liegen. Vernachlässigen wir diese, so besteht das resultierende Beugungsbild aus
einer Reihe von nebeneinander liegenden schmalen gleichartigen Beugungsfiguren. Die Bildfunktion der Gl. (10) als Fouriertransformierte der Beugungsfunktion Gl. (4’) nimmt dann
folgende Form an (wobei auch in der Exponentialfunktion die Werte für die jeweiligen Maxima eingesetzt sind):
b
sin(π n ) i 2π x n
1 − ....
a e 3a
E3 ( x3 ) = const.∑
∫
b
1 − ....
n
Max ( n )
πn
a
(11)
Wichtig ist, dass das Integral unabhängig von der Variablen x ist und für die Hauptmaxima
für jedes n denselben Wert besitzt (es wird nur über ein solches Maximum erstreckt), es stellt
also nur einen konstanten Faktor dar, den wir zur Konstanten „const.“ zuschlagen können.
Und nun sehen wir in Gl. (11), was geschieht, wenn durch die Öffnungsbegrenzung in der
Beugungsebene die Zahl n der zum sekundären Bild beitragenden Beugungsfiguren eingeschränkt wird (die Einschränkung der Integrationsgrenzen in Gl. (10) entspricht nun einer
Begrenzung der Zahl der Summenglieder). Ist die Öffnungsbegrenzung so klein bzw. die Gitterkonstante des Objektes so klein, dass nur noch Wellenzüge vom Beugungsmaximum nullter Ordnung die Bildebene erreichen - die Summe reduziert sich also auf den Term n = 0 - so
erhalten wir
BM 12
Optisches Gitter
sin ( 0 ) i 0
.
=
E3 const
=
e
const.
( 0)
(11‘)
Die Amplitudenfunktion in der Bildebene ist also bezüglich der Koordinate x konstant; dies
bedeutet konstante Helligkeit ohne jede Strukturierung, wie man sie als Bild des Strichgitters
hätte erwarten können. Das heißt aber, dass man das Gitter nicht mehr erkennen kann. Es ist
nun anschaulich klar, dass eine Strukturierung (d.h. eine x3-Abhängigkeit von E3) erst auftreten wird, wenn mehrere Beugungsmaxima zum Bild beitragen, d.h. zur Interferenz gelangen.
Um dies zu erreichen, gibt es im Prinzip - wenn auch häufig nicht in der Praxis - zwei Möglichkeiten: man vergrößere den Blendenquerschnitt, der durch die Öffnung des Objektivs gegeben ist, oder aber man vergrößere die Gitterkonstante. Im letzteren Fall rücken die Beugungsmaxima enger zusammen, sodass man erreicht, dass Wellenzüge von mehreren Maxima
durch die vorgegebene Blendenöffnung auf die Bildebene treffen. Enger liegende Beugungsmaxima bedeuten aber gröbere Bildstruktur. Hier wird anschaulich, wieso es eine untere Auflösungsgrenze für die Beobachtbarkeit von Bildstrukturen gibt.
Wie gesagt: Die ersten Bildstrukturen tauchen auf, wenn zumindest neben dem Maximum
nullter Ordnung eines der beiden ersten Nebenmaxima zum Bild beiträgt. Dieses Bild ist natürlich noch lange kein echtes Abbild des Objektes; das erhält man erst, wenn eine große Zahl
von Beugungsmaxima an der Bildentstehung beteiligt sind. Mit den Maxima n = 0 und
n = ±1 findet man zwar die Periodizität, die durch die Gitterkonstante a gegeben ist


 b
 sin  π a 
 2π x  



E3 ( x) const. 1 +
2 cos 
=

a 
 b


π 


 a


(11‘‘)
(wobei die n = 0, ±1- Terme mitgenommen wurden; der cos( z ) entsteht dabei aus ei⋅ z + e − i⋅ z ).
Jedoch sind die Strukturen nicht scharf begrenzt (wie die Gitterstriche durch die Spaltkanten),
sondern lediglich cosinus-förmig moduliert. Die Bildstruktur wird immer objektähnlicher, je
mehr aufeinanderfolgende Beugungsordnungen zum Bild beitragen. Um beide Nebenmaxima
erster Ordnung mitzunehmen, muss gelten
2ε = 2
λ
a
(12)
Rechnen wir auf den Öffnungswinkel ω des Bündels vor dem Objektiv um - diese Rechnung
ist etwas umständliche Geometrie - so erhalten wir, aufgelöst nach a
a≥2
λ
n sin (ω )
(13)
Der Zahlenfaktor ergibt sich mathematisch als erste Nullstelle der Zylinderfunktionen (sog.
Besselfunktionen). Der mit 2 genäherte Wert von 2,04... hat also nichts mit der eben gemachten Einschränkung auf die beiden ersten Ordnungen zu tun. Die hergeleitete Formel gilt allerdings für diese Einschränkung, und der Vorfaktor verschwindet, wenn man noch die jeweils
zweiten Ordnungen mitberücksichtigt.
Als Auflösungsvermögen bezeichnet man den Kehrwert von a. Das kleinste a, also die minimale auflösbare Gitterkonstante, nennen wir die „Auflösungsgrenze“ der Abbildung. Wie Sie
sehen, ist sie durch die Beugungseffekte am Objekt bedingt. Den Nenner nsin(ω ) nennt man
Bildentstehung im Mikroskop
BM 13
übrigens die „numerische Apertur“ des Objektivs. Sie ist meistens zusammen mit dem Abbildungsmaßstab auf den Mikroskopobjektiven angegeben.
Versuchsteil Optisches Gitter
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die Gitterkonstante a und die Breite des Elementarspaltes b eines Gitters aus
dem Intensitäts-Beugungsdiagramm (Abb. 5, Gitter mit 5 - 20 Strichen pro Millimeter verwenden).
Abb. 5: Bestimmung der Gitterkonstante a und der Breite des Elementarspaltes b eines Gitters.
Das Beugungsdiagramm wird mit einem Photowiderstand D, der entlang einer Achse senkrecht zur optischen Achse bewegt werden kann, elektrisch gemessen. Einzelheiten sind dem
Versuch „Beugung und Interferenz“ zu entnehmen. Bestimmen Sie die Gitterkonstante a aus
den Maxima des Beugungsdiagramms und die Breite b des Elementarspaltes aus den Lagen
der 2. Minima der Einhüllenden der Hauptmaxima (Die 2. Minima sind bei unserer Anordnung besonders deutlich zu erkennen).
Aufgabe 2:
Abbildung des Gitters mit Laserlicht. Dies ist ein Vorversuch zum Teil „Bildentstehung im
Mikroskop“. Bauen Sie für diese Aufgabe folgende optische Anordnung (Abb. 6) auf: Justieren Sie zunächst den Strahlaufweiter (L1 = kurzbrennweitiges Objektiv, L2 = Sammellinse).
Setzen Sie das Gitter G in den Strahlengang und bilden Sie das Gitter mit dem Linsensystem
L3/L4 (L3 : Objektiv mit eingebauter Irisblende, L4 : Sammellinse) auf dem Schirm S ab. Benutzt wird ein Gitter mit 100 Strichen/mm. Die Abbildung muss also stark vergrößernd sein
(50 - 100-fach), damit das Bild des Gitters mit dem Auge direkt erkennbar ist (s. Abb. 6).
Für den von Ihnen gewählten Strahlengang zeichnen Sie den Abbildungsstrahlengang und
berechnen Sie Bild- und Gegenstandsweiten und den Abbildungsmaßstab. Mit einem Blatt
Papier direkt hinter L3 können Sie die Beugungsordnungen beobachten, die zur Abbildung
beitragen. Verkleinern Sie nun die Blende in L3 und beobachten Sie das Bild des Gitters auf
dem Schirm. Wenn Sie kein Bild mehr erkennen, prüfen Sie wieder nach, wie viele Beugungsordnungen zur Abbildung kommen.
BM 14
Optisches Gitter
Abb. .6: Abbildung eines Gitters mit Laserlicht.
Versuchsteil Bildentstehung im Mikroskop
Versuchsaufbau:
Um Sie mit der Handhabung kommerzieller Mikroskope vertraut zu machen, wird für den
vorliegenden Versuch nicht der zuvor hergestellte Prinzipaufbau verwendet, sondern ein
Leitz-Mikroskop mit (wahlweise) 10-facher bzw. 45-facher Objektivvergrößerung und einem
25-fachen Okular mit Okularmikrometer. Als Lichtquelle dient ein von einer Glühlampe beleuchteter Spalt, dessen Lage (horizontal oder vertikal) und Breite veränderbar sind. Der
Kondensor ist durch die Rändelschraube rechts unten einzujustieren. Als Umlenkspiegel dient
entweder ein Planspiegel oder (nach Verdrehen um 180°) ein Konkavspiegel. Zu Beginn des
Versuchs ist der Planspiegel einzusetzen. Durch ein Interferenzfilter vor dem Beleuchtungsspalt kann die Beleuchtung monochromatisiert werden. Objekt ist ein Strichgitter mit unbekannter Zahl von Strichen pro Millimeter. Das Okular ist samt Tubus durch den links angebrachten kleinen Hebel abzulösen. Setzt man dann die beigegebene Hilfslinse auf, so kann
man die Brennebene des Objektivs betrachten, d.h. das Beugungsbild des Objektes. Justieren
Sie den Kondensor so ein, dass ein scharfes Bild des Beleuchtungsspaltes in der Beugungsebene entsteht, bevor Sie das Objekt in den Strahlengang bringen. Für die Versuchsdurchführung kann man nun in die Brennebene eingreifen, indem man dort Schlitzblenden einführt, die
Teile des Beugungsbildes willkürlich abdecken. Zu diesem Zweck ist in das 10-fach-Objektiv
eine Öffnung eingefräst, durch die die Schlitzblenden geschoben werden können.
Vorbemerkung zu den Aufgaben:
Aufgabe 3 und 4 liefern zum Teil qualitative Resultate. Schildern Sie diese mit einigen Sätzen
im Protokollheft.
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Gitterkonstante des Gitters. Verwenden Sie dazu das 10-fach-Objektiv.
Die Eichung erfolgt mit dem beigegebenen Objektmikrometer.
Aufgabe 4:
Beobachten Sie das Beugungsbild („primäres Bild“) des Objekts. Dazu wird der Okulartubus
durch eine Hilfslinse ersetzt. Geben Sie an, bis zu welcher Beugungsordnung Beugungsmaxima zum sekundären Bild beitragen. Setzen Sie dann den Interferenzfilter vor den Beleuchtungsspalt. Wie sieht nun das Beugungsbild aus?
Wie ändert sich das Beugungsbild, wenn Sie das 10-fach-Objektiv durch das 45-fachObjektiv ersetzen? Dazu ist eine erneute Scharfeinstellung des sekundären Bildes (wozu die
Bildentstehung im Mikroskop
BM 15
Hilfslinse wieder durch den Okulartubus ersetzt wird) und des primären Bildes (mit Hilfe der
Kondensorverschiebung) erforderlich.
Aufgabe 5:
Entfernen Sie den Interferenzfilter und benutzen Sie das 10-fach-Objektiv. Stellen Sie das
sekundäre Bild scharf und verändern Sie die Scharfeinstellung danach nicht mehr. Beobachten Sie dann das primäre Bild.
a) Schieben Sie nun die Einfach-Schlitzblende so in den Objektivschlitz, dass nur das Maximum nullter Ordnung durchgelassen wird (Kontrolle im Beugungsbild). Falls nötig, kann
durch Verschieben der Schlitzblende und durch geringfügige Verkippung des Beleuchtungsspiegels nachjustiert werden. Wie sieht nun das sekundäre Bild aus?
b) Blenden Sie entsprechend mit der Doppelschlitzblende Nr. 1 die Maxima ± erster Ordnung aus (Kontrolle im Beugungsbild). Wie sieht nun das sekundäre Bild aus? Bestimmen
Sie mit Hilfe des Okularmikrometers den Streifenabstand. Machen Sie sich klar, wieso er
sich gegenüber dem im Bild in Aufgabe 3 verändert hat.
c) Schieben Sie nun die Doppelschlitzblenden Nr. 2 und 3 nacheinander in das Beugungsbild
(Die besten Resultate erhält man, wenn man den planaren Beleuchtungsspiegel durch den
Konkavspiegel ersetzt.). Wie ändert sich nun das sekundäre Bild? Bestimmen Sie wieder
den Strichabstand. Wieso erscheint das sekundäre Bild (zumeist) farbig?
Aufgabe 6:
Nachdem Sie die Aufgaben 3 bis 5 durchgeführt haben, überlegen Sie sich die Antworten auf
folgende Fragen:
a) Wieso enthält das aus dem Beugungsmaximum nullter Ordnung entstehende sekundäre
Bild keine Information über das Objekt?
b) Schätzen Sie die numerische Apertur des 10-fach-Objektivs ab.
c) Die Beugungswinkel sind nur durch die Objektstruktur bestimmt. Wieso steigt dann das
Auflösungsvermögen kommerzieller Objektive i.A. mit deren Abbildungsmaßstab?
d) Schätzen Sie die durch die Beugung bedingte prinzipielle Auflösungsgrenze des Lichtmikroskops ab.
e) Welche Möglichkeiten sehen Sie, das Auflösungsvermögen zu steigern?
Versuchsteil Phasenmodulator
Experimenteller Aufbau:
Die optischen Komponenten werden mittels Reitern längs einer Schiene (optische Bank) aufgebaut. Das (monochromatische, kohärente, parallele) Licht kommt von einer Laserdiode mit
aufgesetztem Strahlaufweiter. Es durchdringt den LCD (liquid crystal display). Auf dem
LCD, der als 2.Monitor geschaltet ist, werden vom Computer zweidimensionale Muster in der
x-y-Ebene (x und y senkrecht zum Laserstrahl, x horizontal, y vertikal) dargestellt. Solch ein
Muster ist der abzubildende Gegenstand. (Setzen Sie noch einen Polarisationsfilter direkt hinter den LCD). Der Gegenstand wird mittels einer Sammellinse (f = 20 cm) auf den Schirm am
Ende der Schiene abgebildet. Dort soll ein reelles, vergrößertes und scharfes Bild entstehen.
Der Aufbau ist in Abb. 7 dargestellt (nutzen Sie die volle Länge der optischen Bank).
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Optisches Gitter
Abb. 7: Aufbau zur Beobachtung des Beugungs- und des Gegenstandbildes.
In der bildseitigen Brennebene kann man dann das Beugungsbild des Gegenstands mit einem
Hilfsschirm, wie etwa einem Blatt Papier auffangen. In diese Position bringt man später dann
auch eine variable und in x-Richtung verschiebbare Kreuzblende. In der Brennebene liegt also
das Beugungsbild, auf dem Schirm das Bild des Gegenstands vor.
Da nun das Beugungsbild recht klein ist, sollte man mittels einer weiterer Sammellinse (f = 15
cm) ein vergrößertes Bild des Beugungsbild auf den Schirm werfen, wodurch allerdings das
Bild des Gegenstands zerstört wird. Wenn man also jeweils das Bild oder das Beugungsbild
auf einem Schirm beobachten wollte, müsste man die zweite Linse aus- und wieder einbauen.
Beide Bilder, also das des Gegenstands und das vergrößerte Bild der Beugungsfigur, kann
man simultan betrachten, wenn einen Teil des Strahls mittels eines Strahlteilerwürfels (zwischen der Brennebene der ersten Linse und der zweiten Linse) nach der Seite auslenkt und
unter der Benutzung eines Spiegels ebenfalls auf den Schirm wirft. Dabei wird das Bild wegen des verlängerten Wegs leicht unscharf. Wen das stört, der möge mit einem zweiten
Schirm arbeiten. Die endgültige Anordnung sieht dann wie in Abb. 8 aus:
Abb. 8: Anordnung zur gleichzeitigen Beobachtung des vergrößerten Beugungs- und des Gegenstandbildes.
Machen Sie sich klar, dass sich das Bild des Gegenstands auf dem Schirm aus der Interferenz
der Teilwellen ergibt, die von den Beugungsmaxima der Brennebene ausgehen, und dass diese Überlagerung ganz analog zur Überlagerung der Teilwellen ist, die vom Gegenstand ausgehen und mittels der ersten Linse in Punkten der Brennebene vereinigt werden.
Bildentstehung im Mikroskop
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Versuchsdurchführung:
Im ersten Teil des Versuchs sollen Sie sich die Reziprozität von Bild und Beugungsbild nahe
bringen. Geben Sie also eine möglichst einfache Struktur wie etwa das Logo des Herstellers
des LCD (Schriftzug „HOLOEYE“ umrahmt von zwei Bögen) auf den LCD.
Dazu starten Sie das Programm OptiXplorer, das auf dem Desktop liegt. Im Pull Down Menu
„File“ klicken Sie auf „Open Image File“. Im Ordner „SampleSignals“ finden Sie das
HOLOEYE-Logo. Lassen Sie auch gleich die Fouriertransformierte berechnen. Schieben Sie
auf dem Bildschirm des Computers das Logo bzw. seine Fouriertransformierte so zurecht,
dass die Abbilder auf dem zweiten Schirm erscheinen. Benutzen Sie die Zoom-Funktion. Mit
dem Polarisationsfilter können Sie den Kontrast des Bildes erhöhen. Vergleichen Sie mit dem
jeweiligen Beugungsbild auf den ersten Schirm.
Dazu zwei Bemerkungen:
Da mit monochromatischem Licht gearbeitet wird, erstrahlen natürlich alle Bilder in der Farbe
des Laserlichts (λ = 650 nm). Sie sind also nicht bunt sondern einfarbig. Es steht Ihnen frei,
eigene Strukturen zu entwerfen, z.B. mit dem Zeichenprogramm „Paint“. Verzichten Sie hier
auf bunte Strukturen und vermeiden Sie Helligkeitsstufen. Arbeiten Sie am besten nur mit
Schwarz und Weiß. Die Berechnung der Fouriertransformierten klappt allerdings nur für
Strukturen kleiner als 200 x 200 Pixel. Besonders instruktiv sind hierbei zweidimensionale
periodische Anordnungen von Kreisen oder Strichen wie z.B. das Bienenwabengitter.
Bereits ohne aufgeprägte Struktur liefert der LCD das Beugungsbild der Pixelstruktur, aus der
der LCD aufgebaut ist. Die Pixel sind auf einem Rechteckgitter angeordnet. Das Beugungsbild besteht aus Beugungsreflexen, die man mit den Ordnungen h und k in den beiden Raumrichtungen x und y durchzählt, h,k =…-2,-1,01,2,… (Bei einem 3D-Gitter kommt noch ein
dritter Index dazu. In der Kristallographie, die sich ja mit 3D-Kristallgittern beschäftigt,
spricht man von den Miller-Indizes (hkl).)
Schätzen Sie aus den Beugungswinkeln der Reflexe (hk) die Gitterkonstanten dx und dy des
Pixelgitters ab. Dazu müssen Sie Abstände im Beugungsbild bzw. Beugungswinkel auswerten, sei es direkt in der Brennebene der ersten Linse mit Hilfe einer verschiebbaren Blende
oder vergrößert auf dem Schirm mit Millimeterpapier.
Im Hauptteil des Versuchs wird nun mit einem (vertikalen) Strichgitter gearbeitet (Pull Down
Menu „Elementary Optical Functions“ → Show Binary Linear Grating). Wählen Sie eine Gitterkonstante d = d x von z.B. 6 Pixel und wählen Sie Spaltbreite s und Stegbreite (d-s) etwa
gleich, also z.B. jeweils 3. Das Fourierbild enthält dann (näherungsweise) nur die diskreten
Raumfrequenzen ( = Wellenvektoren in x-Richtung) 2π h / d x .
Frage: Wie liegen die Reflexe h des Strichgitters relativ zu den Reflexen (hpkp) des Pixelgitters? Was meint man, wenn man von der Inkommensurabilität (bzw. Kommensurabilität)
zweier Gitter spricht?
Variieren Sie (in Grenzen) die Gitterkonstante und die Spaltbreite des Strichgitters. Betrachten Sie dabei die Lage und Intensität der Reflexe h des Strichgitters, am besten der „Satelliten“ des (00) Reflexes des Pixelgitters, denn diese haben die höchste Intensität. Stellen Sie
zur Betrachtung der Einzelreflexe des Strichgitters die Horizontalblende so schmal ein, dass
nur noch eine Beugungsordnung durchgelassen wird und „scannen“ Sie die Blende in xRichtung.
Im Folgenden soll nun das Beugungsbild in der Brennebene mit Hilfe einer Blende manipuliert werden und die Auswirkung auf das Bild betrachtet werden. Man spricht von „Raumfilte-
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Optisches Gitter
rung“. Stellen Sie die x-Breite der Blende so ein, dass nur eine, zwei,…usw. benachbarte
Beugungsordnungen des Strichgitters durchgelassen werden. Um Kombinationen von nichtbenachbarte Ordnungen durchzulassen, also z.B. h = 0 und h = 2 , deckt man den zentralen
Teil der Blendenöffnung noch mit einem schmalen Blech- oder Papierstreifen ab. Der Spielerei sind hier allerdings Grenzen gesetzt, da das Bild sehr lichtschwach wird, wenn nur wenige
und auch noch schwache Ordnungen die Blende passieren. Wie hängt die Struktur des Bildes
von der Kombination ab? Machen Sie Aussagen zur „Auflösung“ und zur Auswirkung der
Raumfilterung auf das Bild.