Mehr über Mittelwerte

Prof. Dr. F. Marohn
Übungen zur Statistik für Studierende der Sozialwissenschaften
Wintersemester 2010/2011
Blatt 4
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Aufgabe 1: (Gewogenes arithmetisches Mittel, GAM)
Das gewogene oder gewichtete arithmetische Mittel von n Zahlen x1 , . . . , xn
ist definiert durch
GAM = g1 · x1 + g2 · x2 + . . . + gn · xn =
n
X
gi · xi
i=1
Die Faktoren g1 , . . . , gn heißen Gewichte. Von den Gewichten wird nur verlangt, dass sie nicht negativ sind und die Summe 1 ergeben müssen:
g1 + g2 + . . . + gn = 1
Im Spezialfall g1 = g2 = . . . = gn = 1/n (jede Beobachtung wird gleich
gewichtet) ergibt sich das (gewöhnliche) arithmetische Mittel.
(i) In einer Firma verdienen Frauen e20 pro Stunde und Männer e30 pro
Stunde. Der Durchschnittsverdienst aller Mitarbeiter ist aber nicht
notwendig e25. Wie lautet der Durchschnittsverdienst, wenn die Belegschaft dieser Firma aus 70 Frauen und 30 Männer besteht?
(ii) Für 4 Schulklassen, in denen sich 20, 25, 28 und 32 Schüler befinden,
ergaben sich (in dieser Reihenfolge) die folgenden durchschnittlichen
Abwesenheitszeiten (in Stunden) pro Monat: 4, 7, 2 und 11. Wie hoch
ist die durchschnittliche Abwesenheitszeit aller Schüler?
Wie lauten in (i) bzw. (ii) die Gewichte?
Aufgabe 2:
Angenommen, eine Gemeinde hatte folgende Bevölkerungsentwicklung:
Bevölkerung absoluter WachstumsZuwachs
rate
1000
–
–
1200
200
0.2
1500
300
0.25
1000
−500
−0.33
1
Wachstumsrate in %
–
20%
25%
−33%
Wachstumsfaktor
–
1.2
1.25
0.67
Es gilt:
Wachstumsrate =
neuer Wert – alter Wert
alter Wert
und
Wachstumsfaktor = Wachstumsrate + 1
neuer Wert
alter Wert
(i) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der absoluten Bevökerungszuwächse.
=
(ii) Es soll die durchschnittliche Wachstumsrate und der durchschnittliche
Wachstumsfaktor der Bevölkerung bestimmt werden. Verwenden Sie
dazu das arithmetische Mittel. Was fällt auf? Hilft hier der Median
als Durchschnittswert weiter?
(iii) Der sachlich richtige Durchschnitt von Wachstumsfaktoren ist das geometrische Mittel. Allgemein ist das geometrische Mittel von n positiven Zahlen x1 , . . . , xn gegeben durch
√
GM = x̄G = n x1 · x2 · . . . · xn
Berechnen Sie den durchschnittlichen Wachstumsfaktor bei der Bevölkerung.
(iv) Zum durchschnittlichen Wachstumsfaktor gehört die durchschnittliche
Wachstumsrate:
durchschnittl. Wachstumsrate = durchschnittl. Wachstumsfaktor − 1
Bezeichnen r1 , . . . , rn die Wachstumsraten von n Perioden, so berechnet
sich die durchschnittliche Wachstumsrate gemäß der Formel
p
n
(r1 + 1) · (r2 + 1) · . . . · (rn + 1) − 1
Wie lautet die durchschnittliche Wachstumsrate der Bevölkerung?
Aufgabe 3: Konzentrationsmaße
Trotz vieler positiver Eigenschaften von Streuungsmaßen sind diese auf einem
Auge völlig blind: Sie sehen zwar die Streuung, aber nicht die Ungleichheit.
Angenommen, in einem Dorf beträgt das Einkommen von drei Landwirten
e1000, e2000 und e7000. Wie groß ist die Einkommensungleichheit? Ein
Streuungsmaß wie die Standardabweichung ist als Maß für die Ungleichheit
kaum geeignet.
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(i) Berechnen Sie die Standardabweichung.
(ii) Angenommen, die EU subventioniert jeden Landwirt mit e30000. Die
Einkommen der drei Landwirte betragen also dann e31000, e32000
und e37000. Die Ungleichheit hat nach dem üblichen Verständnis
abgenommen. Berechnen Sie die Standardabweichung dieser Einkommen.
Man stellt sich daher die Frage: Welcher Anteil der gesamten Merkmalssumme fällt auf den Ärmsten, welcher Anteil auf die zweit Ärmsten, etc. Vor der
EU–Subvention ergeben sich die folgenden Paare:
(0, 0), (1/3, 0.1), (2/3, 0.3), (1, 1)
An erster Stelle steht der Anteil der so-und-soviel ärmsten Merkmalsträger,
an zweiter Stelle deren Anteil an der gesamten Merkmalssumme. Diese
Punkte, in einem (rechtwinkligen) Koordinatensystem übertragen und mit
einer Geraden verbunden, heißt Lorenz–Kurve. Je gleichmäßiger die Verteilung ist, desto enger schmiegt sich die Lorenz–Kurve an die 45◦ –Linie
(Diagonale) an, die die Punkte (0, 0) und (1, 1) verbindet. Als Maß für
die Ungleichheit bietet sich daher die (Konzentrations–)Fläche zwischen der
Lorenz–Kurve und der 45◦ –Linie an. Das bei weitem populärste Maß für
Ungleichheit ist der Gini–Koeffizient G (auch Lorenzsches Konzentrationsmaß genannt):
G =
Fläche zwischen Diagonale und Lorenz–Kurve
Fläche zwischen Diagonale und Absizze
= 2 · Fläche zwischen Diagonale und Lorenz–Kurve
Sind allgemein n Merkmalsträger und die Paare
(0, 0), (1/n, v1 ), . . . , ((n − 1)/n, vn−1 ), (1, 1)
gegeben (j/n · 100% der Ärmsten haben einen Anteil von vj · 100%), so folgt
aus der Trapezregel die einfache Formel
n
G=1−
1X
(vj−1 + vj )
n j=1
wobei v0 = 0 und vn = 1.
(iii) Zeichnen Sie die Lorenz–Kurven für die Einkommensverteilung vor und
nach der EU–Subvention.
(iv) Berechnen Sie die Gini–Koeffizienten. Hat die Konzentration abgenommen?
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